Что будет если разделить котангенс на тангенс
Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти тангенсы и котангенсы угла, представленных как в градусах, так и в радианах. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Тангенс и котангенс − теория, примеры и решения
Определение 1. Число, равное отношению
 |
называется тангенсом угла α и обозначается
Определение 2. Число, равное отношению
 |
называется котангенсом угла α и обозначается
Подробнее о синусах и косинусах посмотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор.
Свойство A1. Область определения функции тангенс −это все действительные числа α, удовлетворяющие выражению
где Z множество целых чисел.
Действительно. Из равенства (1) следует, что cos α должен быть отличным от нуля. А это в свою очередь показывает справедливость равенства (3).
Свойство A2. Область определения функции котангенс −это все действительные числа α, удовлетворяющие выражению
где Z множество целых чисел.
Действительно. Из равенства (2) следует, что sin α должен быть отличным от нуля. А это в свою очередь показывает справедливость равенства (4).
Свойство 1. tg α и сtg α нечетные функции, т.е. для любого допустимого значения α справедливы равенства
Доказательство. Воспользуемся равенствами 
и 
(cм. на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор). Тогда имеем:
  . |
  . |
Свойство 2. tg α и сtg α периодичные функции с основным периодом π (180°), т.е. для любого допустимого значения α справедливы равенства
Доказательство. Воспользуемся тем, что 
или 
(cм. на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор):
  , |
  |
  , |
  |
Использем таблицы синусов и косинусов, и построим таблицу тангенсов и котангенсов некоторых углов, учитывая уравнение (1):
  |
Пример 1. Найти тангенс и котангенс угла равного 420°(или 
радиан).
Воспользуемся уравнениями (11)− (14):
  |
  |
  |
  |
Воспользуемся уравнениями (11)− (14):
  |
  |
  |
  |
Как мы уже знаем из определения синуса и косинуса sin α=y2, cos α=x2 (Рис.1). Покажем, что tg α=AN, ctg α=KP
 |
Построим каноническое уравнение прямой, проходящей через точки 
и 
(см. статью на странице Каноническое уравнение прямой на плоскости):
Тогда учитывая, что 
, имеем:
 |
Поскольку 
, 
, тогда
 |
При x=1 имеем y=tg α. Т.е. tg α − это ординат точки пересечения прямых ON и NA
Выразим в (15) x через y:
 |
Подставляя , , получим:
 |
Взяв y=1, получим x=ctg α. Таким образом ctg α − это абсцисс точки пересечения прямых ON и KP.
Так как для функциий привычнее запись y=f(x), то вместо записей u=tg α и u=сtg α мы будем использовать записи y=tg x и y=сtg x.
График функции тангенс (y=tg x)
Построим график функции тангенс на интервале 
. Выберем контрольные точки:
 |
Отметим эти точки на координатной плоскости XOY и проведем через них плавную кривую (Рис. 2)
 |
Учитывая свойство 1 построим симметричную к этой кривой относительно начала координат (Рис.3)
 |
 |
В точках 
функция имеет разрыв. Каждая прямая вида является вертикальной асимптотой графика функции.
График функции котангенс (y=сtg x)
Построим график функции котангенс на интервале [0; π). Выберем контрольные точки:
 |
Взяв π≈3, высислим значения x, отметим эти точки на координатной плоскости XOY и проведем через них плавную кривую (Рис. 5)
 |
 |
В точках 
функция имеет разрыв. Каждая прямая вида является вертикальной асимптотой графика функции котангенс.
Основное тригонометрическое тождество
9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Связь между sin и cos одного угла
Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.
Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.
Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:
sin 2 α + cos 2 α = 1
Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.
Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.
В результате деления получаем:
Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.
sin 2 α + cos 2 α = 1
Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.
Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.
Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.
Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1
Образовался прямоугольный треугольник OA1B.
Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:
Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.
Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.
Исходя из определений:
Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества
задаются sin и cos углов.
Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.
Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества
верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.
применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Связь между тангенсом и котангенсом
Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.
Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.
Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.
tg α * ctg α = 1.
Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.
Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.
Тангенс и косинус, котангенс и синус
Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.
Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:
Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.
Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.
Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.
Основные тригонометрические тождества
sin 2 α + cos 2 α = 1
tg 2 α + 1 = 
1 + ctg 2 α = 
Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.
Примеры решения задач
Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.
Задачка 2. Найдите значение cos α,
если: 
Подставляем значения sin α:
Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.
Тригонометрия простыми словами
Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».
Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).
Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.
Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.
Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.
Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.
Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.
Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)
Принцип повтора знаков тригонометрических функций
Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.
В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.
Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.
Тригонометрический круг
Углы в радианах
Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.
Произведение тангенса на котангенс
Произведение этих функций равно 1, если катеты имеют конечную длину. Чтобы понять почему так получается, нужно вспомнить что такое тангенс и котангенс.
В тригонометрии понятие тангенса и котангенса появляется при рассмотрении прямоугольного треугольника.
Сначала вводят понятия синус угла Sin α и косинус угла Cos α.
Синусом угла альфа называется отношение противолежащего катета a к гипотенузе c. Косинусом угла альфа называется отношение прилежащего катета b к гипотенузе c:
Sin α = a/c, Cos α = b/c
Отношение Sin α / Cos α, что эквивалентно a/b называют тангенсом, а обратное отношение называют котангенсом :
tg α = Sin α / Cos α, сtg α = Cos α / Sin α,
Очевидно, что произведение этих функции равно единице.
tg α · сtg α = 1
Данная запись опубликована в 24.12.2016 22:17 и размещена в Кто хочет стать миллионером. Вы можете перейти в конец страницы и оставить ваш комментарий.
Какой город известен муранским стеклом
Кто написал «Ленинградскую симфонию»?
Седьмая симфония ор. 60 «Ленинградская» до мажор — одно из важнейших произведений Дмитрия Дмитриевича Шостаковича, созданное в 1941 году.
Что будет если разделить котангенс на тангенс
