Что будет если умножить матрицу на обратную

12.07.202212.07.2022 admin 0 Comments

Что такое обратная матрица

Сложная тема из линейной алгебры.

Недавно мы начали говорить о линейной алгебре и матрицах. Сначала всё было хорошо и легко:

Но начав заниматься линейной алгеброй, бывает трудно остановиться. Сегодня мы познакомимся с обратной матрицей и научимся её вычислять. Это навык, который в будущем нам пригодится для решения матричных уравнений.

С точки зрения арифметики материал не сложный. Но он требует вдумчивого чтения для понимания правил. В итоге статья довольно большая, мозги кипят и танки наши быстры.

Читать ли эту статью?

❌ Если вам нужны простые быстрые решения для жизни — нет, можно объявить, что у вас сегодня выходной.

✅ Если вашему мозгу не хватает вызова и новых горизонтов — велком ту зе матрикс.

Обратное — это как?

В математике есть взаимно обратные числа. Они получаются так: вы берёте какое-то число, добавляете отрицательную степень и получаете обратное число:

Обратные числа при умножении друг на друга всегда дают единицу:

Обратная матрица

В линейной алгебре есть обратные матрицы. По свойствам они напоминают обратные числа: если обычную матрицу умножить на обратную к ней, получится единичная матрица.

Единичная матрица работает как единица с числами: если умножить любое число на единицу, получится исходное число; если умножить любую матрицу на единичную матрицу — получится исходная матрица:

Единичная матрица состоит из единиц и нулей: на диагонали находятся единицы; остальные элементы — нули. Единичные матрицы не используются при расчёте обратных матриц, но без них не получится решать матричные уравнения.

Пример квадратной единичной матрицы размером 5×5. Единичная матрица может быть любого размера — состоять из любого количества строк и столбцов

Как рассчитать обратную матрицу

Для расчёта обратной матрицы нужно выполнить три действия. Пока что не обращайте внимание на термины:

Далее мы по порядку во всём разберёмся.

Формула расчёта обратной матрицы: |A| — матричный определитель; Aᵀᵢⱼ — матрица алгебраических дополнений

Определитель — это особое число, которое «определяет» свойства матрицы.

Порядок вычисления определителя зависит от размера матрицы, которому он соответствует — чем больше матрица, тем сложнее считать определитель. Мы только знакомимся с матрицами, поэтому остановимся на определителях второго и третьего порядка — они подходят для квадратных матриц размером 2×2 и 3×3.

Чтобы найти определитель второго порядка, нам достаточно умножить элементы главной диагонали и вычесть из значения произведение чисел второй диагонали.

Формула для расчёта определителя второго порядка

Пример расчёта определителя второго порядка

Определитель третьего порядка находится путём умножения диагоналей на треугольники. Здесь много операций, поэтому формулу соберём по частям.

Сначала работаем по главной диагонали: идём от верхнего левого элемента и движемся к правому нижнему элементу. Перемножаем элементы между собой.

Считаем определитель третьего порядка: 1-й этап — главная диагональ

Прибавляем к произведению элементов первой диагонали произведение первого треугольника. Основание первого треугольника находится параллельно главной диагонали и состоит из элементов А₂₁ и А₃₂. Вершина — элементА₁₃.

Считаем определитель третьего порядка: 2-й этап — первый треугольник

Прибавляем к полученному результату произведение второго треугольника, в котором основание состоит из элементов А₁₂ и А₂₃, а вершина — А₃₁.

Считаем определитель третьего порядка: 3-й этап — второй треугольник

Вычитаем из полученного значения произведение элементов второй диагонали. Вторая диагональ начинается в левом нижнем углу и идёт в правый верхний угол.

Считаем определитель третьего порядка: 4-й этап — вторая диагональ

Вычитаем произведение элементов третьего треугольника, в котором основание — элементы А₁₂ и А₂₁, а вершина — А₃₃.

Считаем определитель третьего порядка: 5-й этап — третий треугольник

Последний шаг: вычитаем произведение четвёртого треугольника, с основанием из элементов А₂₃ и А₃₂ и вершиной А₁₁.

Считаем определитель третьего порядка: 6-й этап — четвёртый треугольник

Общий вид формулы для расчёта определителя третьего порядка

Пример расчёта определителя третьего порядка

Транспонированная матрица алгебраических дополнений вычисляется в три шага:

Алгоритм вычислений матрицы миноров и матрицы алгебраических дополнений зависит от размера исходной матрицы — чем она больше, тем сложнее формула расчёта. Поэтому мы рассматриваем только матрицы второго и третьего порядка.

Чтобы найти матрицу миноров второго порядка, нам нужно последовательно зачеркнуть три элемента исходной матрицы:

Когда матрица миноров составлена — меняем знаки элементов второй диагонали и получаем матрицу алгебраических дополнений. Теперь берём эту матрицу и проводим транспонирование — меняем расположение строк и столбцов. Готово.

Пример вычисления матрицы миноров из матрицы второго порядка

Пример вычисления матрицы алгебраических дополнений (Aᵢⱼ ) из матрицы миноров второго порядка

Пример вычисления транспонированной матрицы алгебраических дополнений (Aᵀᵢⱼ), полученной из матрицы миноров второго порядка

Матрица миноров третьего порядка рассчитывается по следующему принципу:

Чтобы не запоминать порядок вычёркивания элементов — попробуйте схему:

После вычёркивания останется квадратная двухразмерная матрица, определитель которой равен разности произведений двух диагоналей.

Пример вычисления первого элемента матрицы миноров из матрицы третьего порядка. Треугольник, или греческая дельта, — это обозначение определителя вне матрицы

Матрицу миноров третьего порядка удобно находить на бумаге с помощью ручки, карандаша и ластика — записываете исходную матрицу, карандашом вычёркиваете линии, считаете определитель, вытираете линии и повторяете процедуру. Рекомендуем попробовать и сверить результат с нашими расчётами.

1-я строка 1-й элемент:

1-я строка 2-й элемент:

1-я строка 3-й элемент:

2-я строка 1-й элемент:

2-я строка 2-й элемент:

2-я строка 3-й элемент:

3-я строка 1-й элемент:

3-я строка 2-й элемент:

3-я строка 3-й элемент:

Считаем матрицу алгебраических дополнений: берём матрицу миноров и меняем на противоположный знак в четырёх элементах — изменяем А₁₂, А₂₁, А₂₃ и А₃₂. Транспонируем полученную матрицу и можем переходить к последнему действию.

Получаем из матрицы третьего порядка матрицу миноров

Меняем знаки в матрице миноров и получаем матрицу алгебраических дополнений (Aᵢⱼ)

Пример вычисления транспонированной матрицы алгебраических дополнений (Aᵀᵢⱼ), полученной из матрицы миноров третьего порядка

Мы нашли все компоненты для вычисления обратной матрицы. Осталось их подставить в формулу, перемножить и записать ответ:

Пример вычисления обратной матрицы второго порядка: мы внесли дробь в матрицу, но могли этого не делать — просто так захотелось

Пример вычисления обратной матрицы третьего порядка: мы оставили дробь за пределами матрицы и вынесли из матрицы минус. Матрица — это таблица с числами, поэтому не обращайте внимание, если числа получаются большими или неудобными

Господи, зачем всё это?

Мы понимаем, что это всё кажется совершенно оторванным от жизни. Какие-то миноры, детерминанты, о чём вообще речь?

Источник

Действия с матрицами

Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>>.

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.

Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов:

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.

2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

– умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО:

Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы.

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Транспонировать матрицу

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

– транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Транспонировать матрицу

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Образно говоря, транспонировать – это значит взять матрицу за правый верхний угол и аккуратно повернуть её «на себя» по диагонали, «стряхивая» числа в столбцы транспонированной матрицы. Такая вот у меня ассоциация.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц.

Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

Как умножить матрицы?

Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.

Начнем с самого простого:

Умножить матрицу на матрицу
Я буду сразу приводить формулу для каждого случая: