Что будет при делении на 0
На ноль делить нельзя? Или можно?
Почему нельзя делить на ноль? Кто запретил? Школа упрямо запрещает нам делить на 0, но стоит переступить порог университета — индульгенция получена. То, что в школе считалось запретом, теперь возможно.
Можно поделить на ноль и получить бесконечность. Высшая математика… Ну почти. Можно объяснить и попроще. Так почему нельзя делить на ноль, а умножать можно?
История и философия ноля
На самом деле история с делением на ноль не давала покоя его изобретателям (а ноль изобрели в Индии). Но индийцы — философы привыкшие к абстрактным задачам. Что значит разделить на ничто? Для европейцев того времени такого вопроса вообще не существовало, так как ни о нуле ни об отрицательных числах (которые левее нуля на шкале) они знать не знали.
В Индии отнять от меньшего большее и получить отрицательное число не составляло проблем. Ведь что значит 3-5=-2 в обычной жизни? Это значит, что кто-то остался должен кому-то 2. Отрицательные числа назывались долгами.
Теперь давайте так же просто разберемся с вопросом деления на нуль. В далеком 598 году нашей эры (только вдумайтесь как давно, более 1400 лет назад!) в Индии родился математик Брахмагупта, который тоже задавался вопросом деления на ноль.
Он предположил, что если взять лимон и начать делить его на части, рано или поздно мы придем к тому, что дольки будут очень маленькими. В воображении мы можем дойти до того, что дольки станут равны нулю.
Итак, вопрос, если разделить лимон не на 2, 4 или 10 частей, а на стремящееся к бесконечности количество частей — какого размера получаться дольки? Получится бесконечное число «нулевых долек». Все довольно просто, нарежем лимон очень мелко, получим лужицу с бесконечным количеством частей — лимонный сок.
Достаточно задать самому себе вопрос:
Если деление на бесконечность дает ноль, то деление на ноль должно давать бесконечность.
Что будет если поделить на ноль?
Но если взяться за математику, то получается как-то нелогично:
а*0=0? А если b*0=0? Значит: а*0=b*0
То есть любое число равно любому числу. Первая неправильность деления на ноль, идем дальше. В математике, деление считается обратным действием умножения. Это значит, что если мы делим 4 на 2, мы должны найти число, которое при умножении на 2 даст 4.
Делим 4 на ноль — нужно найти число, которое при умножении на ноль даст 4. То есть х*0=4? Но х*0=0! Опять незадача. Получается мы спрашиваем: «Сколько нолей нужно взять, чтобы получилось 4?» Бесконечность? Бесконечное количество нолей все равно даст в сумме ноль.
А деление 0 на 0 вообще дает неопределенность, ведь 0*х=0, где х вообще все что угодно. То есть — бесчисленное множество решений. Так что же получится в итоге?
Простое объяснение из жизни
Вот вам задачка из физики и реальной жизни. Допустим, мы хотим вычислит за сколько времени сможем пройти 10 километров. Значит Скорость * время = расстояние (S=Vt). Чтобы узнать время, расстояние делим на скорость (t=S/V). А что будет, если скорость у нас 0? t=10/0. Будет бесконечность!
Стоим на месте, скорость равна нулю, и с такой скоростью мы будем вечно добираться до отметки в 10 км. Значит время будет… t=∞. Вот и получилась у нас бесконечность!
И в этом примере делить на ноль можно, жизненный опыт позволяет. Жаль, что учителя в школе не могут объяснять такие вещи так же просто.
Еще одно объяснение
Давайте определимся, что такое деление? Например, 8/4 – означает вопрос «сколько четверок, может поместится в восьмерке?» Ответ: «две четверки», то есть математически 8/4=2.
А если задать себе вопрос 5/0=? Сколько нолей поместится внутри пятерки? Да сколько угодно. Бесконечное количество. Делим на ноль и получаем… снова бесконечность.
Но если вместо абстрактных цифр взять материальные вещи, например, яблоко. 6/3 — «если разложить 6 яблок по 3 в ящики, то сколько нужно ящиков?» Ответ: «2 ящика». Идем дальше 4/0 — «если разложить 4 яблока по ноль(!) штук в ящики, то сколько…» Получится, что ящики то не нужны, мы ничего никуда не кладем!
Совсем простое объяснение
Совсем просто, «на пальцах»
10/2=5 10/4=2,5 10/8=1,25 ….Чем больше число в знаменателе, тем меньше результат
10/2=5 10/1=10 10/0,5=20 ….Чем меньше число в знаменателе, тем больше результат, а если взять очень маленькое число? Например, 0,0000001 получится 1 00 000 000. И если пойти дальше в своих размышлениях и уменьшить знаменатель до нуля? В итоге получим что настолько огромное, что будет называться «бесконечность».
Так можно ли делить на ноль?
Все зависит от того, зачем вам это нужно и в рамках каких правил вы решили «разделять». Если это алгебра, то все просто — «на ноль делить нельзя» потому, что нет такого понятия как «бесконечность» (это вообще-то и не число вовсе), и неясно что должно получится в итоге.
Деление на ноль и высшая математика
Можно ли делить на ноль в высшей математике — да пожалуйста. Ведь нуль может быть представлен цифрой ноль (цифра означает число со значением «0», то есть вообще ничего), а может и неким бесконечно малым (то есть стремится к нулю, почти ничего, но все таки — не ничто). Тогда ничего не мешает спокойно делить на «бесконечно малое».
Нелогичность и абстрактность операций с нулем не позволяется в узких рамках алгебры, точнее — это неопределенная операция. Для нее нужен аппарат посерьезнее — высшая математика. Так что, в некотором роде, делить на ноль нельзя, но если очень захочется, то делить на ноль можно… Но нужно быть готовым понимать такие вещи как дельта-функция Дирака и прочие трудно осознаваемые вещи.
Делите на здоровье, если не боитесь бесконечности в результате.
Почему можно делить на ноль
Начиная со второго или третьего класса школы нас учат, что делить на ноль нельзя.
Это очень строгое правило!
А теперь этой ереси еще и роботов учат. Даже простенький калькулятор при выполнении такого действия выдает ответ: «Деление на ноль невозможно». А в exel, если формула набрана так, что получается деление на 0, то капслоком программа пишет в ячейке: «ДЕЛ/0!«. Ну типа это у вас проблема, а не у меня, и таким образом умывает руки (хотя что именно сейчас умывают себе программы, я, честно говоря, не знаю).
К компьютерным программам вообще и к exel в частности я не имею никаких претензий. И даже на простенький калькулятор, учащий меня жизни, я не обижаюсь. Потому как написаны эти программы человеком (группой людей) и для удобства человека (другой группы людей). Но
То есть формально мы можем любое рациональное число r разделить на 0 и в итоге получим:
r/0 = ∞ (687.1)
Всего и делов-то.
Сейчас не будем останавливаться на тонкостях определения рационального числа r, ноля и бесконечности, просто отметим тот факт, что делить на ноль вполне можно.
Из-за чего же так ругаются компьютерные программы и еще не вымершие учители математики при делении на ноль?
Деление на ноль вносит бесконечно большую неопределенность в решение задачи, точнее предполагает бесконечно большое количество правильных ответов.
1. Когда число r отрицательное и мы его делим на 0 то в итоге:
2. Когда мы делим 0/0, то все еще сложнее
2.1. Если просто сократить одинаковые числитель и знаменателль, то:
0/0 = 1 (687.3.1)
2.2. Если вспомнить правило, что при делении ноля будет ноль, то:
0/0 = 0 (687.3.2)
2.3. А если напирать на бесконечность, то:
0/0 = ∞ (687.3.3)
Но проблема даже не в этом. Ладно бы было только три варианта ответа. Вон в квадратных уравнениях 2 корня, т.е. два варианта ответа и ничего, никого это не напрягает.
2.4. А тут дело в том, что при делении 0/0 теоретически возможен любой вариант ответа и любой из них будет правильным!
Ну и что, скажете вы, вон в тригонометрии тоже возможно бесконечно большое количество вариантов ответа, потому как угол теоретически может иметь любое значение?
Формально все так, только в данном случае мы имеем дело с разными бесконечностями. В тригонометрии количество вариантов решений на один круг (360 градусов) ограничено, т.е. четко детерминировано и является положительным натуральным числом n и как правило n 1 > 1/50 (687.4.3.3)
На приведенных выше примерах мы наглядно увидели, что при столь легкомысленном отношении к умножению на ноль и к делению ноля и возникает проблема деления на ноль.
Ну типа, сначала мы от всех этих бесконечно малых величин вроде 50·0 или 0/50 избавились, чтобы упростить расчет. А когда приходит время делить на 0, то никто уже и не помнит, чего там было в самом начале, в итоге, когда мы любое рациональное число делим на ноль (уравнение (687.1)), то:
r/0 = 0; r/0 = r; r/0 = k; r/0 = ∞ (687.5)
На мой взгляд, решить эту проблему достаточно просто, нужно только более четко определить понятия 0 и ∞.
0 = 0.(0)1 (687.6)
Ну то есть в этой дроби получается бесконечное количество нолей после запятой, а потому значение последней цифры уже вроде как и не имеет принципиального значения, ноль это или единица, для стороннего наблюдателя. А вот для расчетов имеет очень большое значение. Потому что вот эта последняя единичка и не позволяет так вольно обращаться с нулем при расчетах.
С бесконечностью примерно такая же ситуация, ее можно выразить как:
∞ = 1/0.(0)1 (687.7)
И если бы разного рода калькуляторы и расчетные программы вместо менторского утверджения типа: «Деление на ноль невозможно» просто выдавали результат: 1/0.(0)1, то это было бы намного лучше. Ну вот хотя бы с чисто психологической точки зрения.
А то детский сад получается, честное слово! «Нельзя!, Невозможно!» Да вы дайте человеку результат, а уж он пусть делает с этим результатом, что захочет.
Ну и один пример расчета из реальной жизни. Так сказать, прикладная математика.
При расчете стержней ферм часто используется метод вырезания узлов. И если у фермы нет консолей, она опирается концами на опоры, то при рассмотрении приопорных стержней фермы и отсутствии распределенной нагрузки на верхний и нижний пояса фермы возникает следующая ситуация:
Nв.с. = А/sina
а затем определяются растягивающие напряжения в горизонтальном стержне нижнего пояса:
Когда нейтральные оси стержней параллельны, более того совпадают в горизонтальной плоскости, то sina = 0, а cosa = 1. А значит и напряжения в этих стержнях равны бесконечности. С одной стороны это очень странно, ну вот как может вполне определенная сила А, приложенная вертикально, вызвать такой беспредел в горизонтальных стержнях?
А оказывается может. Вот просто потому, что она не может одновременно растягивать один стержень и сжимать другой при нулевом угле наклона между стержнями. Тут не только компьютер, тут и человек надолго зависнет, не говоря уже о простой силе.
Но это уже проблема человека, а не компьютера.
Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»
Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783
Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV
Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).
Делить на ноль — это норма. Часть 1
Говорят, можно поделить на ноль если определить результат деления на ноль. Просто нужно расширить алгебру. По странному стечению обстоятельств найти хоть какой-то, а лучше понятный и простой, пример такого расширения не удается. Чтобы исправить интернет нужна либо демонстрация одного из способов такого расширения, либо описание почему это не возможно.
Disclaimer
Цель данной статьи — объяснить «человеческим языком», как работают фундаментальные основы математики, структурировать знания и восстановить упущенные причинно-следственные связи между разделами математики. Все рассуждения являются философскими, в части суждений расходятся с общепринятыми (следовательно, не претендует на математическую строгость). Статья рассчитана на уровень читателя «сдал вышку много лет назад».
Понимание принципов арифметики, элементарной, общей и линейной алгебры, математического и нестандартного анализа, теории множеств, общей топологии, проективной и аффинной геометрии — желательно, но не обязательно.
В ходе экспериментов ни одна бесконечность не пострадала.
Пролог
Выход «за рамки» — это естественный процесс поиска новых знаний. Но не всякий поиск приносит новое знание и следовательно пользу.
1. Вобще-то уже все поделили до нас!
1.1 Аффинное расширение числовой прямой
Слева и справа от нуля функция уходит в разные стороны «небытия». В самом нуле вообще “омут” и ничего не видно.
Вместо того, чтобы бросаться в «омут» с головой, посмотрим что туда втекает и что оттуда вытекает. Для этого воспользуемся пределом — основным инструментом математического анализа. Основная “фишка” в том, что предел позволяет идти к заданной точке так близко, как это возможно, но не “наступить на нее”. Такая себе “оградка” перед “омутом”.
Оригинал
Хорошо, «оградку» поставили. Уже не так страшно. У нас есть два пути к «омуту». Зайдем слева — крутой спуск, справа — крутой подъем. Сколько к “оградке” не иди, ближе она не становится. Пересечь нижнее и верхнее «небытие» никак не выходит. Возникают подозрения, может мы идем по кругу? Хотя нет, числа-то меняются, значит не по кругу. Пороемся в сундучке с инструментами математического анализа еще. Кроме пределов с «оградкой» в комплекте идет положительная и отрицательная бесконечности. Величины совершенно абстрактные (не являются числами), хорошо формализованы и готовы к употреблению! Это нам подходит. Дополним наше «бытие» (множество вещественных чисел) двумя бесконечностями со знаком.
Именно это расширение позволяет брать предел при аргументе стремящемся к бесконечности и получить бесконечность в качестве результата взятия предела.
Есть два раздела математики которые описывают одно и тоже используя разную терминологию.
С геометрической точки зрения выполнено аффинное расширение числовой прямой. То есть привычная последовательность вещественных чисел “сжата” так, чтобы можно было оперировать границами этой последовательности. В качестве границ (условных) введены две абстрактные бесконечно большие величины. Расширение аффинное, но это не значит что оно пришло из Греции, это значит что сохраняется относительное положение точек (в нашем случае чисел) на прямой. Отсюда и следует, что сохраняются отношения “больше” и ”меньше” как для чисел между собой, так и в сравнении с границами.
С точки зрения общей топологии выполнена двухточечная компактификация числовой прямой путем добавления двух идеализированных точек (бесконечностей с противоположным знаком).
1.2 Проективное расширение числовой прямой
Прогуливаясь по графику , у нас есть только два пути к нулю (слева и справа). В конце каждого пути стоит небольшая «оградка». По странному стечению обстоятельств одна и та же «оградка» оказалась и на дне и на вершине «бытия». Если мы хотим чтобы пути сошлись, то за «оградкой» нам нужен телепорт из одного конца «бытия» в другой. Мы уже такие телепорты видали. Не проблема.
Попробуем состыковать обе границы «бытия» так, как это делали наши предки. Перейдем на одно измерение выше. Отобразим одномерную линию на двумерной плоскости.
После стыковки наличие двух знаковых бесконечностей теряет смысл. Вместо них можно ввести одну общую точку пересечения, беззнаковую бесконечность.
Эта стыковка очень похожа на линию перемены даты находящуюся (в основном), между часовыми поясами UTC+12 и UTC-12 в Тихом океане. Именно там находится телепорт из сегодня во вчера и из сегодня в завтра. У нас же телепорт из сверхмалых в сверхбольшие.
По факту это самостоятельное расширение, проведенное над исходным множеством вещественных чисел. Данное расширение не основывается на рассмотренном ранее аффинном расширении.
С геометрической точки зрения выполнено проективное расширение числовой прямой (есть информация на wolfram.com). То есть введена идеализированная точка которая соединяет оба конца вещественной прямой. Так как расширение не аффинное, сравнение вещественных чисел с бесконечностью не определено.
С точки зрения общей топологии выполнена одноточечная компактификация числовой прямой путем добавления идеализированной точки (бесконечности без знака).
Аналогичным расширением над полем комплексных чисел является широко известная в математических кругах Сфера Римана.
Хорошо, избавились от знака минус. Однако в нуле у нас разрыв второго рода и устранимой точкой разрыва его нельзя считать по определению. Нарушается требование «конечности» предела. Соответственно мы не можем судить о равенстве предела справа и слева.
Но так как приближение к бесконечности выполняется по одинаковым правилам, мы можем утверждать что пределы слева и справа совпадают. Соответственно мы можем принять наш разрыв за точку устранимого разрыва в бесконечности.
Посмотрим внимательнее, как мы оперируем бесконечно большими и малыми величинами. При операциях мы часто пренебрегаем малыми низшего порядка попросту отбрасывая их при записи результата.
Аналогичная ситуация при нахождении производных
Отбрасывая «мелочевку» мы теряем информацию! Это хорошо видно на примере взятия пределов. Рассмотрим две функции, которые стремятся к положительной бесконечности при стремлении аргумента к нулю справа.
Однако одинаковая запись результата взятия предела не свидетельствует о их равенстве. Данные бесконечности разного порядка и это подтверждается отсутствием конечного предела в отношении одной функции к другой.
В нестандартном анализе такие упрощения не допустимы. Поле вещественных чисел расширяется путем введения гиперреальных чисел. Бесконечно малые представлены в виде привычного значения — ноль, но в довесок хранится вся выкинутая “мелочевка”. Для бесконечно больших потенциальная бесконечность (две или одна — неважно), разбивается на множество актуальных бесконечностей. С одной стороны мы усложняем (теряем возможность поглощения/пренебрежения). С другой стороны мы приобретаем возможность сравнения бесконечно малых и бесконечно больших величин. А это значит что мы можем рассматривать бесконечности как числа.
Для дальнейших рассуждений понятие актуальной бесконечности нам больше не потребуется. Мы возвращаемся в привычный мир где будем оперировать понятием бесконечность, подразумевая потенциальную бесконечность.
Хорошо, пределы совпадают. Теперь, похоже, все готово для устранения разрыва между ними.
В математической модели, использующей проективное расширение числовой прямой, деление на ноль определено.
Создается впечатление что наша задача решена. Однако не будем спешить, посмотрим к каким последствиям это привело. В дополнение к делению в системе определены следующие операции (напомним, что бесконечность беззнаковая).
Как следствие, часть тождеств перестает вести себя так как мы привыкли. Однако, они не исчезли бесследно. Дистрибутивный закон работает только справа налево (т.е. в случае, когда правая часть равенства определена). Это один из ярких примеров негативных последствий. Другие же тождества сохранилась в более-менее устойчивой форме.
1.2 Колесо
На введении беззнаковой бесконечности все не остановилось. Для того чтобы выбраться из неопределенностей нужно второе дыхание.
Итак, у нас есть множество вещественных чисел и две неопределенности 1/0 и 0/0. Для устранения первой мы выполнили проективное расширение числовой прямой (то есть ввели беззнаковую бесконечность). Попробуем разобраться со второй неопределенностью вида 0/0. Сделаем аналогично. Дополним множество чисел новым элементом, представляющим вторую неопределенность.
Определение операции деления основано на умножении. Это нам не подходит. Отвяжем операции друг от друга, но сохраним привычное поведение для вещественных чисел. Определим унарную операцию деления, обозначаемую знаком «/».
С точки зрения общей алгебры мы оперировали полем. А в поле, как известно, определены всего две операции (сложение и умножение). Понятие деления выводится через обратные, а если еще глубже, то единичные элементы. Внесенные изменения превращают нашу алгебраическую систему в моноид как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента).
В трудах первооткрывателей не всегда используются символы ∞ и ⊥. Вместо этого можно встретить запись в виде /0 и 0/0.
Мир уже не так прекрасен, не правда ли? Все же не стоит спешить. Проверим, справятся ли новые тождества дистрибутивного закона с нашим расширенным множеством .
На этот раз результат намного лучше.
Стоит отметить, существуют и другие алгебраические системы с делением. Например, «луга» (common meadows). Они чуть проще, так как не расширяют пространство, вводя новые элементы. Цель достигается как в колесах, трансформацией операций сложения и умножения, а так же отказом от бинарного деления.
Возможность «передвигать неизвестные» для математики норма. Но все эти обертки не дают ответа на главный вопрос, что же там внутри?
Почему нельзя делить на ноль, даже если очень хочется?
Недавно на Хабре появилась удивительная статья «Папа, а почему на ноль делить нельзя?», которая собрала массу не менее удивительных комментариев.
Детские вопросы обычно очень сложны («Почему небо ночью темное?», «Почему яблоки падают на землю?») и у взрослых обычно не хватает времени, чтобы их доходчиво объяснить. Да и не всегда взрослые знают ответ на эти вопросы.
Однако, вопрос о делении на ноль ни разу не относится к числу сложных вопросов, и для меня остается загадкой, почему с ним возникает столько проблем. Наверное, виной тому какие-то изъяны в методике преподавания математики в средней школе, в трудностях перехода от изучения арифметики к изучению буквенной алгебры и свойств элементарных функций.
Самые серьезные сомнения появляются, я думаю, после изучения рациональных чисел, когда для любого числа x, кроме нуля, вводится понятие обратного числа 1/x, и графика гиперболы y(x)=1/x.
Очевидно, что при делении 1 на очень маленькие числа появляются очень большие числа, и чем меньше мы берем x, тем больше становится 1/x. Почему же мы не можем сказать, что 1/x=∞ — есть некоторое число?
Алгебраическое возражение против этого состоит в следующем. Предположим, что ∞=1/x является числом. Тогда на это число должны распространяться все правила, которые имеют место быть для обычных чисел. В частности, с одной стороны должно быть верно соотношение 0⋅∞=1, а с другой стороны поскольку 0=1−1 должно быть выполнено 0⋅∞=1⋅∞−1⋅∞=0. Таким образом, имеем 1=0, а из этого уже следует, что все числа равны между собой и равны нулю. В самом деле, поскольку для любого числа x верно 1⋅x=x, то 1⋅x=0⋅x=0.
«Ну разве это не полная чушь?» — спросим себя, добравшись до этого места.
Разумеется, это полная чушь, если мы говорим об обычных числах. Но я недаром подчеркнул выше слово «правила». К ним мы вернемся чуть позже, после рассмотрения арифметического возражения против деления на ноль, и поможет нам в этом фасоль.
Вернемся в те времена, когда не было ни компьютеров, ни калькуляторов, ни логарифмических линеек, и поставим перед собой задачу разделить некоторое случайное число, например, на 5.
Для этого берем чашу с фасолью, символизирующую натуральный ряд, и высыпаем из нее какое-то количество зерен на разлинованный лист бумаги:
Тем самым, мы установили делимое на нашем бобовом калькуляторе.
Задача состоит в том, чтобы разложить эти зерна на пять рядов. Чтобы не запутаться отмечаем эти ряды, то есть, устанавливаем делитель:
Теперь раскладываем зерна из кучи на пять рядов в столбик. Это значительно дольше, чем на обычном калькуляторе, зато позволяет почувствовать всю прелесть арифметики до изобретения позиционной системы счисления.
Алгоритм завершается, когда мы получаем некоторое прямоугольное число и (возможно) остаток:
В данном примере осталось 2 зерна, а рядов по 5 зерен образовалось 18. Получается, что случайное число было 18⋅5+2=92.
Ясно, что мы можем выполнить этот алгоритм для любого натурального делимого и любого натурального делителя, отличного от нуля; если же делитель равен 0, то этот алгоритм выполнить попросту невозможно.
«Подождите!» — скажет внимательный читатель. — «В рассмотренном примере мы получили остаток 2, что с ним делать?»
Это, на самом деле, очень важное замечание. Вообще говоря, мы не можем делить фасолины, не испортив наш бобовый калькулятор — мало того, что разделить 2 фасолины на 5 одинаковых частей проблематично, даже если мы их раздробим подобающим образом, мы уже не сможем их собрать.
Поэтому достаточно долго люди старались обходиться без дробей. Например, в анонимной арабской рукописи XII века описана следующая задача: «разделить 100 фунтов между 11 человеками». Поскольку 100=11⋅9+1, средневековый математик предлагает сначала раздать каждому по 9 фунтов, а затем обменять оставшийся фунт на яйца, которых, как оказывается по курсу обмена, получается ровно 91. Но 91=11⋅8+3, поэтому арабский ученый предлагает раздать каждому по 8 яиц, а три оставшихся яйца отдать тому, кто производит раздел, или же обменять на соль к яйцам.
Говоря современным математическим языком, деление проводилось в полукольце натуральных чисел. Впрочем, с таким же успехом, используя красную и белую фасоль, мы могли бы определить деление с остатком и в кольце целых чисел — в изложенном алгоритме появились бы дополнительные правила для выбора цветов используемых для вычислений зерен фасоли, но точно так же остались бы бессмысленными операции вида x/0 и 5/2.
Очевидно, что для того, чтобы придать символу 5/2 конкретный смысл, нужно изменить правила игры, и перейти к полю рациональных дробей, пополнив множество целых чисел всевозможными выражениями m/n, где m — целое, а n — натуральное.
Важно заметить, что сделать это можно не единственным способом, однако в классической арифметике рассматривается такое пополнение, в котором символ 1/n означает долю от деления 1 на n, т. е. такое число, для которого верно выражение n⋅1/n=1; при чем доли имеют смысл не при подсчете штучных предметов (например, зерен фасоли), а при измерении величин, которые предполагаются непрерывными (или хотя бы неограниченно делимыми) — длин отрезков, площадей фигур и т. д.
В поле рациональных дробей уже нет смысла рассматривать неполное частное и остатки, так как частное от любого ненулевого делителя является какой-то рациональной дробью. Более того, как и в случае с натуральными числами, мы можем использовать для деления фасоль без изменения алгоритма.
В самом деле, пусть требуется разделить рациональное число α=p/q на β=r/s. Это равносильно выполнению следующих действий:
и задача при любых рациональных α и β свелась к уже известной процедуре деления целых чисел. Это еще раз показывает, что деление на ноль не имеет никакого арифметического смысла.
«Получается, делить на ноль нельзя, даже если очень хочется?» — увы, ответ на этот вопрос положительный: мы не можем определить операцию деления на ноль исходя их естественных потребностей счета и измерений. Правда, есть две лазейки.
Первая: вместо «обычных» чисел (т.е. кольца натуральных и поля рациональных, а также поля действительных чисел, о котором я, кстати, до сих пор не сказал ни слова и расскажу как-нибудь в другой раз) рассмотреть вырожденный случай — тривиальное кольцо <0>, и положить по определению 0/0=0. В этом случае, когда нам говорят: «Все числа равны между собой и равны нулю!» — мы можем сказать невозмутимым тоном: «Ну и что? Это всегда было так».
Вторая: отказаться от некоторых привычных правил умножения. В частности, от аксиомы 0⋅x=0. Говорят, что это возможно (см. http://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory). Разумеется, этот вариант гораздо интереснее первого, но и он представляет собой такое изменение правил игры, которое сразу выводит нас за рамки классической арифметики.
В заключение этой заметки хочу привести список литературы для тех, кто заинтересовался числовыми системами:
— И.В. Арнольд «Теоретическая арифметика», М, ОГИЗ 1938 — очень подробная и детальная книга, в которой можно найти описания классических числовых систем, включая кватернионы.
— Е. Г. Гонин «Теоретическая арифметика», М, 1959 — эта книга покороче и посовременнее, и тоже очень хороша, хотя не так подробна, как книга И.В. Арнольда.
— С. Феферман «Числовые системы» — классическая монография, местами достаточно сложная; в ней изложены некоторые частные вопросы, которых нет в двух других книгах по теоретической арифметике.
— А. А. Кириллов «Что такое число?» (1993) — небольшая брошюра, рассчитанная на подготовленного читателя.
— Е. Б. Дынкин, В. А. Успенский «Математические беседы» — популярная книга, рассчитанная на школьников. Содержит массу информации и задач по такой «нестандартной» теме, как p-адические числа.