Что бывает цилиндрической формы

Что такое цилиндр: определение, элементы, виды, варианты сечения

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения одной из самых распространенных трехмерных геометрических фигур – цилиндра. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Определение цилиндра

Далее мы подробно остановимся на прямом круговом цилиндре как самой популярной разновидности фигуры. Другие ее виды будут перечислены в последнем разделе данной публикации.

Прямой круговой цилиндр – это геометрическая фигура в пространстве, полученная путем вращения прямоугольника вокруг своей стороны или оси симметрии. Поэтому такой цилиндр иногда называют цилиндром вращения.

Цилиндр на рисунке выше получен в результате вращения прямоугольного треугольника ABCD вокруг оси O₁O₂ на 180° или прямоугольников ABO₂O₁/O₁O₂CD вокруг стороны O₁O₂ на 360°.

Основные элементы цилиндра

Развёртка цилиндра – боковая (цилиндрическая) поверхность фигуры, развернутая в плоскость; является прямоугольником.

Примечание: формулы для нахождения площади поверхности и объема цилиндра представлены в отдельных публикациях.

Источник

Этот традиционный взгляд все еще используется в элементарных трактовках геометрии, но передовая математическая точка зрения сместилась в сторону бесконечный криволинейный поверхность Именно так сегодня определяется цилиндр в различных современных областях геометрии и топологии.

Изменение основного значения (твердое тело по сравнению с поверхностью) создало некоторую двусмысленность в терминологии. Обычно есть надежда, что контекст проясняет смысл. Обе точки зрения обычно представлены и различаются ссылкой на твердые цилиндры и цилиндрические поверхности, но в литературе неприкрашенный термин цилиндр может относиться к любому из них или к даже более специализированному объекту, правый круговой цилиндр.

Содержание

Определения и результаты в этом разделе взяты из текста 1913 г., Плоская и твердотельная геометрия Джорджем Вентвортом и Дэвидом Юджином Смитом (Вентворт и Смит 1913).

Правые круговые цилиндры

Правый круговой цилиндр также можно рассматривать как твердый революционный генерируется вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Эти цилиндры используются в технике интегрирования («дисковый метод») для получения объемов тел вращения. [3]

Характеристики

Цилиндрические секции

Для правильного кругового цилиндра существует несколько способов пересечения плоскостей с цилиндром. Во-первых, плоскости, которые пересекают основание не более чем в одной точке. Плоскость касается цилиндра, если она встречается с цилиндром в единственном элементе. Правые секции представляют собой окружности, а все остальные плоскости пересекают цилиндрическую поверхность по эллипс. [6] Если плоскость пересекает основание цилиндра ровно в двух точках, то отрезок, соединяющий эти точки, является частью цилиндрического сечения. Если такая плоскость содержит два элемента, она имеет прямоугольник как цилиндрическую секцию, в противном случае стороны цилиндрической секции являются частями эллипса. Наконец, если плоскость содержит более двух точек основания, она содержит всю основу, а цилиндрическое сечение представляет собой окружность.

В случае правого кругового цилиндра с цилиндрическим сечением, представляющим собой эллипс, эксцентриситет е цилиндрического сечения и большая полуось а цилиндрического сечения зависят от радиуса цилиндра р и угол α между секущей плоскостью и осью цилиндра следующим образом:

Объем

Эта формула верна независимо от того, является ли цилиндр правильным. [7]

Эта формула может быть установлена ​​с помощью Принцип Кавальери.

С помощью цилиндрические координатыобъем правого кругового цилиндра можно вычислить интегрированием по

Площадь поверхности

An открытый цилиндр не включает ни верхних, ни нижних элементов и, следовательно, имеет площадь поверхности (боковую площадь)

Площадь поверхности твердого правого кругового цилиндра складывается из всех трех компонентов: верхней, нижней и боковой. Следовательно, его площадь поверхности составляет

куда d = 2р это диаметр круглого верха или низа.

Правый полый круговой цилиндр (цилиндрическая оболочка)

А правый круговой полый цилиндр (или же ) представляет собой трехмерную область, ограниченную двумя правильными круговыми цилиндрами с одной осью и двумя параллельными кольцевой основания перпендикулярны общей оси цилиндров, как на схеме.

Таким образом, объем цилиндрической оболочки равен 2 π (средний радиус) (высота) (толщина). [10]

Площадь поверхности, включая верхнюю и нижнюю, определяется как

Цилиндрические оболочки используются в общей технике интеграции для определения объемов тел вращения. [11]

На сфере и цилиндре

Цилиндрические поверхности

Цилиндр, имеющий правое сечение, эллипс, парабола, или же гипербола называется эллиптический цилиндр, параболический цилиндр и гиперболический цилиндр, соответственно. Это вырожденные квадратичные поверхности. [14]

Когда главные оси квадрики выровнены с системой отсчета (всегда возможно для квадрики), общее уравнение квадрики в трех измерениях задается следующим образом:

Эллиптический цилиндр

Это уравнение эллиптического цилиндра является обобщением уравнения обыкновенного, круговой цилиндр ( а = б ). Эллиптические цилиндры также известны как цилиндроиды, но это имя неоднозначно, так как оно также может относиться к Коноид Плюккера.

Гиперболический цилиндр

Параболический цилиндр

Наконец, если AB = 0 предполагать, не теряя общий смысл, который B = 0 и А = 1 получить параболические цилиндры с уравнениями, которые можно записать как: [16]

Проективная геометрия

Эта концепция полезна при рассмотрении вырожденные коники, которые могут включать цилиндрические коники.

Призмы

С многогранной точки зрения цилиндр также можно рассматривать как двойной из биконус как безграничный бипирамида.

Источник