что идеализирует плоскость приведите примеры

Презентация была опубликована 9 лет назад пользователемlyalichi64.ucoz.ru

Похожие презентации

Презентация на тему: » Точки Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т. е. таких, размерами которых можно пренебречь. Древнегреческий ученый Евклид, впервые давший.» — Транскрипт:

1 Точки Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т. е. таких, размерами которых можно пренебречь. Древнегреческий ученый Евклид, впервые давший научное изложение геометрии, в своей книге «Начала» определял точку как то, что не имеет частей. Точки изображаются остро отточенным карандашом или ручкой на листе бумаги, мелом на доске и т.п. Точки обозначаются прописными латинскими буквами A, B, C. A 1, B 2, C 3. A’, B», C»’.

2 Прямые и плоскость Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы. По прямой распространяется луч света. Прямые проводятся на листе бумаги или доске с помощью линейки. Хотя изображения прямых ограничены, их следует представлять себе неограниченно продолженными в обе стороны. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами a, b, c. a 1, b 2, c 3. a’, b», c»’. или двумя прописными латинскими буквами AB, CD. A 1 B 1, C 2 D 2. A’B’, C»D». Плоскость является идеализацией ровной поверхности воды, поверхности стола, доски, зеркала и т.п.

3 Точки и прямые Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку. Две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек. В качестве аксиомы принимается следующее свойство прямых: Через любые две точки проходит единственная прямая Точка может принадлежать данной прямой, в этом случае говорят также, что прямая проходит через точку, а может и не принадлежать ей, в этом случае говорят, что прямая не проходит через точку.

4 Обозначения ЗаписьЧтение Точка A, точка B, точка C, …A, B, C, … a, b, c, … AB, CD, … Прямая a, прямая b, … Прямая AB, прямая CD, … Точка A принадлежит прямой a. Точка B не принадлежит прямой a.

5 Вопрос 1 Какие геометрические фигуры являются основными? Ответ: Точка, прямая, плоскость.

6 Вопрос 2 Какие объекты идеализирует точка? Ответ: Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т.е. таких, размерами которых можно пренебречь.

7 Вопрос 3 Какие объекты идеализирует прямая? Ответ: Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы, по прямой распространяется свет.

8 Вопрос 4 Какие объекты идеализирует плоскость? Ответ: Плоскость является идеализацией ровной поверхности воды, поверхности стола, доски, зеркала и т.п.

9 Вопрос 5 Как Евклид определял точку? Ответ: Евклид определял точку как то, что не имеет частей.

10 Вопрос 6 Как изображаются точки? Ответ: Точки изображаются остро отточенным карандашом или ручкой на листе бумаги, мелом на доске и т.п.

11 Вопрос 7 Как обозначаются точки? Ответ: Точки обозначаются прописными латинскими буквами A, B, C, ….

12 Вопрос 8 Как проводятся прямые? Ответ: Прямые проводятся на листе бумаги или доске с помощью линейки.

13 Вопрос 9 Как обозначаются прямые? Ответ: Прямые обозначаются строчными латинскими буквами a, b, c. или двумя прописными латинскими буквами AB, CD.

14 Вопрос 10 Какие свойства основных геометрических фигур называются аксиомами? Ответ: Аксиомами называются свойства геометрических фигур, принимаемые без доказательства.

15 Вопрос 11 Как переводится слово «аксиома» с греческого языка? Ответ: Достойное признания, не вызывающее сомнения.

16 Вопрос 12 Как могут располагаться друг относительно друга точка и прямая? Ответ: Точка может принадлежать данной прямой, а может и не принадлежать ей.

17 Вопрос 13 Какое свойство принимается в качестве аксиомы взаимного расположения точек и прямой? Ответ: Через любые две точки проходит единственная прямая.

18 Вопрос 14 Какие две прямые называются пересекающимися? Ответ: Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

19 Вопрос 15 Какие две прямые называются параллельными? Ответ: Две прямые называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки.

20 Упражнение 1 Сколько прямых можно провести через: а) одну точку; б) две точки? Ответ: а) Бесконечно много; б) одну.

21 Упражнение 2 Сколько прямых можно провести через три точки? Ответ: Либо одну, либо ни одной.

22 Упражнение 3 Сколько прямых изображено на рисунке? Сколько у них точек попарных пересечений? Ответ: 5 прямых, 10 точек.

23 Упражнение 4 Сколько прямых можно провести через различные пары из трех точек, не лежащих на одной прямой? Ответ: Три.

24 Упражнение 5 Сколько прямых можно провести через различные пары из четырех точек, ни какие три из которых не лежат на одной прямой? Ответ: 6.

25 Упражнение 6 Сколько прямых можно провести через различные пары из пяти точек, ни какие три из которых не лежат на одной прямой? Ответ: 10.

26 Упражнение 7* Сколько прямых можно провести через различные пары из n точек, ни какие три из которых не лежат на одной прямой? Решение: Пусть A 1, …, A n – n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Зафиксируем точку A 1. Так как число оставшихся точек равно n – 1 и через каждую из них и точку A 1 проходит одна прямая, то через точку A 1 будет проходить n – 1 прямая. Заметим, что рассуждения, проведенные для точки A 1, справедливы для любой другой точки. Поскольку всего n точек и через каждую из них проходит n – 1 прямая, то число прямых, посчитанных для всех точек, будет равно n(n – 1). При этом, поскольку одна прямая проходит через две точки, то каждую прямую посчитаем дважды, один раз как прямую, проходящую через одну точку, а другой – как прямую, проходящую через вторую точку. Поэтому число прямых, проходящих через различные пары из n данных точек, будет равно.

27 Упражнение 8 Сколько различных точек попарных пересечений могут иметь три прямые? Ответ: Ни одной, одну, две, три.

28 Упражнение 9 Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь четыре прямые? Ответ: 6.

29 Упражнение 10 Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь пять прямых? Ответ: 10.

30 Упражнение 11* Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь n прямых? Решение: Заметим, что наибольшее число точек попарных пересечений получается, если каждая прямая пересекается с каждой, и при этом никакие три прямые не пересекаются в одной точке. В этом случае каждая прямая имеет n – 1 точку пересечения с остальными прямыми, и мы находимся в ситуации, аналогичной ситуации задачи 7. Имеется n прямых и на каждой прямой n – 1 точка. При этом, каждая точка принадлежит ровно двум прямым. Следовательно, число точек попарных пересечений будет равно.

Источник

Плоскость, прямая линия, луч

Плоскость в математике можно сравнить с другими плоскостями, которые окружают нас в повседневной жизни: школьная доска, лист бумаги, экран планшета или смартфона и т.д. На них мы можем легко обозначить точки и линии, которые мы изучали на предыдущем уроке. На школьной доске мы это делаем мелом или фломастером, на листе бумаги можем нарисовать их ручкой, карандашом, фломастером; когда мы прокручиваем окно сайта или приложения на смартфоне, мы проводим на экране пальцем линию, когда переходим по ссылкам – ставим на его плоскости точку.

Но эти примеры плоскостей из жизни имеют свои размеры и границы, они конечные, их можно измерять.

Плоскость – это воображаемая абсолютно ровная и неизменяемая поверхность, которая не имеет толщины, но обладает бесконечными длиной и шириной.

Плоскость нельзя измерять, потому что она бесконечная.

Плоскость нельзя согнуть, в каком бы положении она ни находилась.

Все объекты и фигуры, которые изучаются в курсе математики 5 класса, находятся на плоскости.

Прямая линия

Прямая линия – абсолютно ровная линия, которая длится бесконечно в обе стороны, и на всем ее протяжении не изгибается и не преломляется.

Обозначение прямой

Например, на рисунке 1 обозначены такие прямые:

Рис. 1 Обозначение прямой линии

Рис. 2 Обозначение прямой с несколькими точками

Некоторые свойства прямой

Две точки, лежащие на одной прямой, создают отрезок этой прямой.

Через две любые точки на плоскости можно провести единственную прямую.

Рис. 3 Отрезок на прямой

Две разные прямые могут пересекаться или не пересекаться.

Две прямые пересекаются в том случае, если у них есть общая точка.

Рис. 5 Пересечение прямых

Более подробно об этих и других свойствах прямой написано в уроке геометрии 7 класса.

Луч – это часть прямой, которая начинается в определенной точке и длится бесконечно в одну сторону.

Рис. 6 Деление прямой линии точкой

У луча есть начало, но нет конца. От прямой луч отличается тем, что луч бесконечно продолжается только в одну сторону.

Свое название этот математический объект получил по аналогии с лучом света, который имеет начало (источник света), но определенного конца у него нет.

Обозначение луча

Луч, как и прямую, обозначают двумя способами.

Рис. 7 Обозначение луча

На рисунке 2 приведены примеры обозначения луча:

Луч имеет второе название – полупрямая.

Рис. 8 Дополнительные друг другу и совпадающие лучи

На рисунке 8 видно, что:

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.6 / 5. Количество оценок: 22

Источник

Параллельность в пространстве с примерами решения

Содержание:

Параллельность в пространстве

В этом параграфе вы ознакомитесь с основными понятиями стереометрии, аксиомами стереометрии и следствиями из них. Расширите свои представления о многогранниках. Вы узнаете о взаимном расположении двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве. Ознакомитесь с правилами, по которым изображают пространственные фигуры на плоскости.

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии

Изучая математику, вы со многими понятиями ознакомились с помощью определений. Так, из курса планиметрии вам хорошо знакомы определения четырехугольника, трапеции, окружности и др.

Определение любого понятия основано на других понятиях, содержание которых вам уже известно. Например, рассмотрим определение трапеции: «Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны». Видим, что определение трапеции основано на таких уже введенных понятиях, как четырехугольник, сторона четырехугольника, параллельные и непараллельные стороны и др. Итак, определения вводятся по принципу «новое основано на старом». Тогда ясно, что должны существовать первоначальные понятия, которым определений не дают. Их называют основными понятиями (рис. 27.1).

В изученном вами курсе планиметрии определения не давали таким фигурам, как точка и прямая. В стереометрии, кроме них, к основным понятиям отнесем еще одну фигуру — плоскость.

Наглядное представление о плоскости дают поверхность водоема в безветренную погоду, поверхность зеркала, поверхность полированного стола, мысленно продолженные во всех направлениях.

Используя понятие плоскости, можно считать, что в планиметрии мы рассматривали только одну плоскость, и все изучаемые фигуры принадлежали этой плоскости. В стереометрии же рассматривают бесконечно много плоскостей, расположенных в пространстве.

Как правило, плоскости обозначают строчными греческими буквами

Плоскость, так же как и прямая, состоит из точек, то есть плоскость — это множество точек.

Существует несколько случаев взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве. Приведем примеры.

На рисунке 27.4 изображена точка А, принадлежащая плоскости . Также говорят, что точка А лежит в плоскости или плоскость проходит через точку А. Кратко это можно записать так: .

На рисунке 27.5 изображена точка В, не принадлежащая плоскости . Кратко это можно записать так: .

На рисунке 27.6 изображена прямая , принадлежащая плоско­сти . Также говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую . Кратко это можно записать так:

Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая пересекает плоскость. На рисунке 27.7 изображена прямая , пересекающая плоскость в точке А. Записывают:

В дальнейшем, говоря «две точки», «три точки», «две плоскости» и т.п., будем иметь в виду, что это разные точки, разные прямые и разные плоскости. Если две плоскости имеют общую точку, то говорят, что эти плоскости пересекаются.

На рисунке 27.8 изображены плоскости , пересекающиеся по прямой . Записывают:

На начальном этапе изучения стереометрии невозможно доказывать теоремы, опираясь на другие утверждения, поскольку этих утверждений еще нет. Поэтому первые свойства, касающиеся точек, прямых и плоскостей в пространстве, принимают без доказательства и называют аксиомами. Отметим, что ряд аксиом стереометрии по формулировкам до­словно совпадают со знакомыми вам аксиомами планиметрии.

Мы не будем знакомиться со строгим аксиоматическим построением стереометрии. Рассмотрим лишь некоторые утверждения, выражающие основные свойства плоскостей пространства, основываясь на которых обычно строят курс стереометрии в школе.

Аксиома А1. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.

Если в любой плоскости пространства выполняются аксиомы планиметрии, то выполняются и следствия из этих аксиом, то есть теоремы планиметрии. Следовательно, в стереометрии можно поль­зоваться всеми известными нам свойствами плоских фигур.

Аксиома А2. Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Рисунки 27.9-27.11 иллюстрируют эту аксиому.

Из этой аксиомы следует, что три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость, про­ ходящую через эти точки. Поэтому для обозначения плоскости можно указать любые три ее точки, не лежащие на одной прямой.

Например, на рисунке 27.12 изображена плоскость АВС. Запись означает, что точка М принадлежит плоскости АВС. Запись означает, что прямая MN принадлежит плоскости АВС (рис. 27.12).

Аксиома АЗ. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

Например, на рисунке 27.13 точки А, В и С принадлежат плоскости АВС. Тогда можно записать: Из этой аксиомы следует, что если прямая не принадлежит плоскости, то она имеет с данной плоскостью не более одной общей точки.

Утверждение, сформулированное в аксиоме АЗ, часто используют на практике, когда хотят проверить, является ли данная поверхность ровной (плоской). Для этого к поверхности в разных местах прикладывают ровную рейку и проверяют, есть ли зазор между рейкой и поверхностью (рис. 27.14).

Аксиома А4. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Эту аксиому можно проиллюстрировать с помощью согнутого листа бумаги или с помощью вашего учебника (рис. 27.15).

Пример:

Докажите, что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Решение:

Пусть точка А является общей для двух плоскостей , то есть (рис. 27.16). По аксиоме А4 плоскости пересекаются по прямой. Пусть Тогда все общие точки плоскостей принадлежат прямой . Точка А является общей для плоскостей . Следовательно, Кроме аксиом, есть и другие свойства, описывающие взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве. Опираясь на аксиомы, можно доказать, например, следующие утверждения (следствия из аксиом стереометрии).

Теорема 27.1. Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость, и притом только одна (рис. 27.17).

Теорема 27.2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна (рис. 27.18).

Из аксиомы А2 и теорем 27.1 и 27.2 следует, что плоскость однозначно определяется:

Таким образом, мы указали три способа задания плоскости.

Пространственные фигуры

Начальные сведения о многогранниках. В стереометрии, кроме точек, прямых и плоскостей, рассматривают пространственные фигуры, то есть фигуры, не все точки ко­торых лежат в одной плоскости. Некоторые из пространственных фигур вам уже знакомы. Так, на рисунке 28.1 изображены цилиндр, конус и шар. Подробно эти фигуры вы будете изучать в 11 классе.

На рисунке 28.2 изображена еще одна знакомая вам пространственная фигура — пирамида. Эта фигура является частным видом многогранника. Примеры многогранников показаны на рисунке 28.3.

Поверхность многогранника состоит из многоугольников. Их называют гранями многогранника. Стороны многоугольников называют ребрами многогранника, а вершины — вершинами много­гранника (рис. 28.4).

На рисунке 28.5 изображена пятиугольная пирамида FABCDE.

Поверхность этого многогранника состоит из пяти треугольников, которые называют боковыми гранями пирамиды, и одного пятиугольника, который называют основанием пирамиды. Вершину F, общую для всех боковых граней, называют вершиной пирамиды.

Ребра FA, FB, FC, FD и FE называют боковыми ребрами пирамиды, а ребра А В, ВС, CD, DE и ЕА — ребрами основания пирамиды.

На рисунке 28.6 изображена треугольная пирамида DABC. Треугольную пирамиду называют также тетраэдром.

Еще одним частным видом многогранника является призма. На рисунке 28.7 изображена треугольная призма . Этот многогранник имеет пять граней, две из которых — равные треугольники АВС и Их называют основаниями призмы.

Остальные грани призмы — параллелограммы. Их называют боковыми гранями призмы. Ребра называют боковыми ребрами призмы.

На рисунке 28.8 изображена четырехугольная призма . Ее поверхность состоит из двух равных четырехугольников ABCD и (основания призмы) и четырех параллелограммов (боковые грани призмы).

Вы знакомы также с частным видом четырехугольной призмы — прямоугольным параллелепипедом. На рисунке 28.9 изображен прямоугольный параллелепипед . Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

В свою очередь, частным видом прямоугольного параллелепипеда является куб. Все грани куба — равные квадраты (рис. 28.10).

Четырехугольную призму, основанием которой является параллелограмм, называют параллелепипедом.

В курсе геометрии 11 класса вы более подробно ознакомитесь с многогранниками и их частными видами.

Пример:

На ребрах и куба отметили соответственно точки М и N так, что (рис. 28.11). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью АВС.

Решение:

Точки М и N принадлежат плоскости . Тогда по аксиоме АЗ прямая MN принадлежит этой плоскости. Аналогично прямая AD также принадлежит плоскости . Из планиметрии известно, что прямые, лежащие в одной плоскости, или параллельны, или пересекаются. Поскольку , то прямые AD и MN пересекаются. Пусть X — точка их пересечения (рис. 28.12). Точки А и D принадлежат плоскости АВС. Тогда по аксиоме АЗ прямая AD принадлежит этой же плоскости. Точка X принадлежит прямой AD. Следовательно, точка X принадлежит плоскости АВС. Поскольку точка X также принадлежит прямой MN, то прямая MN пересекает плоскость АВС в точке X.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Из курса планиметрии вы знаете, что две прямые называют пересекающимися, если они имеют только одну общую точку. Такое же определение пересекающихся прямых дают и в стереометрии. Вам также известно, что две прямые называют параллельными, если они не пересекаются. Можно ли это определение перенести в стереометрию?

Обратимся к рисунку 29.1, на котором изображен куб . Каждая из прямых АВ и не имеет с прямой DC общих точек. При этом прямые АВ и DC лежат в одной плоскости — в плоскости АВС, а прямые и DC не лежат в одной плоскости, то есть не существует плоскости, которая проходила бы через эти прямые. Этот пример показывает, что в стереометрии для двух прямых, не имеющих общих точек, возможны два случая взаимного расположения: прямые лежат в одной плоскости и прямые не лежат в одной плоскости. Для каждого из этих случаев дадим соответствующее определение.

Определение. Две прямые в пространстве называют параллельным и, если они лежат в одной плоскости и не пересека­ются. Если прямые параллельны, то записывают:

Определение. Две прямые в пространстве называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Например, на рисунке 29.1 прямые АВ и DC — параллельные, а прямые и DC — скрещивающиеся.

Наглядное представление о параллельных прямых дают колонны здания, корабельный лес, бревна сруба (рис. 29.2).

Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают провода линий электропередачи, различные элементы строительных конструкций (рис. 29.3). Итак, существуют три возможных случая взаимного расположения двух прямых в пространстве (рис. 29.4):

Два отрезка называют параллельными (скрещивающимися), если они лежат на параллельных (скрещивающихся) прямых. Например, ребра и треугольной призмы (рис. 29.5) являются параллельными, а ребра АС и — скрещивающимися.

Теорема 29.1. Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство. Пусть даны параллельные прямые Докажем, что существует единственная плоскость такая, что

Существование плоскости , проходящей через прямые , следует из определения параллельных прямых.

Если предположить, что существует еще одна плоскость, проходящая через прямые , то через прямую а и некоторую точку прямой будут проходить две различные плоскости, что проти­воречит теореме 27.1.

Существует три способа задания плоскости. Теорему 29.1 можно рассматривать как еще один способ задания пло­скости — с помощью двух параллельных прямых.

Установить параллельность двух прямых, лежащих в одной плоскости, можно с помощью известных вам из курса планиметрии признаков параллельности двух прямых. А как установить, являются ли две прямые скрещивающимися? Ответить на этот вопрос позволяет следующая теорема.

Теорема 29.2 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые — скрещивающиеся (рис. 29.6).

На рисунке 29.7 ребра АВ и DC тетраэдра DABC являются скрещивающимися. Действительно, прямая DC пересекает плоскость АВС в точке С, не принадлежащей прямой АВ. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых прямые АВ и DC являются скрещивающимися.

Параллельность прямой и плоскости

Вам уже известны два возможных случая взаимного расположения прямой и плоскости:

Понятно, что возможен и третий случай, когда прямая и плоскость не имеют общих точек. Например, прямая, содержащая ребро куба , не имеет общих точек с плоскостью АВС (рис. 30.1).

Определение. Прямую и плоскость называют параллель­ными, если они не имеют общих точек.

Если прямая и плоскость параллельны, то записывают: Также принято говорить, что прямая параллельна плоскости , а плоскость параллельна прямой .

Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости, дают некоторые спортивные снаряды. Например, брусья параллельны плоскости пола (рис. 30.2). Другой пример — водосточная труба: она параллельна плоскости стены (рис. 30.3).

Выяснять, параллельны ли данные прямая и плоскость, с помощью определения затруднительно. Гораздо эффективнее пользоваться следующей теоремой.

Теорема 30.1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не принадлежащая данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости.

Например, на рисунке 30.1 прямые и содержат противолежащие стороны квадрата . Эти прямые параллельны.

Поскольку , то по признаку параллельности прямой и плоскости

Отрезок называют параллельным плоскости, если он принадлежит прямой, параллельной этой плоскости. Например, ребро АВ куба параллельно плоскости (рис. 30.1).

Вы умеете устанавливать параллельность двух прямых с помощью теорем-признаков, известных из планиметрии. Рассмотрим теоремы, описывающие достаточные условия параллельности двух прямых в пространстве.

Теорема 30.2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

На рисунке 30.4 прямая параллельна плоскости . Плоскость проходит через прямую и пересекает плоскость по прямой . Тогда

Теорема 30.3. Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются по прямой, отличной от двух данных, то эта прямая параллельна каждой из двух данных прямых.

На рисунке 30.5 прямые параллельны, плоскость проходит через прямую , а плоскость — через прямую Тогда

Теорема 30.4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Пример:

Докажите, что если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна прямой их пересечения.

Решение:

Пусть даны прямая и плоскости такие, что (рис. 30.6). Докажем, что В плоскостях найдутся соответственно такие прямые , что Если хотя бы одна из прямых совпадает с пря­мой , то утверждение задачи доказано. Если же каждая из прямых отлична от прямой , то по теореме 30.4 Воспользовавшись теоремой 30.3, приходим к выводу, что . Но , следовательно,

Параллельность плоскостей

Рассмотрим варианты возможного взаимного расположения двух плоскостей. Вы знаете, что две плоскости могут иметь общие точки, то есть пересекаться. Понятно, что две плоскости могут и не иметь общих точек. Например, плоскости АВС и , содержащие основания призмы, не имеют общих точек (рис. 31.1).

Определение. Две плоскости называют параллельны ми, если они не имеют общих точек.

Если плоскости параллельны, то записывают: Также принято говорить, что плоскость параллельна плоскости или плоскость параллельна плоскости

Наглядное представление о параллельных плоскостях дают потолок и пол комнаты; поверхность воды, налитой в аквариум, и его дно (рис. 31.2).

Из определения параллельных плоскостей следует, что любая прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости.

В тех случаях, когда надо выяснить, являются ли две плоскости параллельными, удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 31.1 (признак параллельности двух плоско­стей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Например, на рисунке 31.3 изображен прямоугольный параллелепипед . Имеем: и . Тогда по признаку параллельности двух плоскостей .

Будем говорить, что два многоугольника параллельны, если они лежат в параллельных плоскостях. Например, грани и прямоугольного параллелепипеда параллельны (рис. 31.3). Рассмотрим некоторые свойства параллельных плоскостей.

Теорема 31.2. Через точку в пространстве, не принадлежа­щую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна (рис. 31.4).

Теорема 31.3. Прямые пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны (рис. 31.5).

Пример:

Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Решение:

Пусть даны параллельные плоскости и параллельные прямые АВ и такие, что (рис. 31.6). Докажем, что . Параллельные прямые АВ и задают некоторую плоскость причем

По теореме 31.3 получаем: . Следовательно, четырехугольник — параллелограмм. Отсюда .

Параллельное проектирование

Многие явления и процессы, наблюдаемые нами в повседневной жизни, служат примерами преобразований, при которых образом пространственной фигуры является плоская фигура. Увидеть одно из таких явлений можно в солнечную погоду, когда предмет отбрасывает тень на плоскую поверхность (рис. 32.1). Этот пример иллюстрирует преобразование фигуры, которое называют параллельным проектированием. С помощью этого преобразования на плоскости создают изображения пространственных фигур.

Многие рисунки настоящего учебника, на которых изображены пространственные фигуры, можно рассматривать как тени, отбрасываемые на плоскость страницы предметами, освещенными па­раллельными лучами. Ознакомимся подробнее с параллельным проектированием.

Пусть даны плоскость прямая пересекающая эту плоскость, и фигура F (рис. 32.2). Через каждую точку фигуры F проведем прямую, параллельную прямой (если точка фигуры F принадлежит прямой то будем рассматривать саму прямую ). Точки пересечения всех проведенных прямых с плоскостью образуют некоторую фигуру . Описанное преобразование фигуры F называют параллельным проектированием. Фигуру называют параллельной проекцией фигуры F на плоскость в направлении прямой Также фигуру называют изображением фигуры на плоскости в направлении прямой

Выбирая выгодные положения плоскости и прямой можно получить наглядное изображение данной фигуры F. Это связано с тем, что параллельное проектирование обладает рядом замечательных свойств (см. теоремы 32.1-32.3). Благодаря этим свойствам изображение фигуры похоже на саму фигуру.

Пусть даны плоскость и прямая пересекающая эту плоскость. Если прямая параллельна прямой то ее проекцией на плоскость является точ­ка (рис. 32.3). Проекцией прямой также является точка. Если отрезок параллелен прямой или лежит на прямой , то его проекцией на плоскость является точка (рис. 32.3).

В следующих теоремах будем рассматривать прямые и отрезки, не параллельные прямой и не лежащие на ней.

Теорема 32.1. Параллельной проекцией прямой является прямая; параллельной проекцией отрезка является отрезок (рис. 32.4).

Теорема 32.2. Параллельной проекцией двух параллельных прямых являются или прямая (рис. 32.5), или две параллельные прямые (рис. 32.6). Параллельные проекции двух параллельных отрезков лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 32.6).

Теорема 32.3. Отношение параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению самих отрезков (рис. 32.7).

Рассмотрим изображения некоторых многоугольников на плоскости в на­правлении прямой

Если прямая параллельна плоскости многоугольника или принадлежит этой плоскости, то изображением многоугольника является отрезок. Теперь рассмотрим случай, когда прямая пересекает плоскость много­угольника.

Из свойств параллельного проектирования следует, что параллельной проекцией треугольника является треугольник (рис. 32.8).

Поскольку при параллельном проектировании сохраняется параллельность отрезков, то изображением параллелограмма (в частности, прямоугольника, ромба, квадрата) является параллелограмм (рис. 32.9).

Также из свойств параллельного проектирования следует, что изображением трапеции является трапеция.

Параллельной проекцией окружности является фигура, которую называют эллипсом (рис. 32.10).

Изображения объектов с помощью параллельного проектирования широко используют в самых разных областях промышленности, например в автомобилестроении (рис. 32.11).

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 4

Основные аксиомы стереометрии

Плоскость однозначно определяется:

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Свойство параллельных прямых

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые — скрещивающиеся.

Параллельность в пространстве

Прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют общих точек. Две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не принадлежащая данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости.

Условия параллельности двух прямых в пространстве

Признак параллельности двух плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей

Через точку в пространстве, не принадлежащую данной плоско­сти, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна.

Прямые пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник