Что в вашей жизни можно описать законом гармонических колебаний

Гармонические колебания

Всего получено оценок: 60.

Всего получено оценок: 60.

Колебания – одно из самых распространенных явлений в природе. Для их описания используются идеализированные модели, называемые гармоническими колебаниями. Рассмотрим это понятие подробнее.

Колебания в природе

Различные колебания окружают нас повсюду. Большинство движений в природе, даже направленных, имеют, по крайней мере, небольшую колебательную составляющую.

Рис. 1. Колебания в природе.

Среди колебаний можно выделить периодические (волны, маятник), и непериодические (флаг на ветру). Главное их отличие в том, что каждое периодическое колебание очень похоже на предыдущие и последующие своими характеристиками. Изучение непериодических колебаний показывает, что любое из них может быть представлено бесконечной суммой периодических колебаний. Поэтому, описание любых колебательных процессов базируется на описании периодических колебаний.

Гармонические колебания и их закон

Рис. 2. Запись колебаний маятника.

Кратко напомним, что причиной колебаний маятника является равнодействующая, которая в середине равна нулю, а в крайних положениях – максимальна и направлена против отклонения. Ускорение маятника изменяется точно также.

Параметры гармонического колебания

Формула гармонического колебания включает три параметра.

Определение «гармонические» для колебаний появилось в античности, в рамках изучения музыкальной гармонии, когда выяснилось, что движение колеблющейся струны может быть хорошо описано синусоидальным законом.

Что мы узнали?

Гармоническое колебание – это колебание, подчиняющееся синусоидальному закону. У гармонического колебания есть три параметра – амплитуда, частота и фаза.

Источник

Гармонические колебания.

Гармонические колебания — это колебания, при которых физическая величина меняется во времени по синусоидальному закону:

.

где х — значение колеблющейся величины в момент времени t, А — амплитуда, ω — круговая частота, φ — начальная фаза колебаний, (φt + φ) — полная фаза колебаний. При этом величины А, ω и φ — постоянные.

Для механических колебаний колеблющейся величиной х являются, в частности, смещение и скорость, для электрических колебаний — напряжение и сила тока.

Гармонические колебания занимают особое место среди всех видов колебаний, т. к. это единственный тип колебаний, форма которых не искажается при прохождении через любую однородную среду, т. е. волны, распространяющиеся от источника гармонических колебаний, также будут гармоническими. Любое негармоническое колебание может быть представлено в виде сумм (интеграла) различных гармонических колебаний (в виде спектра гармонических колебаний).

Превращения энергии при гармонических колебаниях.

В процессе колебаний происходит переход потенциальной энергии W_p в кинетическую W_k и наоборот. В положении максимального отклонения от положения равновесия потенциальная энергия максимальна, кинетическая равна нулю. По мере возвращения к положению равновесия скорость колеблющегося тела растет, а вместе с ней растет и кинетическая энергия, достигая максимума в положении равновесия. Потенциальная энергия при этом падает до нуля. Дальней­шее движение происходит с уменьшением скорости, которая падает до нуля, когда отклонение достигает своего второго максимума. Потенциальная энергия здесь увеличивается до своего перво­начального (максимального) значения (при отсутствии трения). Таким образом, колебания кинетической и потенциальной энергий происходят с удвоенной (по сравнению с колебаниями самого маятника) частотой и находятся в противофазе (т. е. между ними существует сдвиг фаз, равный π). Полная энергия колебаний W остается неизменной. Для тела, колеблющегося под действием силы упругости, она равна:

.

где v_m — максимальная скорость тела (в положении равновесия), х_m = А — амплитуда.

Из-за наличия трения и сопротивления среды свободные колебания затухают: их энергия и амплитуда с течением времени уменьшаются. Поэтому на практике чаще используют не свободные, а вынужденные колебания.

Источник

Основные характеристики гармонических колебаний

Что такое гармонические колебания в физике

Гармонические колебания и их характеристики изучает отдельный раздел физики. Основу данных процессов составляет величина, изменяемая в течение определенного временного интервала (периода), согласно косинусоидальному или синусоидальному (гармоническому) закону.

В течение одного периода тело может совершать различные движения:

Данные изменения отражает график. Они могут быть:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Гармонические колебания являются такими колебаниями, при которых характеристики движения в виде координаты, скорости и ускорения изменяются, согласно закону синуса или косинуса.

Колебания представляют собой процессы, которые обладают индивидуальными особенностями в зависимости от степени повторяемости. В качестве примера можно привести качели, ветку дерева, фазы луны, морские приливы и отливы, пульсовые волны, сердце, гортань. В технике и окружающем мире часто можно встретить периодические или близкие к ним процессы, повторяющиеся через одинаковое время. Данные процессы относят к колебательным.

Таким образом, колебаниями является процесс, характеризуемый физической величиной, последовательно изменяющейся в ту или иную сторону относительно некоторого своего среднего значения. К примеру, на качелях, которые подвешены на веревках, человек отклоняется либо вперед и вверх, либо назад и вверх, относительно равновесного положения. В таком случае, качели являются колебательной системой.

Колебательный процесс в системе возникает при воздействии внутренних или внешних сил. Когда в системе наблюдаются колебания, являющиеся результатом внутреннего воздействия, их называют свободными. В том случае, когда колебания тела повторяются через определенное время, их относят к периодическим. Для возникновения свободных колебаний необходимы следующие условия:

Основные характеристики

Колеблющийся на пружине груз обладает определенным ускорением. Данная величина пропорциональна его смещению от равновесного положения:

С другой стороны, ускорение является второй производной координаты. Таким образом, в случае наблюдения свободных колебаний, координата изменяется в течение времени так, что вторая производная координаты по времени будет прямо пропорциональна рассматриваемой координате и обладать противоположным ей знаком:

Вид уравнения гармонических колебаний определяется начальными условиями. Характер колебательного движения зависит от амплитуды, являющейся расстоянием, на которое в начальный момент времени отклонилось тело от равновесного положения. Обозначение амплитуды: x_. Исходя из этого, функция будет преобразована следующим образом:

В результате уравнение для описания свободных колебаний будет иметь вид:

Постоянную величину можно обозначить \(\omega _<0>\)

Тогда уравнение примет вид:

Уравнение движение, описывающее свободные колебания:

Период и частота гармонических колебаний

Минимальное время Т, спустя которое движение тела полностью повторяется, является периодом колебания.

Если известен период колебания, то можно рассчитать частоту колебаний.

Частота колебаний представляет собой число колебаний за единицу времени.

Связь между периодом и частотой колебаний можно записать в виде уравнения:

Исходя из этого, \(\omega _<0>\) является числом колебаний тела за \(2\pi\) секунд. Данную характеристику называют циклической или круговой частотой. Частота свободных колебаний является собственной частотой колебательной системы.

Зависимость частоты и периода свободных колебаний от свойств системы

Существует связь между циклической частотой, периодом и частотой колебаний. Из этого можно заключить, что период и частота также определяются свойствами системы:

Фаза колебаний

При известной амплитуде гармонических колебаний движущееся тело будет иметь координату в какой-либо момент времени, которая определяется аргументом косинуса или синуса. Данный аргумент можно записать так:

Фаза определяет при заданной амплитуде состояния колебательной системы в любой момент времени.

Если колебания обладают одинаковой частотой и амплитудой, то они могут отличаться друг от друга фазами. Формула фазы:

С помощью \(\frac\) можно определить, какая часть временного периода прошла с момента начала колебательных движений. Для любого момента времени, выраженного в долях периода, характерно значение фазы, выраженное в радианах. Графически зависимость координаты точки, совершающей колебания, от фазы можно изобразить в виде косинусоиды либо синусоиды. Аргументом функции при этом будет фаза, выраженная в радианах.

Превращение энергии при гармонических колебаниях

При описании энергетических превращений в данном случае допустимо пренебречь силой трения. Можно рассмотреть следующую ситуацию:

Если шарик отпустить, то это приведет к возникновению силы упругости. Под ее воздействием тело будет двигаться в левую сторону. Когда шарик проходит через положение равновесия в первый раз, его потенциальная энергия принимает нулевое значение, а кинетическая энергия достигает максимума при максимальной скорости:

При преодолении точки О шарик удаляется от равновесного положения, наблюдается рост потенциальной энергии. При этом уменьшается кинетическая энергия. Крайнее левое положение тела характеризуется нулевой кинетической энергией и максимальной потенциальной энергией. Закон сохранения энергии будет записан следующим образом:

В реальности свободные колебания всегда затухают за счет действия силы трения. Механическая энергия частично рассеивается, как тепло. Пример подобного процесса изображен на графике:

Резонанс

Наиболее простым способом сформировать незатухающие колебания служит воздействие на систему внешней периодической силы. Данные колебания называют вынужденными. Благодаря притоку энергии извне, колебательные движения продолжаются без остановки, даже с учетом действия сил трения.

В качестве примера можно рассмотреть качели, отклоняемые от точки равновесия толчком. Каждый последующий толчок увеличивает амплитуду колебаний качелей до тех пор, пока она не достигнет максимума. Описываемое явление называют резонансом.

Резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, происходящее при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой свободных колебаний.

Графически резонанс можно представить в виде резкого скачка графика в верхнем направлении. Амплитуда колебаний определяется величиной сил трения. Чем больше сила трения, тем меньше при резонансе возрастает амплитуда вынужденных колебаний. Процесс проиллюстрирован на графиках. На первом графике можно наблюдать ситуацию с минимальным трением, а на третьем – с максимальным.

Описание графика, применение маятников

Гармонические колебания обладают важным признаком, который заключается в том, что период колебаний не зависит от их частоты. В качестве моделей для демонстрации гармонических колебаний используют:

Предположим, что возвращающей силой является сила упругости, которая определяется по формуле:

где x – является отклонением от положения равновесия;

k – это коэффициент упругости.

Согласно второму закону Ньютона:

Если разделить полученное уравнение на массу, то получится выражение для определения ускорения колеблющегося тела:

При известной угловой частоте, исходя из выведенной записи второго закона Ньютона, линейную частоту или период колебаний можно рассчитать так:

Аналогичным способом можно определить угловую частоту для математического маятника. Кроме того, при колебательных движениях действует закон сохранения энергии.

Вызвать колебательные движения маятника, которые являются гармоническими, можно с помощью двух методов. В первом случае груз из равновесного положения выводят, а затем отпускают. Такое движение графически изображено на рисунке.

Второй способ заключается в придании телу импульса, после чего оно будет совершать гармонические колебания. К примеру, можно толкнуть предмет или раскачать качели, вначале выводя их из равновесного положения, а затем, отпустив. В любом промежуточном значении маятника сумма кинетической и потенциальной энергии будет равна начальной энергии рассматриваемого маятника.

В реальности маятники, способные достаточно долго колебаться, не существуют. Такая ситуация является абстракцией.

Система маятников не является замкнутой по причине наличия силы трения. Действие этой силы способствует энергетическим потерям во время колебательных движений маятника.

Силы трения могут быть внешними и внутренними. В первом случае, это окружающий воздух или другая среда. Внутренняя сила может быть в подвесе маятника.

В результате амплитуда колебаний будет уменьшаться. В итоге это приведет к полной остановке маятника. При этом колебания будут затухающими.

Затухающие колебания – колебания, происходящие в незамкнутой системе, в том числе под действием силы трения.

Амплитуда таких колебаний с течением времени затухает. Большинство колебаний в окружающей среде относятся к затухающим колебаниям из-за постоянного присутствия сил трения.

Какое уравнение выражает смысл гармонического колебания

Согласно определению, гармонические колебания обладают кинематическими характеристиками, которые меняются по закону синуса или косинуса.

Визуализировать гармонические колебания можно, представив вращательное движение как колебательное движение вдоль двух осей, которые взаимно перпендикулярны. Предположим, что тело вращается по окружности с радиусом А. Начальное его положение совпадает с точкой С. В начале движения радиус-вектор, который описывает рассматриваемую точку, расположен под углом \(\varphi _<0>\) к оси ОХ.

По проекциям радиуса на оси можно рассчитать начальные координаты:

Можно предположить, что, спустя время t, тело, обладая угловой скоростью \omega, переместилось в точку D. В этом случае угол поворота радиус-вектора относительно начального положения равен \(\varphi.\) Текущие координаты тела будут равны:

\(x=A\cos (\varphi +\varphi _<0>)\)

\(y=A\sin (\varphi +\varphi _<0>)\)

Если речь идет о равномерном движении тела по окружности, то:

\(x=A\cos (\omega*t +\varphi _<0>)\)

\(y=A\sin (\omega*t +\varphi _<0>)\)

Записанные равенства представляют собой закон движения материальной точки, которая совершает гармонические колебания в контуре. Если \(\sin (90^<0>-\alpha )=\cos \alpha,\) то уравнение можно преобразовать следующим образом:

\(x=A\cos (\omega*t +\varphi _<0>)=A\sin (\omega*t-90^ <0>+\varphi _<0>)=A\sin (\omega t+\varphi ^<,>_<0>)\)

где \(\varphi ^<,>_ <0>= \varphi _<0>-90^<0>\) является новым параметром, характеризующим некое другое начальное положение тела.

Исходя из представленных закономерностей, следует, что записанные уравнения являются в теории одинаковыми при разных начальных условиях. В качестве примера можно разобрать только первое уравнение. Каждый из введенных параметров, имея аналог во вращательном движении, описывается по-другому в колебательном движении:

\(x=A\cos (\omega*t +\varphi _<0>)\)

х — является текущей координатой тела;

А — это амплитуда колебаний (максимальное отклонение тела от положения равновесия);

\(\omega\) — определяет циклическую частоту колебания;

t — является временем движения;

\(\varphi _<0>)\) — представляет собой начальную фазу колебания;

\((\omega*t +\varphi _<0>) \) — текущая фаза колебания (все, что стоит под тригонометрической функцией).

Обладая информацией об общем виде колебательного движения, можно определить зависимость скорости и ускорения от времени:

\(x=A\cos (\omega*t +\varphi _<0>)\)

\(v_=-A\omega \sin(\omega*t +\varphi _<0>)\)

где \(v_\) является скоростью тела, \(a_\) – это его ускорение.

Данное уравнение является основным уравнением гармонических колебаний, которое часто встречается при решении задач.

Применение гармонических колебаний в жизни

Колебания часто встречаются в природе и технике. Как и вращение, колебательные процессы являются основой развития таких отраслей, как электротехника и радиотехника. Зачастую колебания носят негативный характер. К примеру, вибрируют крылья самолета, корпуса судов, здания и сооружения из-за резонанса с эксплуатируемым там оборудованием. Данное обстоятельство учитывают инженеры при реализации подобных проектов.

Колебания используют при создании музыкальных инструментов. Например, струны колеблются под руками музыканта, что вызывает колебания воздуха, и окружающие слышат звуки музыки.

Многие важные внутренние процессы в организме человека относят к колебательным. Например, человеческое сердце, находясь в состоянии покоя, совершает приблизительно одно колебательное движение в течение секунды. Повторяющиеся нервные импульсы провоцируют непрерывное сокращение и растягивание мышц. Люди слышат и говорят, благодаря колебаниям.

Свет также обладает колебательной природой. Кроме того, и атомы совершают колебательные движения. Гармоничные колебания тока активно применяются в производстве технических приборов.

В радиотехнике и электросвязи широко используют гармонические сигналы от долей Гц (инфранизкие частоты) до десятков и сотен ГГц (сверхвысокие частоты). Разнообразные звуки и изображения транспортируются на удаленные расстояния, благодаря электромагнитным волнам.

Электромагнитные волны образуются в результате существования переменного тока с высокой частотой определенного напряжения, который подводят к передатчику, а для получения высокочастотного переменного тока используются электронные генераторы, входящие в конструкцию радиопередатчика.

Источник

Гармонические колебания

Техника и окружающий мир являются примерами того, что существуют такие процессы, которые повторяются через определенные промежутки времени, то есть периодически. Их называют колебательными.

Колебательные движения. Формулы

Такие движения относят к явлениям с разной физической природой с подчинением общим закономерностям. Запись колебания тока в электрической цепи и математического маятника производится одним и тем же уравнением. Различная природа колебательных движений позволяет рассматривать их с единой точки зрения, исходя из общности закономерностей.

Механические колебания – это периодические или непериодические изменения физической величины, описывающей механическое движение (скорость, перемещение и так далее).

Когда в заданной среде атомы располагаются очень близко или молекулы испытывают силовое воздействие, наблюдается возбуждение механических колебаний. Это говорит о том, что процесс будет иметь конечную скорость, зависящую от свойств среды, которая распространяется от точки к точке. Так возникают механические волны. Явный пример – звуковые волны в воздухе.

Волновые процессы и колебания разной природы имеют много общего, а их распространение может быть описано аналогичными математическими уравнениями. Это подтверждает единство материального мира.

Гармонические колебания. Определение

В механике предусмотрено движение поступательно, вращательно и с наличием колебаний.

Механические колебания – это движения тел, которые повторяются точно или приблизительно за определенные одинаковые временные промежутки.

Механические колебания подразделяют на свободные и вынужденные.

Действия внутренних сил системы после выведения из равновесия порождают свободные колебания. Примером могут служить колебания груза на пружине или маятника. Если их действие происходит под воздействием внешних сил, тогда их называют вынужденными.

Гармонический закон

Источник

Гармонические колебания

9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение характеризуется величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Формула периода колебаний

T = t/N

N — количество колебаний [-]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

N — количество колебаний [-]

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:

Уравнение гармонических колебаний

x — координата в момент времени t [м]

t — момент времени [с]

2πνtв этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

Фаза колебаний

t — момент времени [с]

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника

g — ускорение свободного падения [м/с^2]

На планете Земля g = 9,8 м/с2

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника

m — масса маятника [кг]

k — жесткость пружины [Н/м]

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.

Рассмотрим его на примере математического маятника.

Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Источник

• ← Что в вашей жизни движется равнозамедленно а что равноускоренно
• Что в вашей косметичке →