что значит если косинус угла отрицательный
Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = Противолежащий катет гипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos α = Прилежащий катет гипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет
tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C
ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B
tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B
ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C
Тригонометрия: Тригонометрический круг
Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :
cos α = O B O A = O B 1 = O B
sin α = A B O A = A B 1 = A B
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Основное тригонометрическое тождество
sin 2 α + cos 2 α = 1
Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :
A B 2 + O B 2 = O A 2
sin 2 α + cos 2 α = R 2
sin 2 α + cos 2 α = 1
Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
Тригонометрия: градусы и радианы
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Тригонометрия: Формулы приведения
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °
sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °
cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °
cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °
cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °
Рассмотрим тупой угол β :
Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin ( 180 ° − α ) = sin α
cos ( 180 ° − α ) = − cos α
tg ( 180 ° − α ) = − tg α
ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α
Тригонометрия: Теорема синусов
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C
Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R
Тригонометрия: Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
Это тема 10-11 классов.
Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!
Чему равен отрицательный косинус?
Сравнение косинусных функций
Два уравнения показывают, что косинус отрицательного угла равен всегда равен косинусу угла. Это называется косинусом тождества отрицательного угла и часто используется в качестве формулы в тригонометрической математике.
В связи с этим, Чему равен отрицательный синус?
В связи с этим, почему cos отрицательный положительный?
Кроме того, что такое отрицательный угол?
: угол, образованный в направлении, противоположном произвольно выбранному, обычно по часовой стрелке..
Как получить отрицательный грех?
Функция обратной синусоиды
Что такое отрицательный угол?
2 ответа. Отрицательные углы имеют делать с направлением вращения, которое вы считаете для измерения углов. Обычно вы начинаете считать свои углы с положительной стороны оси x в направлении вращения против часовой стрелки:… отрицательный эквивалент этих слов в математике.
Почему у меня отрицательный синус?
As угол увеличивается с 90 ° до 180 °, синус уменьшается с максимального значения 1 до значения 0. По мере увеличения угла от 90 ° до 180 ° косинус увеличивается по величине, но теперь имеет отрицательное значение.
Cos 143 положительный или отрицательный?
Что такое cos 143 °? В круге с радиусом r, горизонтальной осью x и вертикальной осью y угол 143 градуса образуется двумя сторонами x и r; r движется против часовой стрелки. положительный угол.
Как узнать, что грех отрицательный?
Отношение синусов y / r, а гипотенуза r всегда положительна. Значит синус будет отрицательным когда y отрицательно, что происходит в третьем и четвертом квадрантах.
Как найти отрицательный угол?
Из школьных занятий вы знаете, что это эквивалент «отрицательного угла».
Запас слов. Язык: английский ▼ английский.
Что делать, если угол отрицательный?
Что такое COS в степени отрицательной 1?
Где начинается график отрицательного cos?
Для графика отрицательного косинуса график начинается от минимума до максимума и возвращается к минимуму. + Синусоидальный график: для положительного синусоидального графика график начинается на средней линии, поднимается до максимума, возвращается к средней линии, пока не достигнет минимума, и заканчивается снова на средней линии.
Почему cos отрицательный во 2-м квадранте?
Для угла во втором квадранте точка P имеет отрицательная координата x и положительная y координировать. Следовательно: в квадранте II cos (θ) 0 и tan (θ) 0, sin (θ) Что делать, если угол отрицательный?
Может ли гипотенуза быть отрицательной?
Итак, по этой логике, гипотенуза треугольника (и в этом отношении любой длины) не может быть отрицательным и так должно быть положительно.
Cos 93 положительный или отрицательный?
Что такое cos 93 °? В круге с радиусом r, горизонтальной осью x и вертикальной осью y угол 93 градуса образуется двумя сторонами x и r; r движется против часовой стрелки. положительный угол.
Может треугольники отрицательная сторона?
Например, поскольку в треугольнике все стороны положительны, соотношение сторон мы не получаем никаких отрицательных значений но как тогда cos120∘ = −0.5.
Почему cos отрицательный во 2-м квадранте?
Также обратите внимание, что во втором квадранте значение y положительно. … Во втором квадранте x всегда отрицательно. Таким образом, cos θ displaystyle cos
Может ли сторона быть отрицательной?
Нет. Величина не может быть отрицательной потому что он считается положительным или равным нулю между всеми точками (элементами). Это метрическое пространство по самому первому правилу. Это вдохновляет Норму (метрика на пространствах норм).
Как выглядит график cos?
Грех отрицательный или положительный?
Является ли Sin отрицательным или положительным во втором квадранте?
Синус и косеканс равны положительный в квадранте 2, тангенс и котангенс положительны в квадранте 3, а косинус и секанс положительны в квадранте 4.
Что значит если косинус угла отрицательный
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )
В предыдущем уроке мы освоили базовые понятия. Это понятия тригонометрическая окружность, угол, синус и косинус этого угла. Освоили, что называется, «на пальцах». Главное сделано. Но чтобы толково использовать эти понятия на практике, надо чётко усвоить два момента.
1. Как считаются углы?
2. В чём они считаются?
Положительные и отрицательные углы в тригонометрии.
В этом небольшом уроке разберём первый вопрос.
Итак, как считать углы на тригонометрическом круге?
Смотрим на рисунок.
И добавлена зелёная стрелка. С плюсом. Что она означает? Напомню, что неподвижная сторона угла всегда прибита к положительной полуоси ОХ. Так вот, если подвижную сторону угла мы будем крутить по стрелке с плюсом, т.е. по возрастанию номеров четвертей, угол будет считаться положительным. Для примера на картинке показан положительный угол +60°.
Вот тут, обычно, начинаются первые непонятки. Как так!? А если отрицательный угол на круге совпадёт с положительным!? Да и вообще, получается что, одно и то же положение подвижной стороны (или точки на числовой окружности) можно обозвать как отрицательным углом, так и положительным!?
Зачем?! Как теперь считать углы, если можно и так и этак!? Как правильно!?
Не вопрос. Всяко правильно.) Выбор положительного или отрицательного исчисления угла зависит от условия задания. Если в условии ничего не сказано открытым текстом про знак угла, (типа «определить наименьший положительный угол» и т.д.), то работаем с удобными нам величинами.
Исключением (а как без них?!) являются тригонометрические неравенства, но там мы эту фишку освоим.
Углы больше 360°.
Зачем всё это нужно? Зачем нам переводить углы из одного в другой? Да всё за тем же.) С целью упрощения выражений. Упрощение выражений, собственно, главная задача школьной математики. Ну и, попутно, голова тренируется.)
Ну что, потренируемся?)
Отвечаем на вопросы. Сначала простые.
Есть проблемы? Или неуверенность? Идём в Раздел 555, Практическая работа с тригонометрическим кругом. Там, в первом уроке этой самой «Практической работы. » всё подробненько. В таких вопросах неуверенности быть не должно!
Всё нормально? Едем дальше:
Определили? Отлично! Сомневаетесь? Надо в Раздел 555. Кстати, там научитесь рисовать тангенс и котангенс на тригонометрическом круге. Очень полезная штучка.
А теперь вопросы помудрёнее.
6. Привести выражение sin777° к синусу наименьшего положительного угла.
7. Привести выражение cos777° к косинусу наибольшего отрицательного угла.
8. Привести выражение cos(-777°) к косинусу наименьшего положительного угла.
9. Привести выражение sin777° к синусу наибольшего отрицательного угла.
Что, вопросы 6-9 озадачили? Привыкайте, на ЕГЭ и не такие формулировочки встречаются. Так и быть, переведу. Только для вас!
Ответы выдам по порядку (в нарушение наших правил). А что делать, знака всего два, а четверти всего четыре. Не разбежишься в вариантах.
В следующем уроке мы разберёмся с загадочными радианами и числом «Пи». Научимся легко и правильно переводить градусы в радианы и обратно. И с удивлением обнаружим, что этой элементарной информации на сайте уже хватает, чтобы решать некоторые нестандартные задачки по тригонометрии!
Если Вам нравится этот сайт.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.
Основное тригонометрическое тождество
9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Связь между sin и cos одного угла
Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.
Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.
Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:
sin 2 α + cos 2 α = 1
Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.
Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.
В результате деления получаем:
Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.
sin 2 α + cos 2 α = 1
Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.
Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.
Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.
Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1
Образовался прямоугольный треугольник OA1B.
Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:
Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.
Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.
Исходя из определений:
Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества
задаются sin и cos углов.
Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.
Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества
верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.
применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.
Связь между тангенсом и котангенсом
Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.
Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.
Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.
tg α * ctg α = 1.
Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.
Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.
Тангенс и косинус, котангенс и синус
Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.
Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:
Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.
Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.
Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.
Основные тригонометрические тождества
sin 2 α + cos 2 α = 1
tg 2 α + 1 = 
1 + ctg 2 α = 
Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.
Примеры решения задач
Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.
Задачка 2. Найдите значение cos α,
если: 
Подставляем значения sin α:
Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.
sin(-a),cos(-a),tg(-a),ctg(-a). Минус в аргументе синуса, косинуса
И сразу два важных замечания.
Многие ученики думают, что если можно вынести минус из тригонометрической функции, то можно вынести и число, но это не так:
Квадрат меняет ситуацию. Всё дело в том, что \(sin^2(-x)=(sin(-x) )^2=(-sin\,x )^2=sin^2x\), т.е. минус все равно выносится, но так как синуса два и они перемножаются, то в итоге получается плюс.
Примеры из ЕГЭ
Из рисунка видно, что и косинус, и синус положителен. Косинус из трех стандартных значений \(\frac<1><2>\), \(\frac<\sqrt<2>><2>\), \(\frac<\sqrt<3>><2>\) принимает наименьшее т.е. \(cos\,\frac<π><3>=\frac<1><2>\). Синус из трех стандартных значений будет равен среднему т.е. \(sin\,\frac<π><4>=\frac<\sqrt<2>><2>\). Получается:
Если вы не поняли почему \(\frac<π><3>\) и \(\frac<π><4>\) находятся на круге там, где мы из обозначили, то читайте статью « Как обозначать числа с пи на числовой окружности? ». А если не поняли, как мы нашли синус и косинус, то читайте статью « Как найти синус и косинус без тригонометрической таблицы ».
Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения \(44\sqrt<3>\,tg\,(-480^° )\).
Решение. \(44\sqrt<3>\,tg(-480^° )=-44\sqrt<3>\,tg(480^° )=-44\sqrt<3>\,tg(360^°+120^° )=-44\sqrt<3>\,tg(360^°+90^°+30^°)\).
Находим \(480^°\) на окружности:
Соединяем точку, соответствующую \(480^°\) и центр окружности, и продляем до оси тангенсов:
Мы попадаем в самое маленькое (из стандартных) значение тангенса.
Значит, \(tg(480^° )=-\sqrt<3>\).
В итоге имеем: \(44\sqrt <3>tg(-480^° )=-44\sqrt<3>\cdot(-\sqrt<3>)=44\cdot 3=132\).
Ответ: \(132\).
Если вам не понятно, как мы нашли значение тангенса, то читайте статью « Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы? ».