что значит найти множество значений функции
Область определения функции
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие области определения функции
Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.
Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.
Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).
Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.
Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.
Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох.
Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.
Чтобы обозначить область определения некоторой функции f, используют запись D(f). При этом нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.
Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) = [-1, 1].
Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.
Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:
Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:
Все положительные числа можно описать так:
Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.
Области определения основных элементарных функций
Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.
На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.
Рассмотрим области определения основных элементарных функций.
Область определения постоянной функции
Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа.
Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.
Константная функция — функция, которая для любого элемента из области определения возвращает одно и то же заданное значение. Множество значений такой функции состоит из одного единственного элемента.
Область определения функции с корнем
Функцию с корнем можно определить так: y = n √x, где n — натуральное число больше единицы.
Рассмотрим две вариации такой функции.
Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:
Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4 √x, y = 6 √x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3 √x, y = 5 √x, y = 7 √x,… — множество (−∞, +∞).
Пример
Найти область определения функции: 
Так как подкоренное выражение должно быть положительным, то решим неравенство x 2 + 4x + 3 > 0.
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
Дискриминант положительный. Ищем корни:
Значит парабола a(x) = x 2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x 2 + 4x + 3 2 + 4x + 3 > 0).
Область определения степенной функции
Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.
Перечислим возможные случаи:
Рассмотрим несколько примеров.
Область определения показательной функции
Область определения показательной функции — это множество R.
Примеры показательных функций:
Область определения каждой из них (−∞, +∞).
Область определения логарифмической функции
Логарифмическая функция выглядит так: y = logax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.
Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:
Рассмотрим примеры логарифмических функций:
Область определения этих функций есть множество (0, +∞).
Пример
Укажите, какова область определения функции: 
Составим и решим систему:
Область определения тригонометрических функций
Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.
Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что 
и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.
Пример
Найдите область определения функции f(x) = tg2x.
Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:
Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:
В результате 
. Отразим графически:
Ответ: область определения: 
.
Область определения обратных тригонометрических функций
Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.
Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.
Таблица областей определения функций
Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.
И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните.
Функция
Область определения функции
Инструменты пользователя
Инструменты сайта
Боковая панель
Математика:
Контакты
Содержание
Нахождение множества значений функции
Обозначения
Способы нахождения областей значений функций.
Рассмотрим некоторые из них.
Используя производную
Общий подход к нахождению множества значений непрерывной функции f(x) заключается в нахождении наибольшего и наименьшего значения функции f(x) в области ее определения (или в доказательстве того, что одно из них или оба не существуют).
В случае, если нужно найти множества значений функции на отрезке:
Если областью определения функции является интервал, то используется та же схема, но вместо значений на концах используются пределы функции при стремлении аргумента к концам интервала. Значения пределов из не входят в множество значений.
Метод границ/оценок
Суть состоит в оценке непрерывной функции снизу и сверху и в доказательстве достижения функцией нижней и верхней границы оценок. При этом совпадение множества значений функции с промежутком от нижней границы оценки до верхней обуславливается непрерывностью функции и отсутствием у неё других значений.
Свойства непрерывной функции
Другой вариант заключается в преобразовании функции в непрерывную монотонную, тогда используя свойства неравенств оценивают множество значений вновь полученной функции.
Последовательное нахождение значений сложных аргументов функции
Основан на последовательном отыскании множества значений промежуточных функций, из которых составлена функция
Области значений основных элементарных функций
| Функция | Множество значений |
|---|---|
| $y = kx+ b$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = x^<2n>$ | E(y) = [0;+∞) |
| $y = x^<2n +1>$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = k/x$ | E(y) = (-∞;0)u(0;+∞) |
| $y = x^<\frac<1><2n>>$ | E(y) = [0;+∞) |
| $y = x^<\frac<1><2n+1>>$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = a^ | E(y) = (0;+∞) |
| $y = \log_ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = \sin | E(y) = [-1;1] |
| $y = \cos | E(y) = [-1;1] |
| $y = <\rm tg>\, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = <\rm ctg>\, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = \arcsin | E(y) = [-π/2; π/2] |
| $y = \arccos | E(y) = [0; π] |
| $y = <\rm arctg>\, x$ | E(y) = (-π/2; π/2) |
| $y = <\rm arcctg>\, x$ | E(y) = (0; π) |
Примеры
Найдите множество значений функции:
Используя производную
НЕ используя производную
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
Если решать эту задачу с помощью производных, то потребуется преодолевать препятствия, связанные с тем, что функция f(x) определена не на отрезке, а на всей числовой прямой.
Используя метод границ/оценок
Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением на всей области определения, если таковые существуют.
Следовательно, E(y) = [-6;6].
Используя непрерывную функцию
Решим этот пример методом последовательного нахождения значений сложных аргументов функции. Выделив полный квадрат под логарифмом, преобразуем функцию
И последовательно найдём множества значений её сложных аргументов:
Используем прием, основанный на графическом изображении функции.
После преобразований функции, имеем: y 2 + x 2 = 25, причем y ≥ 0, |x| ≤ 5.
При этих ограничениях графиком данного уравнения является верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5. Очевидно, что E(y) = [0; 5].
Область значений функции (множество значений функции). Необходимые понятия и примеры нахождения
Зачастую в рамках решения задач нам приходится искать множество значений функции на области определения или отрезке. Например, это нужно делать при решении разных типов неравенств, оценках выражений и др.
В рамках этого материала мы расскажем, что из себя представляет область значений функции, приведем основные методы, которыми ее можно вычислить, и разберем задачи различной степени сложности. Для наглядности отдельные положения проиллюстрированы графиками. Прочитав эту статью, вы получите исчерпывающее представление об области значений функции.
Начнем с базовых определений.
Обратите внимание, что понятие множества значений функции не всегда тождественно области ее значений. Эти понятия будут равнозначны только в том случае, если интервал значений x при нахождении множества значений совпадет с областью определения функции.
Ниже приводится иллюстрация, на которой показаны некоторые примеры. Синие линии – это графики функций, красные – асимптоты, рыжие точки и линии на оси ординат – это области значений функции.
Рассмотрим основные способы нахождения области значений функции.
Возьмем задачу, в которой нужно определить область значений арксинуса.
Решение
Решение
Все, что нам нужно сделать, – это вычислить наибольшее и наименьшее значение функции в заданном интервале.
Для определения точек экстремума надо произвести следующие вычисления:
Начнем с определения наибольшей и наименьшей точки, а также промежутков возрастания и убывания на заданном интервале. После этого нам нужно будет вычислить односторонние пределы в концах интервала и/или пределы на бесконечности. Иными словами, нам надо определить поведении функции в заданных условиях. Для этого у нас есть все необходимые данные.
Решение
Определяем наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке
Решение
Решение
Мы получили, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности при изменении значений x от нуля до плюс бесконечности. Значит, множество всех действительных чисел – это и есть область значений функции натурального логарифма.
Ответ: множество всех действительных чисел – область значений функции натурального логарифма.
Решение
Данная функция является определенной при условии, что x – действительное число. Вычислим наибольшие и наименьшие значения функции, а также промежутки ее возрастания и убывания:
Посмотрим, как же ведет себя функция на бесконечности:
Из записи видно, что значения функции в этом случае будут асимптотически приближаться к 0.
На нем видно, что областью значений функции будет интервал E ( y ) = ( 0 ; 9 ]
Ответ: E ( y ) = ( 0 ; 9 ]
А как быть в случае, если область определения некоторой функции представляет из себя объединение нескольких промежутков? Тогда нам надо вычислить множества значений на каждом из этих промежутков и объединить их.
Решение
Для открытого луча 2 ; + ∞ производим точно такие же действия. Функция на нем также является убывающей:
Это можно увидеть на графике:
Особый случай – периодические функции. Их область значения совпадает с множеством значений на том промежутке, который отвечает периоду этой функции.
Решение
Синус относится к периодической функции, а его период составляет 2 пи. Берем отрезок 0 ; 2 π и смотрим, каким будет множество значений на нем.
Если вам нужно знать области значений таких функций, как степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая, то советуем вам перечитать статью об основных элементарных функциях. Теория, которую мы приводим здесь, позволяет проверить указанные там значения. Их желательно выучить, поскольку они часто требуются при решении задач. Если вы знаете области значений основных функций, то легко сможете находить области функций, которые получены из элементарных с помощью геометрического преобразования.
Решение
Еще один пример запишем без пояснений, т.к. он полностью аналогичен предыдущему.
Решение
Теперь разберем, как найти область значений функции, которая не является непрерывной. Для этого нам надо разбить всю область на промежутки и найти множества значений на каждом из них, после чего объединить то, что получилось. Чтобы лучше понять это, советуем повторить основные виды точек разрыва функции.
Решение
Решение показано на графике:
Решение
Она определена для всех значений аргумента, представляющих собой действительные числа. Определим, в каких промежутках данная функция будет возрастать, а в каких убывать:
Теперь найдем соответствующие значения функции:
Посмотрим на поведение функции на бесконечности:
Для вычисления второго предела было использовано правило Лопиталя. Изобразим ход нашего решения на графике.
Множество значений функции
Вы будете перенаправлены на Автор24
Область (множество) значений функции на некотором рассматриваемом отрезке — это интервал значений, которые функция принимает на этом рассматриваемом отрезке.
Как определить область значения функции
Для определения множества значений функции пользуются графическим методом, методом поисков минимума и максимума, вычислением производной и другими.
Определение множества значений функции графическим методом
Рисунок 1. Определение множества значений функции графическим методом
Скобки в данном случае для области определения функции необходимо использовать квадратные, так как обе точки закрашены, то есть включены в отрезок. В случае если точки не закрашены, они не включаются в отрезок и тогда применяются круглые скобки.
Готовые работы на аналогичную тему
Метод нахождения области значения функции через производную
Рассмотрим пример нахождения области значений функции через производную.
Теперь найдём производную функции:
Метод поиска минимума и максимума
Метод поиска минимума и максимума основан на том, чтобы найти максимальное и и минимальное значение, которые функция принимает на изучаемой области.
Определите область значений функции:
Разница между областью значения и областью определения функции
Стоит обратить внимание, что область значений функции — не одно и то же с термином «область определения функции».
Нахождение множества значений функции.
1. Метод оценки (границ).
Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, затем, используя свойства неравенств, отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции. Если есть возможность путем тождественных преобразований получить функцию, которая на всей области определения или на заранее заданном множестве является непрерывной и либо только возрастающей либо только убывающей, тогда используя свойства неравенств оценивают множество значений вновь полученной функции.
Пример 1. Найдите множество значений функци y=5 —
.
— 4
— x 2 0.
Прибавим к трем частям неравенства 4 и получим
Множество значений функции y = 5 —является множество [3; 5].
Пример 3. Найти множество значений функции y = sinx + cos x.
Преобразуем выражение sinx + cos x = sinx +sin(
— x) =
= 2sin((x +— x)/2)cos((x ++ x)/2) = 2sin<
)cos(x +) =
=
cos(x +).
-1cos(x +>1;
—cos( x +);
Так какданная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением, если таковые существуют, множество значений функции y =cos(x +) есть множество [-;]. Множество значений функции
y = sinx + cosx есть множество чисел [-;].
Пример 4. Найти множество значений функции y = 3sinx + 7cos x.
Преобразуем выражение 3sinx + 7cos x. Заметим, что 3 2 + 7 2 = 9 + 49 = 58 =
Умножим и разделим каждое слагаемое на
3sinx + 7cos x =
(
sinx +
cosx).
Так как 2 + () 2 = 1, то найдется такое число
что cos=и sin=. Тогда 3sinx + 7cos x =(cossinx + sincosx) =sin(+ x).
2. Метод применения свойств непрерывной функции.
Среди числовых значений, принимаемых на заданном отрезке непрерывной функцией, всегда имеется как наименьшее pначение m, так и наибольшее значение М. Множество значений функции заключено между числами m и M. Это основные утверждения положенны в основу поиска множества значений функции в следующем примере.
Пример 5. Найти множество значений функции y = 2sinx + cos2x на отрезке [0; p ].
D(y) = R. Данная функция на всей области определения непрерывна, поэтому на отрезке [0; p ] существуют такие точки, в которых функция принимает свои наименьше и наибольшее значения. Эти точки либо критические, либо концы отрезка.
1) найдем производную данной функции
3) Область определения производной R.
Отрезку [0;
] принадлежат три критические точки: x =
, x =, x =
.
Вычисляем значение функции на концах промежутка и в критических точках:
y(0) = 1, y() = 1, y() = 1,5, y( ) = 1,5, следовательно, наименьшее значение функции на отрезке[0;] равно 1, а наибольшее значение функции на этом же отрезке равно 1,5. Исходя из выше изложенный утверждений Е(у) = [1; 1,5].
3. Метод приведения к уравнению относительно х с параметром у.
Возможна следующая схема применения этого метода:
Пусть функция задана формулой y = f(x).
2) Рассматриваем функцию как уравнение с параметром у.
Пример 6. найдите множество значений функции
.
x 2 + 5 > 0 при любом х, следовательно, D(y) = R. Рассматриваем формулу:
1) Если у = 1, то данное уравнение равносильно линейному уравнению 4х + 6 = 0, которое имеет один корень.
Если у
1, то квадратное уравнение, которое мы получили в результате выше изложенных соображений, имеет корни тогда и только тогда, когда его дискриминант не отрицателен.
— 5y 2 + 4y +5
0;
Таким образом квадратное уравнение имеет корни,если параметр y
[2-
; 1) и (1; 2 +],
4. Метод непосредственных вычислений.
В случае, когда область определения функции содержит конечное число значений аргумента или количество значений не велико, или множество значений аргумента может быть описано с помощью конечного числа формул, так бывает в случае рассмотрения тригонометрических функций, обычно множество значений функции находят путем непосредственных вычислений.
Найдем область определения данной функции. Так как в формуле задающей функцию есть квадратный корень, то согласно определению квадратного корня потребуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: