что значит необходимо и достаточно

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ (в логике и математике)

– условия, устанавливающие зависимость истинности к.-л. утверждения А от наличия условий, фиксируемых в другом утверждении Я Необходимыми условиями истинности утверждения А называются условия, без соблюдения которых А не может быть истинным. Достаточными называются такие условия, при наличии (выполнении, соблюдении) которых утверждение А является истинным. Условия могут быть необходимыми, но недостаточными, достаточными, но не необходимыми, необходимыми и достаточными.

Так, делимость числа п на 2 есть необходимое, но недостаточное условие его делимости на 6 (т. е. необходимое, но недостаточное условие истинности утверждения: «Число п делится на 6»). Это условие является необходимым потому, что без его наличия число п не будет делиться на 6. Это условие не является достаточным потому, что при его наличии число п не обязательно будет делиться на 6. Наоборот, делимость числа п на 6 будет достаточным, но не необходимым условием его делимости на 2, потому что при его наличии число п всегда будет делиться на 2. Это условие не является необходимым, потому что, если число не делится на 6, оно не обязательно не делится на 2. Условие же делимости числа и на 2 и на 3 есть необходимое и достаточное условие его делимости на 6: если не соблюдено условие, то утверждение «Число n делится на 6» будет ложным (условие является необходимым); если же условие соблюдено, то утверждение «Число п делится на 6» будет истинным (условие является достаточным).

Поделиться ссылкой на выделенное

Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

Источник

Достаточность Необходимость

Необходимое условие и достаточное условие — виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений.

Содержание

Необходимое условие

Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.

Достаточное условие

Суждение Q является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) Q следует (истинность) X, то есть в случае истинности Q проверять X уже не требуется.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение Q называется признаком (элементов) M.

Необходимое и достаточное условие

Суждение K является необходимым и достаточным условием суждения X, когда K является как необходимым условием X, так и достаточным. В этом случае говорят ещё что K и X равносильны, или эквивалентны.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение K называется критерием принадлежности классу M.

Пример

Суждение X: «Вася получает стипендию».
Необходимое условие P: «Вася — студент».
Достаточное условие Q: «Вася учится в вузе без троек».

Из того, что Вася — студент, еще не следует, что он получает стипендию. Но это условие необходимо, то есть если Вася не студент, то он заведомо не получает стипендию.

Если же Вася учится в вузе без троек, то он заведомо получает стипендию. Тем не менее, студент Вася может получать стипендию (в виде пособия), если он учится с тройками, но, например, имеет хроническое заболевание.

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Достаточность Необходимость» в других словарях:

Необходимость, достаточность — Необходимое условие и достаточное условие виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений. Содержание 1 Необходимое условие 2 Достаточное условие … Википедия

Необходимость достаточность — Необходимое условие и достаточное условие виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений. Содержание 1 Необходимое условие 2 Достаточное условие … Википедия

ДОСТАТОЧНОСТЬ СОБСТВЕННОГО КАПИТАЛА — CAPITAL ADEQUACYСтруктура капитала банков включает в себя собственный капитал и долг. Банки это фин. институты, имеющие большую долю заемных средств, что может сказаться на их жизнеспособности. Более того, банки имеют значительные потенциальные… … Энциклопедия банковского дела и финансов

оценка — давать оценку • действие дать высокая оценка • действие дать высокую оценку • действие дать объективную оценку • действие дать оценку • действие дать правовую оценку • действие даётся оценка • действие, пассив на ся касаться оценки • касательство … Глагольной сочетаемости непредметных имён

IPO — (Публичное размещение) IPO это публичное размещение ценных бумаг на фондовом рынке Сущность понятия публичного размещения (IPO), этапы и цели проведения IPO, особенности публичного размещения ценных бумаг, крупнейшие IPO, неудачные публичные… … Энциклопедия инвестора

МДС 11-3.99: Методические рекомендации по проведению экспертизы технико-экономических обоснований (проектов) на строительство объектов жилищно-гражданского назначения — Терминология МДС 11 3.99: Методические рекомендации по проведению экспертизы технико экономических обоснований (проектов) на строительство объектов жилищно гражданского назначения: 2.9.6. Анализ влияния неопределенности и риска на эффективность… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Теорема Вильсона — теорема теории чисел, которая утверждает, что Натуральное число является простым тогда и только тогда, когда делится на p. Практическое использование теоремы Вильсона для определения простоты числа нецелесообразно из за сложности вычисления… … Википедия

Теорема Кронекера — Капелли — Теорема Кронекера Капелли критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы,… … Википедия

Критерий совместности — Теорема Кронекера Капелли критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система … Википедия

Источник

Что значит необходимо и достаточно

На форуме иногда встречаются логически ошибочные суждения, вызванные путаницей в необходимых и достаточных условиях.

В этой теме давайте проведем небольшой ликбез.

Необходимое условие и достаточное условие — виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений.

Необходимое условие
Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.

Достаточное условие
Суждение P является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) P следует (истинность) X, то есть в случае истинности P проверять X уже не требуется.
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется признаком (элементов) M.

Необходимое и достаточное условие
Суждение K является необходимым и достаточным условием суждения X, когда K является как необходимым условием X, так и достаточным. В этом случае говорят ещё что K и X равносильны, или эквивалентны.
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение K называется критерием принадлежности классу M.

Пример
Суждение X: «Вася получает стипендию».
Необходимое условие P: «Вася — учащийся».
Достаточное условие Q: «Вася учится в вузе без троек».
Из того, что Вася — учащийся, ещё не следует, что он получает стипендию. Но это условие необходимо, то есть если Вася не учащийся, то он заведомо не получает стипендии.
Если же Вася учится в вузе без троек, то он заведомо получает стипендию. Тем не менее, студент Вася может получать стипендию (в виде пособия), если он учится с тройками, но, например, имеет хроническое заболевание.

В импликации A → B
A — это достаточное условие для B
B — это необходимое условие для A

необходимое условие necessary condition
достаточное условие sufficient condition

Необходимое условие= Причина, без которой нет.
Латинско-русский и русско-латинский словарь крылатых слов и выражений. — М.: Русский Язык. Н.Т. Бабичев, Я.М. Боровской. 1982

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ — В является таким условием для А, если истинно условное высказывание «Если А, то В».
Напр., поскольку условное высказывание «Если ниобий — металл, то он электропроводен» истинно, то электропроводность ниобия является Н.у. того, что он металл.
То, что ниобий металл, есть достаточное условие его электропроводности. Можно, т.о., сказать, что если одно есть Н.у. для другого, то второе есть достаточное условие для первого. К примеру, в силу истинности высказывания «Если идет дождь, то земля мокрая» истинность высказывания «Земля мокрая» является Н.у. истинности высказывания «Идет дождь», и, соответственно, истинность высказывания «Идет дождь» — достаточное условие истинности высказывания «Земля мокрая».
Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией А.А. Ивина. 2004.

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ — А является таким условием для В, если истинно условное высказывание «Если А, то В».
Напр., т.к. условное высказывание «Если число делится на 9, то оно делится на 3» истинно, делимость числа на 9 является Д.у. его делимости на 3.
Понятие Д.у. логически связано с понятием необходимого условия: если А является Д.у. для В, то В есть необходимое условие для А, и наоборот. То, что число делится на 3, есть необходимое условие его делимости на 9. Можно, т.о., сказать, что когда одно есть Д.у. для другого, то второе является необходимым условием для первого. К примеру, поскольку высказывание «Если металлический стержень нагреть, он удлинится» истинно, истинность высказывания «Металлический стержень нагрет» есть Д.у истинности высказывания «Металлический стержень удлинился», и, соответственно, истинность высказывания «Металлический стержень удлинился» есть необходимое условие истинности высказывания «Металлический стержень нагрет».
Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией А.А. Ивина. 2004.

критерий = эквиваленция = необходимое и достаточное условие = тогда и только тогда

Отличие «тогда» и «только тогда»

Источник

Необходимые и достаточные условия

Понятие отношения следования между предложениями позволяет уточнить смысл слов «необходимо» и «достаточно», которые часто употребляются в математике.

Если из предложения А следует предложение В, то говорят, что В – необходимое условие для А, а А – достаточное условие для В.

Другими словами, предикат В(х) логически следует из предиката А(х), т.е. А(х)В(х), то А(х) называют достаточным условием для В(х), а В(х) – необходимым условием для А(х).

условие необходимости: АВ

условие достаточности: ВА

Если же предложения А и В равносильны, то говорят, что А – необходимое условие для В, и наоборот.

Другими словами, если из предиката А(х) логически следует предикат В(х), а из предиката В(х) логически следует предикат А(х), т.е. А(х)В(х), то А(х) – необходимое и достаточное условие для В(х), а В(х) – необходимое и достаточное условие для А(х).

условие необходимости и достаточности:

АВ

В начальном курсе математики слова «необходимо» и «достаточно», как правило, не употребляются, но зато широко используются их синонимы – «нужно» и «можно».

Приведем пример. В первой коробке 6 карандашей, во второй – на 2 меньше. Сколько карандашей в двух коробках?

Один из возможных путей поиска решения задачи может быть таким. Учитель спрашивает: можно ли сразу узнать, сколько карандашей (т.е. достаточно ли данных в задаче, чтобы сразу ответить на ее вопрос)?

Учащийся отвечает: нельзя, так как нужно знать, сколько карандашей во второй коробке (т.е. необходимо знать).

Учитель далее спрашивает: можно ли узнать количество карандашей во второй коробке? (т.е. достаточно ли данных в задаче, чтобы сразу ответить на этот вопрос)?

Ученик отвечает: можно.

Учитель спрашивает: что для этого нужно сделать? И т.д.

Правильное употребление слов «нужно» и «можно» – залог успеха в использовании слов «необходимо» и «достаточно» при дальнейшем изучении математики.

Рассмотрим следующие примеры.

1. Вместо многоточия вставим термины «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»: «Для того чтобы число х являлось делителем числа 15, …, чтобы число х являлось делителем числа 5».

Решение: Введем обозначения: С(х) – «число х делитель числа 5», В(х) – «число х – делитель числа 15».

Для ответа на вопрос задачи нужно выяснить, каким условием является предикат С(х) для предиката В(х).

Для проверки достаточности предиката С(х) выясним, находятся ли С(х) и В(х) в отношении следования. Так как Т = <1, 5>, а Т = <1, 3, 5,15>, то Т Т и, следовательно, С(х)В(х). Истинность последнего высказывания означает, что С(х) является достаточным условием для В(х).

Проверим, является ли С(х) необходимым условием для В(х), выяснив, истинно ли высказывание В(х)С(х).

Так как найдется такое значение х (например, х = 3), при котором В(х) истинно, а С(х) ложно, то высказывание В(х)С(х) ложно и, следовательно, С(х) не является необходимым условием для В(х).

Таким образом, вместо многоточия можно вставить термин «достаточно»: «Для того чтобы число х являлось делителем числа 15, достаточно, чтобы х являлось делителем числа 5».

2. Дано предложение: «Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны». Выясним, нельзя ли сформулировать это предложение по-другому.

Поскольку предложение «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» вытекает из предложения «Четырехугольник – ромб», то предложение «Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны» можно сформулировать еще так:

1) Из того, что четырехугольник – ромб, следует, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

2) Во всяком ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.

3) Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

4) Чтобы диагонали четырехугольника были взаимно перпендикулярны, достаточно, чтобы он был ромбом.

3. Вставить слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно» в предложение «Для того чтобы натуральное число делилось на 6, …, чтобы оно делилось на 2».

Решение: Пусть предложение А – «число делится на 6», В – «Число делится на 2». Тогда, для того чтобы выполнялось условие необходимости, из предложения А должно логически следовать предложение В, а чтобы выполнялось условие достаточности – предложение А должно логически следовать из В.

Действительно, любое число, которое делится на 6, делится на 2. Значит, выполняется условие необходимости. И не верно, что любое число, делящееся на 2, делится на 6 (например, 14 делится на 2, но не делится на 6).

Значит, условие достаточности не выполняется, а вместо многоточия нужно вставить термин «необходимо»: «Для того чтобы натуральное число делилось на 6, необходимо, чтобы оно делилось на 2».

Источник

Необходимые и достаточные условия

Полезное

Смотреть что такое «Необходимые и достаточные условия» в других словарях:

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ — в математике. Необходимыми условиями правильности утверждения А называются такие условия, без соблюдения которых утверждение А не может быть верным, достаточными условия, при выполнении которых утверждение А верно … Большой Энциклопедический словарь

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ — (necessary and sufficient conditions) Логические связи между двумя утверждениями. Рассмотрим утверждения В и С. Фраза В является достаточным условием для С означает, что если В верно, то С верно всегда. Фраза В является необходимым условием для С … Экономический словарь

необходимые и достаточные условия — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN necessary and sufficient conditions … Справочник технического переводчика

необходимые и достаточные условия — в математике. Необходимыми условиями правильности утверждения А называются такие условия, без соблюдения которых утверждение А не может быть верным, достаточными условия, при выполнении которых утверждение А верно. * * * НЕОБХОДИМЫЕ И… … Энциклопедический словарь

необходимые и достаточные условия — (в логике и математике) условия, устанавливающие зависимость истинности к. л. утверждения А от наличия условий, фиксируемых в другом утверждении Я Необходимыми условиями истинности утверждения А называются условия, без соблюдения которых А не… … Словарь терминов логики

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ — в математике. Необходимыми условиями правильности утверждения А наз. такие условия, без соблюдения к рых утверждение А не может быть верным, достаточными условия, при выполнении к рых утверждение А верно … Естествознание. Энциклопедический словарь

Необходимые и достаточные условия конфликта — Наличие противоположно направленных мотивов, суждений или личных антипатий между субъектами социального взаимодействия, а также состояния противоборства между ними … Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ — в математике, см. Необходимые и достаточные условия … Большой Энциклопедический словарь

Источник