что значит окружности касаются друг друга

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO₁).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O₁ имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO_1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO₁.

Опустим из A на прямую OO₁ перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA₁, равное AB. Докажем теперь, что точка A₁ принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O₁ лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA₁ через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A₁. То же можно сказать и о точке O₁. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A₁.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A₁ (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA₁) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O₁, радиусами R и R₁ и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R₁, так как точка касания лежит на линии центров O O₁.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R₁, потому что в треугольнике OAO₁ сторона OO₁ меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R₁, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R₁, то окружности касаются извне.

5. Если d R Е R₁. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

Источник

Что значит окружности касаются друг друга?

Что значит окружности касаются друг друга.

Две окружности могут касаться друг друга внутренним образом (одна окружность находится внутри другой) и внешним образом.

И в том, и другом случае у окружностей будет одна общая точка (место касания).

Три окружности, попарно касающиеся друг друга внешним образом, имеют радиусы 2 см, 2 см, 1см?

Три окружности, попарно касающиеся друг друга внешним образом, имеют радиусы 2 см, 2 см, 1см.

Найдите радиусы окружностей, касающихся данных трех окружностей.

Две окружности друг друга внутренне касаются в точке А?

Две окружности друг друга внутренне касаются в точке А.

Меньшая окружность касается хорды ВС большей окружности в точке D.

Известно, что АВ = 24, АС = 40, AD = 15.

Найти радиус большей окружности.

Что значит : окружности касаются в данной точке?

Что значит : окружности касаются в данной точке?

Окружности с радиусами 4 и 5 дм касаются друг друга?

Окружности с радиусами 4 и 5 дм касаются друг друга.

Найдите расстояние между их центрами, когда они касаются внешне и касаются внутренне.

Две окружности радиусы которых 8см и 18 см касаются друг друга внешним образом?

Две окружности радиусы которых 8см и 18 см касаются друг друга внешним образом.

Прямая касается этих окружностей в точках А и В найди АВ.

Что значит : окружности касаются в данной точке?

Что значит : окружности касаются в данной точке?

Могут ли четыре окружности одинакогорадиуса попарно касаться друг друга?

Могут ли четыре окружности одинакогорадиуса попарно касаться друг друга?

Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются друг друга?

Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются друг друга.

Найдите расстояние между центрами окружностей в случаях внешнего и внутреннего косаний.

Три окружности, радиуса которых 10 м, 2м и 3м, касаются друг друга внешним обзором?

Три окружности, радиуса которых 10 м, 2м и 3м, касаются друг друга внешним обзором.

Найти диаметр окружности, проходящей через центры данных окружностей.

Три окружности радиуса 4 см касаются друг друга?

Три окружности радиуса 4 см касаются друг друга.

Вычислите площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей.

Мы вчера с друзьями были в аквапарке. Нам там очень понравилось. Я каталась на многих интересных и страшных горках ; На прошлой недели у нас в школе был конкурс «Золотая маска» и наш класс победил. Мы очень радовались этому событию ; Вчера мне куп..

Так как треугольники равны, то они и а треугольник ОРК прямоугольный, то и треугольник АВС прямоугольный, то есть Дано : треугольник ABC = треугольнику KOP?

Решение во вложении.

Отложим сторону AB, Построим с помощью циркуля окружность с центром A и радиусом AC, Построим с помощью циркуля окружность с центром B и радиусом BC, Соединим точки пересечения окружностей и получим точки С. Получим равные треугольники ABC. ____ Ри..

Ромб двумя взаимно перпендикулярными диагоналями делится на 4 равных прямоугольных треугольника. Сторона а ромба является гипотенузой такого треугольника. А = (с / 2) / (sin(α / 2)) = c / (2 * (sin(α / 2))). Периметр ромба равен четырём таким стор..

Источник

Геометрия

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Понятие окружности и круга

Тарелки, шины, колеса и монеты – все эти предметы имеют одинаковую форму, их называют круглыми. Этот термин понятен каждому, однако в геометрии каждое понятие надо строго определять. Дадим строгое определение понятию окружности:

Та точка, от которой равноудалены все точки, образующие окруж-ть, именуется центром окружности. Обратите внимание, что сам центр частью окружности НЕ считается. Расстояние, отделяющее точки окруж-ти от ее центра, именуют радиусом окружности. Получается, что для построения окруж-ти достаточно знать только ее радиус и центр. Выглядит она так:

Для построения окруж-ти используется специальный инструмент – циркуль. Он представляет собой два длинных стрежня, которые соединены шарниром. На конце одного стержня находится иголка, на конце другого – грифель карандаша или иной пишущий предмет. Сначала необходимо выставить расстояние между концами стержней – оно будет равно радиусу окруж-ти. Потом иголку ставят в центр будущей окруж-ти, после чего поворачивают циркуль так, что его пишущий конец оставил на бумаге след:

Отрезок, соединяющий две точки окруж-ти, именуется хордой. Хорда, проходящая через центр окруж-ти, именуется диаметром окружности.

Особо отметим, что сам диаметр также считается хордой.

Непосредственно из определения окруж-ти вытекает первое важное её свойство – все радиусы, построенные в одной окруж-ти, равны друг другу.

Так как центр окруж-ти делит ее диаметр на два отрезка, каждый из которых – это радиус, то диаметр окружности равен двум ее радиусам:

Традиционно диаметр обозначается буквой D, а радиус – буквой R. Получается, что справедлива формула:

Очевидно, что диаметр длиннее, чем любая другая хорда окружности, не являющаяся диаметром. Докажем это. Пусть хорда AВ не проходит через О, центр окруж-ти (он почти всегда обозначается именно этой буквой). Тогда можно построить ∆AВО:

Мы знаем про неравенство треугольника, согласно которому любая сторона треугольника меньше суммы двух других. В данном случае можно записать, что

Источник

Что значит окружности касаются друг друга

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C. Касательная к первой окружности, проходящая через точку B, пересекает вторую окружность в точках D и E (D лежит между B и E). Известно, что AB = 5, AC = 4. Точка O — центр окружности, касающейся отрезка AD и продолжений отрезков ED и EA за точки D и A соответственно.

а) Докажите, что

б) Найдите длину отрезка CE.

Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе угла. Для решения задачи докажем следующую лемму.

Лемма: точка O принадлежит стороне AB, то есть AB является биссектрисой угла DAF.

Доказательство: во-первых, из свойств секущих к окружности получим:

Тогда треугольники ABD и EBC подобны (угол ABD общий). Тогда ∠BDA = ∠BCE = β, ∠BAD = ∠BEC = γ.

Во-вторых, угол между дугой и касательной равен вписанному углу, опирающемуся на данную хорду, откуда ∠BFA = ∠ABD = α.

Далее, центральный угол AO₂B в 2 раза больше вписанного угла AFB, поэтому Так как треугольник AO₂B равнобедренный (AO₂ = O₂B = R₁), то

Аналогично для угла ACE:

Углы и равны, как вертикальные, и потому получаем:

Отсюда получаем, что а значит точка O лежит на стороне AB. Лемма доказана.

Тогда и треугольники AEC и EBC подобны по 2-м углам, откуда выпишем соотношения:

Из равенства первой и третьей дробей получим:

Тогда

Проведем дополнительно отрезок EO — он является биссектрисой угла BEA, а значит и биссектрисой треугольника ABE. Тогда по свойству биссектрисы в треугольнике имеем: