что значит попарно различные числа

Теория для 19 задания ЕГЭ

Цифры и числа – это не синонимы. Цифры – это символы, которыми записывают числа. Числа состоят из цифр, как слова состоят из букв. Пример: число \(1806\) состоит из цифр \(1\), \(8\), \(0\) и \(6\).

Однозначные числа – числа, состоящие из одной цифры, например \(7\). Двухзначные числа – состоящие из двух цифр, например \(29\). Трехзначные – из трёх, например \(341\). И так далее.

Простое число – число, имеющее только два делителя, – единицу и само себя (при этом число \(1\) простым не считается). Пример: \(13\) или \(277\).

Составное число – число, имеющее больше двух делителей. Например, \(12\) или \(735\).

Натуральное число – целое положительное число. Пример: \(5\), \(34\), \(6908\)…
\(0\) – не натуральное, \(-7\) – тоже.

Четное число – целое число делящиеся на \(2\). Нечетное число – целое число не делящиеся на \(2\). Пример: \(12\), \(1000\), \(106\) – четные; \(3\), \(99\), \(9000001\) – нечетные.

Если написано «попарно различные числа», это означает, что все числа в наборе разные. То есть, любые \(2\) числа не равны друг другу. (Для меня загадка, почему в задачах не пишут просто «все числа разные»).

Если цифры числа неизвестны, их можно записать буквами и провести сверху черточку. Пример: \(\overline\) – число, состоящие из цифр \(a\), \(b\), \(c\).

Любое двухзначное число можно представить как: \(\overline=10a+b\).
Трехзначное: \(\overline=100a+10b+c\).
Четырехзначное: \(\overline=1000a+100b+10c+d\).
\(n\) – значное: \(\underbrace<\overline>_ =10^a+10^ b+. +z\).

На \(2\): последняя цифра числа делится на \(2\) (в том числе \(0\))

На \(3\): сумма цифр числа делится на \(3\). Например, число \(4635\) делится на \(3\), т.к. \(4+6+3+5=18\) (а \(18\) делится на \(3\))

На \(4\): две последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на \(4\)

На \(5\): последняя цифра \(0\) или \(5\)

На \(6\): одновременно соблюдаются признаки делимости на \(2\) и \(3\)

На \(7\): признаков делимости, увы, нет

На \(8\): три последние цифры нули или образуют число, делящееся на \(8\)

На \(9\): сумма цифр числа делится на \(9\)

На \(11\): разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на \(11\).
Например, число \(281765\) делится на \(11\), т.к. сумма цифр нечетных мест \(2+1+6=9\), сумма цифр на четных \(8+7+5=20\), т.е. разность между ними \(11\), а \(11\) делится на \(11\)

Если разность равна нулю – число тоже будет делиться на \(11\). Пример: число \(5247\).

На \(25\): две последнее цифры \(00\), \(25\), \(50\) или \(75\)

На \(100\): две последнее цифры \(00\)

На \(125\): три последнее цифры \(000\) или образуют число, делящееся на \(125\).

Число \(b\) делится на число \(a\), если найдётся такое целое число \(q\), что \(b=a \cdot q\).
Обозначается \(b \,\vdots \, a\). Например, \(6\) делится на \(2\), т.к. \(6=2\cdot 3\).
Также в этом случае число \(b\) называют кратным числу \(a\).

Общим делителем чисел называют такое число, которое является делителем для каждого из них. Например, общим делителем чисел \(12\) и \(30\) будет число \(4\).

Два числа называются взаимно простыми, если их общим делителем является только \(1\). Например: \(12\) и \(5\); \(25\) и \(14\); \(3\) и \(11\).
Замечание: два любых простых числа автоматически являются взаимно простыми.

Если одно из двух чисел делится на некоторое число, то и их произведение делится на это число. Например, \(9m\, \vdots \, 3\), так как \(9\) делится на \(3\) (здесь и далее \(m\), \(k\) и \(n\) – любые целые числа).

Если два числа делятся на некоторое число, то и их сумма, и их разность делятся на это число. Например, \((3k+9m)\, \vdots \, 3\), так как \(3k\) – делится на \(3\) и \(9m\) – делится на \(3\). Еще пример: \((99-88+77)\, \vdots \, 11\).

Если одно из чисел делится на некоторое число, а второе нет, то их сумма и их разность не делятся на это число. Например, если \(k\) целое, то: \((3k+17)\) \(3\); \((930-174)\) \(10\).

Если произведение нескольких чисел делится на некоторое простое число, то хотя бы одно из них делится на это простое число. Например, если \(5k\,⋮\,3\), то \(k\,⋮\,3\).

Каждое натуральное число, большее единицы, либо является простым, либо может быть разложено на простые множители.

Примеры:
число \(20\) может быть разложено в произведение \(2\cdot 2\cdot 5\)
число \(105 =21 \cdot 5=7\cdot 3 \cdot5\)
число \(17\) – является простым числом и разложено быть не может.

Замечание: разложение \(17\) как \(17\cdot 1\) – не подходит, т.к. единица не считается простым числом.

Любые два разложения одного и того же числа могут отличаться только порядком множителей.
Например, разложение числа \(6\) мы можем записать либо как \(2\cdot 3\), либо как \(3\cdot 2\) и более никак.
Замечание: вот именно поэтому \(1\) не считается простым числом, ведь иначе любое число имело бы бесконечно много разложений: \(2\cdot 3\cdot 1\); \(2\cdot 1\cdot 3\cdot 1\); \(2\cdot 1\cdot 3\cdot 1\cdot 1\cdot 1\)….

Источник

Взаимно простые числа: определение, примеры и свойства

В этом статье мы расскажем о том, что такое взаимно простые числа. В первом пункте сформулируем определения для двух, трех и более взаимно простых чисел, приведем несколько примеров и покажем, в каких случаях два числа можно считать простыми по отношению друг к другу. После этого перейдем к формулировке основных свойств и их доказательствам. В последнем пункте мы поговорим о связанном понятии – попарно простых числах.

Что такое взаимно простые числа

Взаимно простыми могут быть как два целых числа, так и их большее количество. Для начала введем определение для двух чисел, для чего нам понадобится понятие их наибольшего общего делителя. Если нужно, повторите материал, посвященный ему.

Если мы возьмем два простых числа, то по отношению друг к другу они будут взаимно простыми во всех случаях, однако такие взаимные отношения образуются также и между составными числами. Возможны случаи, когда одно число в паре взаимно простых является составным, а второе простым, или же составными являются они оба.

На практике довольно часто приходится определять взаимную простоту двух целых чисел. Выяснение этого можно свести к поиску наибольшего общего делителя и сравнению его с единицей. Также удобно пользоваться таблицей простых чисел, чтобы не производить лишних вычислений: если одно из заданных чисел есть в этой таблице, значит, оно делится только на единицу и само на себя. Разберем решение подобной задачи.

Решение

Оба числа явно имеют больше одного делителя, поэтому сразу назвать их взаимно простыми мы не можем.

Как мы уже говорили раньше, определение таких чисел можно распространить и на случаи, когда у нас есть не два числа, а больше.

Обычно взаимная простота чисел не является очевидной с первого взгляда, этот факт нуждается в доказательстве. Чтобы выяснить, будут ли некоторые числа взаимно простыми, нужно найти их наибольший общий делитель и сделать вывод на основании его сравнения с единицей.

Решение

Сверимся с таблицей простых чисел и определим, что все три этих числа в ней есть. Тогда их общим делителем может быть только единица.

Ответ: все эти числа будут взаимно простыми по отношению друг к другу.

Решение

Ответ: семь больше единицы, значит, взаимно простыми эти числа не являются.

Основные свойства взаимно простых чисел

Такие числа имеют некоторые практически важные свойства. Перечислим их по порядку и докажем.

Это свойство мы уже доказывали. Доказательство можно посмотреть в статье о свойствах наибольшего общего делителя. Благодаря ему мы можем определять пары взаимно простых чисел: достаточно лишь взять два любых целых числа и выполнить деление на НОД. В итоге мы должны получить взаимно простые числа.

Это все свойства взаимно простых чисел, о которых бы мы хотели вам рассказать.

Понятие попарно простых чисел

Зная, что из себя представляют взаимно простые числа, мы можем сформулировать определение попарно простых чисел.

Источник

Взаимно простые числа

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение взаимно простых чисел

Сначала определимся, что значит простое число.

Главное свойство простых чисел в том, что простое число делится только на единицу и на само себя.

Таких чисел немного, большинство все-таки можно разделить на другие числа. В простых числах самое важное — это деление нацело. Дробные частные и деление с остатком не рассматриваем.

Понятие взаимно простых чисел можно применить для двух целых чисел или для большего количества. Сформулируем, какие числа называются взаимно простыми.

Взаимно простые числа

Два целых числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице — то есть НОД (a, b) = 1.

Проще говоря, взаимно простые числа — это целые числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы.

Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать так: НОД (a, b).

Наибольший общий делитель взаимно простых чисел — это единица, что следует из определения взаимно простых чисел.

Приведем примеры взаимно простых чисел.

Заметим, что два простых числа всегда являются взаимно простыми. Однако, два числа не обязательно должны быть простыми, чтобы быть взаимно простыми. Вот такая математика в 5 классе. И еще раз: либо одно из них, либо они оба могут быть составными и при этом являться взаимно простыми. Приведем пример.

Делители 8: ±1, ±2, ±4, ±8.

На математике в 5 и 6 класса часто встречаются задания, в которых нужно доказать, что конкретные целые числа являются взаимно простыми. Из чего обычно состоит такое доказательство:

Перед вычислением НОД можно заглянуть в таблицу простых чисел и проверить, вдруг исходные целые числа можно назвать простыми. Тогда решение будет проще, так как мы знаем, что НОД простых чисел равен единице.

Повторим еще раз. Что значит взаимно простые числа? Это целые числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы.

Пример 1

Доказать, что числа 84 и 275 являются взаимно простыми.

Сверяемся с таблицей простых чисел. 84 и 275 не являются простыми, поэтому нельзя сразу сказать об их взаимной простоте.

Вычислим НОД. Используем алгоритм Евклида для нахождения НОД:

Доказали, что числа 84 и 275 взаимно простые.

Определение взаимно простых чисел можно расширить для трех и большего количества чисел.

То есть если у некоторого набора целых чисел есть положительный общий делитель, отличный от единицы, то эти целые числа не являются взаимно простыми.

Любая совокупность простых чисел составляет набор взаимно простых чисел, например, 2, 3, 11, 19, 151, 293 и 677 — взаимно простые числа. А четыре числа 12, −9, 900 и −72 не являются взаимно простыми, так как у них есть положительный общий делитель 3. Числа 17, 85 и 187 тоже не взаимно простые, потому что каждое из них можно разделить на 17.

Как определить взаимно простые числа:

Пример 2

Являются ли числа 331, 463 и 733 взаимно простыми?

Заглянем в таблицу простых чисел. Видим, что 331, 463 и 733 — простые. Значит, у них есть единственный положительный общий делитель — единица. Поэтому, 331, 463 и 733 есть взаимно простые числа.

Пример 3

Доказать, что числа −14, 105, −2 107 и −91 не являются взаимно простыми.

Найдем НОД заданных чисел и убедимся, что он не равен единице.

Делители целых отрицательных чисел совпадают с делителями соответствующих противоположных чисел. Поэтому НОД (−14, 105, 2 107, −91) = НОД (14, 105, 2 107, 91). Посчитаем:

НОД (14, 105, 2 107, 91) = 7.

Мы получили, что наибольший общий делитель исходных чисел равен семи, поэтому эти числа не являются взаимно простыми. Доказали.

Свойства взаимно простых чисел

У взаимно простых чисел есть определенные свойства. Рассмотрим основные свойства взаимно простых чисел.

Свойство 1

Числа, которые получились при делении целых чисел a и b на их наибольший общий делитель, называются взаимно простыми. То есть, a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Это свойство взаимно простых чисел помогает находить пары взаимно простых чисел. Для этого достаточно взять два любых целых числа и разделить их на наибольший общий делитель. В результате получим взаимно простые числа.

Свойство 2

Докажем эту необходимость:

Пусть числа a и b взаимно простые. Тогда по определению взаимно простых чисел НОД (a, b) = 1. А из свойств НОД мы знаем, что для целых чисел a и b верно соотношение Безу au₀ + bv₀ = НОД (a, b). Следовательно, au₀ + bv₀ = 1.

Соотношение Безу — представление НОД целых чисел в виде их линейной комбинации с целыми коэффициентами.

Докажем достаточность:

Свойство 3

Если числа a и b взаимно простые, и произведение ac делится на b — значит c делится на b.

Действительно, так как a и b взаимно простые, то из предыдущего свойства у нас есть равенство au₀ + bv₀ = 1. Если умножть обе части этого равенства на c, получится acu₀ + bcv₀ = c.

Первое слагаемое суммы acu₀ + bcv₀ делится на b, так как ac делится на b по условию, второе слагаемое этой суммы также делится на b, так как один из множителей равен b. Можно сделать вывод, что вся сумма делится на b. А так как сумма acu₀ + bcv₀ равна c, то и c делится на b.

Свойство 4

Если числа a и b взаимно простые, то НОД (ac, b) = НОД (c, b).

Покажем, во-первых, что НОД (ac, b) делит НОД (c, b), а во-вторых, что НОД (c, b) делит НОД (ac, b), это и будет доказывать равенство НОД (ac, b) = НОД (c, b).

НОД (ac, b) делит и ac и b, а так как НОД (ac, b) делит b, то он также делит и bc. То есть, НОД (ac, b) делит и ac и bc, следовательно, в силу свойств наибольшего общего делителя он делит и НОД (ac, bc), который по свойствам НОД равен c * НОД (a, b) = c. Таким образом, НОД (ac, b) делит и b и c, следовательно, делит и НОД (c, b).

С другой стороны, НОД (c, b) делит и c и b, а так как он делит с, то также делит и ac. Поэтому НОД (c, b) делит и ac и b, следовательно, делит и НОД (ac, b).

Так мы показали, что НОД (ac, b) и НОД (c, b) взаимно делят друг друга, значит, они равны.

Свойство 5

Предыдущее свойство взаимно простых чисел поможет намзаписать ряд равенств вида:

Определение попарно простых чисел

Через взаимно простые числа можно дадим определение попарно простых чисел.

Приведем пример попарно простых чисел.

При этом, взаимно простые числа далеко не всегда могут быть попарно простыми. Подтвердим на примере. 8, 16, 5 и 15 не являются попарно простыми, так как числа 8 и 16 не взаимно простые. Однако, 8, 16, 5 и 15 — взаимно простые. Таким образом, 8, 16, 5 и 15 — взаимно простые, но не попарно простые.

Остановимся на понятии совокупности некоторого количества простых чисел. Эти числа всегда являются и взаимно простыми и попарно простыми. Например, 71, 443, 857, 991 — и попарно простые, и взаимно простые.

Когда речь идет о двух целых числах, то для них понятия «попарно простые» и «взаимно простые» совпадают.

Источник

Задача 18 Профильного ЕГЭ по математике на числа и их свойства, Статград

Задача 18 Профильного ЕГЭ по математике (числа и их свойства)
Это новая и непростая задача 18 была предложена на одной из Тренировочных работ Статграда. Публикуем наше решение!

У Вовы есть набор из n грузиков попарно различных натуральных масс в граммах и чашечные весы, которые находятся в равновесии, если на каждой из двух их чаш лежат грузики с одинаковыми суммарными массами. Известно, что, какие бы два из них ни положили на одну чашу весов, всегда можно положить на другую чашу один или несколько из оставшихся грузиков так, что весы уравновесятся.
а) Может ли у Вовы быть ровно 6 грузиков, среди которых есть грузик массой 5 г?
б) Может ли у Вовы быть ровно 5 грузиков?
в) Известно, что среди грузиков Вовы есть грузик массой 1 г. Какую наименьшую массу может иметь самый тяжелый грузик Вовы?

а) Да, может. Набор грузов массами 3, 4, 5, 6, 7, 8 подходит.
Пары грузов 3+4, 3+5 уравновешиваются грузами 7 и 8.
Пары 3+6 и 4+5, 3+7 и 4+6, 3+8, 4+7 и 5+6, 4+8 и 5+7 уравновешивают друг друга.
Пара 5+8 уравновесится парой грузов 6+7.
Пара 6+8 уравновесится тройкой 3+7+4.
Пара 7+8 – тройкой 5+6+4.

б) Сколько всего грузиков может быть? Расположим их массы в порядке возрастания:
a c и e > c, а масса двух легких не превышает b + c и меньше 2с. Значит, d + e = a + b + c.
Два самых легких грузика a и b можно уравновесить только одним из тяжелых, поскольку
a + b c и e > c,
или d + e = d + c, но тогда е = с, и это противоречие с условием, массы грузов различны.
Или же d + e = е + c, но тогда d = с – снова противоречие.
Значит, и 5 грузиков не может быть.

в) Пусть среди грузиков Вовы есть один массой 1 г.
В пункте (б) доказано, что 3, 4 или 5 грузов у Вовы быть не может, то есть число грузов больше или равно 6.
Пример для 6 грузов получен в пункте (а). Правда, в нем не было грузика массой 1 грамм. В наборе 3, 4, 5, 6, 7, 8 самый тяжелый груз имеет массу 8 граммов. Может быть, мы подберем набор из 6 грузов, где самый тяжелый весит 6 граммов?
Поскольку a, b, c, d, e, f – массы грузов – натуральные числа, причем различные,
a ≥ 1, b ≥ 2… f ≥ 6.
Возьмем набор 1, 2, 3, 4, 5, 6. Но уравновесить самые тяжелые грузы не получается – поскольку
5 +6 = 11, а 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Значит, масса самого тяжелого груза не меньше 7 грамм.
Возьмем набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
По сравнению с пунктом (а), в нем добавились новые пары грузов. И все их можно уравновесить:
1 + 7 = 3+ 5;
2 + 7 = 3 + 6;
4 + 7 = 5 + 6;
5 + 7 = 2 + 4 + 6;
6 + 7 = 1 + 3 + 4 + 5.
Мы нашли набор, где масса самого тяжелого груза равна 7 грамм.
Ответ: 7.

Источник

Что значит попарно различные числа

Можно ли n попарно различных натуральных чисел расположить по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел являлась точным квадратом, если:

Будем подбирать числа так, чтобы их суммы были квадратами четных чисел, не очень отличающихся по величине. В пункте б) еще учтем, что сумма двух из этих квадратов должна быть равна сумме двух других.

а) Решая систему находим пример: 54, 10, 90.

б) Решая систему (последнее уравнение является следствием остальных, но это неважно), выберем Тогда Получили пример: 63, 193, 3, 1.

в) Решая систему находим

Ответ: а) да; б) да; в) да.

Комментарий. При ответе «это возможно» мы не обязаны объяснять, как придуман пример. Тем не менее мы постарались объяснить, как такой пример можно придумать. Для решения этой системы проще всего сложить все уравнения, разделить пополам и получить сумму всех чисел. После чего, вычитая из нее какие-либо уравнения, можно найти отдельные неизвестные. Но для этого нужно, чтобы сумма была четной (возьмем все слагаемые четными) и чтобы после деления на 2 она не оказалась слишком маленькой (возьмем все слагаемые примерно одинаковыми). Есть примеры с гораздо меньшими числами. Например, в пункт а годятся 5, 20, 44.