что значит с в таблице первообразных
Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)
Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)
Таблица первообразных
Найти первообразную по известному дифференциалу функции мы можем в том случае, если используем свойства неопределенного интеграла. Из таблицы основных элементарных функций, используя равенства ∫ d F ( x ) = ∫ F ‘ ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C и ∫ k · f ( x ) d x = k · ∫ f ( x ) d x можно составить таблицу первообразных.
Запишем таблицу производных в виде дифференциалов.
В частности при a = e имеем y = e x
d ( a x ) = a x · ln α · d x
В частности при a = e имеем y = e x
log a x ‘ = 1 x · ln a
В частности при a = e имеем y = ln x
d ( log a x ) = d x x · ln a
В частности при a = e имеем y = ln x
Обратные тригонометрические фунции.
Обратные тригонометрические фунции.
Таблица первообразных (неопределенных интегралов)
В левом столбце таблицы размещены формулы, которые носят название основных первообразных. В правом столбце формулы не являются основными, но могут использоваться при нахождении неопределенных интегралов. Их можно проверить дифференцированием.
Непосредственное интегрирование
Таблицу основных интегралов и свойства интегралов можно использовать только после легкого преобразования подынтегрального выражения.
Найдем интеграл ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x
Решение
Выносим из-под знака интеграла коэффициент 3 :
∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x
По формулам тригонометрии преобразуем подынтегральную функцию:
3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + sin x d x
Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 · d x + ∫ sin x d x
Решение
Используя таблицу первообразных, свойства и правило интегрирования, мы можем найти массу неопределенных интегралов. Это возможно в тех случаях, когда можно преобразовать подынтегральную функцию.
Для нахождения интеграла от функции логарифма, функции тангенса и котангенса и ряда других применяются специальные методы, которые мы рассмотрим в разделе «Основные методы интегрирования».
Таблица производных и первообразных.
Полагаю, что посетитель этой страницы уже не единожды обращался и, скорее всего, пытался выучить наизусть таблицы производных и первообразных основных элементарных функций. Вместо таблицы первообразных Вы могли учить простейшие табличные интегралы, что, фактически, одно и то же. На мой взгляд, для вычисления неопределенных интегралов эффективнее пользоваться совмещенной таблицей, заодно это позволит быстрее её запомнить.
Звёздочки в некоторых ячейках таблицы не означают, что у этой функции нет производной или первообразной. (Хотя такое случается, но не с приведенными элементарными функциями.) Здесь звёздочки заменяют производные и первообразные, которые выражаются композицией функций, а потому не подлежат запоминанию. Напротив, на экзамене вас могут попросить вычислить их, пользуясь, соответственно, правилами дифференцирования или методами интегрирования функций. Примеры вычисления некоторых из них представлены ниже таблицы. Остальные используются для упражнений в разделе о вычислении интегралов.
Если потребуется распечатать таблицу для использования, то лучше скачать её в формате рисунка. Тогда Вы сможете разместить его на листе формата А4 желаемым способом.
Пример вычисления отсутствующей производной в строке 13.
а) По правилу дифференцирования дроби
б) С использованием свойств степеней
Как показывает практика, большинство студентов предпочитает первый способ, но при этом чаще ошибается в вычислениях. Я рекомендую освоить второй подход, однако производная это тема другой статьи.
Пример вычисления отсутствующей первообразной в строке 4.
При вычислении использовались непосредственное интегрирование, свойства степенной функции и формулы для её первообразной (строка 3 таблицы). 
Вообще говоря, все пять верхних строк таблицы относятся к степенным функциям, поэтому их можно было бы заменить одним правилом:
— при дифференцировании степенной функции показатель степени сначала выносится коэффициентом перед ней, затем уменьшается на единицу;
— при интегрировании степенной функции показатель степени сначала увеличивается на единицу, затем сносится в знаменатель дроби.
Последнее верно для любых целых, дробных и отрицательных степеней, кроме n = −1, иначе в знаменатель пришлось бы помещать 0.
Пример вычисления отсутствующей первообразной в строке 8.
Почему arccos x отсутствует в столбце первообразных?
Действительно, так как arcсosx и −arcsinx отличаются только на константу, то они относятся к одному и тому же неопределенному интегралу, а значит как первообразные взаимозаменяемы. Не имеет смысла учить две формулы, когда достаточно запомнить одну, если вы понимаете смысл происходящего.
так как по сути это два острых угла одного и того же прямоугольного треугольника.
То же самое относится к функции arcctgx.
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.
Что значит с в таблице первообразных
Изучая математику, мы не раз сталкивались со взаимно-обратными операциями.
Примерами взаимно-обратных операций являются:
Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием, а процессом, обратным нахождению производной, является процесс нахождения первообразной.
Или Первообразной для функции F(x) называется функция, производная которой равна данной.
Зад ача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. Важную роль в решении этой задачи играет признак постоянства функции:
Если
Все первообразные функции а можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f.
Основное свойство первообразных:
Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде
где F(x) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.
В этом утверждении сформулированы два свойства первообразной
1) какое бы число ни подставить вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство Ф(х) = F(x) + C.
Геометрический смысл первообразной
Пример 1. Выяснить, является ли функция F (x) = х 3 – 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х 2 – 1).
Решение: F'(x) = (х 3 – 3х + 1)′ = 3х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f(x), т.е. F'(x) = f(x), следовательно, F(x) является первообразной для функции f(x).
Пример 2. Найти все первообразные функции f(x): f(x) = х 4 + 3х 2 + 5
Решение: Используя таблицу и правила нахождения первообразных, получим:
Ответ:
Задание № 1
Скачай задание из Приложений к странице. Распечатай, выполни предложенные задания, отсканируй и отошли учителю
Алгебра
Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке
Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера
. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке
Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке
План урока:
Понятие первообразной
Однако на практике значительно чаще встречается прямо противоположная задача. Известно, как меняется скорость тела, и найти требуется путь, пройденный им. В таком случае необходимо по производной определить ту функцию, которая «подверглась» дифференцированию.
Задание. Известна производная функции у(х):
В этом примере мы выполнили операцию, обратную дифференцированию. В математическом анализе он называется интегрированием. Если интегрируют некоторую произвольную функцию f(х), то в итоге получают новую функцию, которую чаще всего обозначают как F(x). Её называют первообразной функции f(x).
Приведем несколько примеров первообразной:
Последний пример показывает, что иногда первообразная может и совпадать с исходной функцией.
Задание. Докажите, что функция
Первообразные встречаются и в ряде практических задач, особенно в тех, где рассматривается движение тел.
Задание. Автомобиль Buggati Veyron разгоняется от 0 до 40 м/с за 4 секунды. Какое расстояние проедет эта машина за эти 4 секунды, если разгон осуществляется равномерно?
Решение: Если за 4 секунды машина разгоняется до 30 м/с, то за одну секунду она увеличивает скорость на
Примечание – в будущем мы научимся более строго решать такие задачи, и «угадывать» подходящую первообразную не придётся.
Бесконечное количество первообразных
Оказывается, что g1 также является первообразной для у. То есть у одной функции у = 4х 3 есть сразу две первообразных:g = x 4 и g = x 4 + 1! Более того, можно доказать, что у любой функции есть бесконечное количество первообразных!
Действительно, рассмотрим сразу все функции
где С – некоторая константа, то есть параметр. В данном случае можно сказать, что мы рассматриваем не одну функцию, а семейство функций. Продифференцируем g:
Данная особенность операции интегрирования может быть сформулирована в виде следующей теоремы:
Можно дать и графическую иллюстрацию этого правила. Построим произвольный график g = F(x). Далее построим ещё один график
Очевидно, что он может быть получен параллельным переносом первого графика на С единиц вверх:
Теперь в какой-нибудь точке х0 проведем касательные к обоим графикам первообразных. Очевидно, что они будут иметь одинаковый угол наклона, так как по сути тоже могут быть получены параллельным переносом:
Если же углы наклона касательных совпадают, то и производные в этих точках также равны.
В связи с наличием у каждой функции бесконечного количества первообразных их часто записывают в общем виде. Например, пусть надо записать первообразную для
Однако 2х 2 – это лишь одна из бесконечного множества первообразных. Все вместе они образуют семейство, которое записывается так:
Неопределенный интеграл
Каждая математическая операция имеет какое-то особое обозначение. Например, чтобы показать, что мы дифференцируем некоторую функцию, мы ставим после неё штрих (и при необходимости берем в скобки):
Напомним, что операция нахождения первообразной называется интегрированием. Для ее обозначения используется особый знак – интеграл. Например, мы знаем, что первообразная для у = х 2 – это семейство функций вида
Рассмотрим элементы записанного нами равенства:
Исходная функция – это та самая функция, для которой необходимо найти первообразную, то есть интегрируемая функция. Справа от знака «равно» как раз записывается первообразная. Сразу после первообразной надо писать «+ С». Тем самым мы показываем, что у интегрируемой функции есть бесконечное количество первообразных.
После интегрируемой функции стоит так называемый дифференциал dх (читается как «дэ икс»). В данном случае он указывает, что именно буквой х мы обозначаем переменную в интегрируемой функции. Его значение мы разберем несколько позже. Пока что надо запомнить, что после интегрируемой функции необходимо писать «dx». В целом вся запись
читается так: «интеграл от два икс по дэ икс равен икс в квадрате плюс цэ».
В чем разница между первообразной и интегралом? Первообразная – это функция, при дифференцировании которой получается исходная функция. Интеграл же – это не функция, а целое семейство функций (или их множество), которое включает в себя сразу все первообразные интегрируемой функции.
Так как интегрирование – это действие, обратное дифференцированию, то мы можем проверить результат своих вычислений. Пусть мы записали, что
Получили подынтегральное выражение. Значит, мы всё сделали правильно.
Здесь важно заметить, что в математике существует сразу несколько видов интегралов, каждый из которых имеет разное определение. Здесь описан так называемый «неопределенный интеграл». Несложно догадаться, что существует ещё и «определенный интеграл», который мы рассмотрим на следующих уроках. Теперь можно дать следующее определение:
Задание. Найдите неопределенный интеграл
Решение. Вспомним таблицу производных элементарных функций. Производная синуса равна косинусу:
Заметим, что непосредственно из определения следует важное свойство неопределенного интеграла – производная интеграла равна его подынтегральному выражению:
Грубо говоря, операции интегрирования дифференцирования «сокращают» друг друга.
Задание. Вычислите производную:
Таблица первообразных
Как же вычислять интегралы? Проще всего начать с тех функций, которые уже есть в таблице производных. Напомним, как она выглядит:
Из определения первообразной следует, что для тех функций, которые указаны во втором столбце таблицы, одной из первообразных является соответствующая функция из первого столбца. То есть можно составить такую таблицу первообразных:
Обратите внимание на третью строку снизу. Здесь произошло небольшое изменение – вместо первообразной lnx мы записали ln |x|, то есть использовали модуль числа. Дело в том, что функция
определена при любом значении аргумента, кроме нуля. В то же время функция
не определена при отрицательных значениях х, так как под знаком логарифма не может стоять отрицательное число. Однако области определения интегрируемой функции и ее первообразной должны совпадать. Использование модуля обеспечивает выполнение этого условия.
Полученная нами таблица интегралов не совсем удобна. Предположим, нам надо проинтегрировать функцию
Однако можно догадаться, что в качестве подходящей первообразной можно взять функцию
В связи с этим есть смысл немного подкорректировать таблицу первообразных таким образом, чтобы в первом столбце стояли стандартные функции без неудобных множителей. В результате таблица примет следующий вид:
Можно доказать, что каждое равенство в третьем столбце является справедливым. Возьмем, например, равенство
Получили подынтегральное выражение, а это значит, что равенство справедливо. Таким же образом можно доказать и все остальные равенства в таблице.
Задание. Вычислите неопределенный интеграл:
Решение. Этот интеграл присутствует в таблице (7-ая строка), а потому мы просто переписываем равенство из неё:
Задание. Найдите первообразную функции
Правила вычисления интегралов
Что делать в том случае, если надо вычислить интеграл, которого нет в таблице? Существует три несложных правила интегрирования, которые могут помочь в такой ситуации.
Докажем это правило. Для этого просто продифференцируем правую часть равенства:
Получили именно то выражение, которое стоит под знаком интеграла в левой части равенства. Это значит, что формула справедлива.
Рассмотрим пример использования этого правила. Пусть надо найти первообразную функции
Здесь мы представили исходный интеграл как сумму двух более простых интегралов, которые являются табличными
Обратите внимание, что мы не стали складывать константы интегрирования С как подобные слагаемые и писать 2С. Дело в том, что С – это некоторое произвольное число. Но если сложить два произвольных числа, то в итоге получится третье произвольное число, которое также будет обозначаться как С! Поэтому обычно константу С просто дописывают в самом конце решаемого примера.
Естественно, что правило сложения интегралов работает и в случае суммы не двух, а большего количества слагаемых.
Задание. Вычислите неопределенный интеграл
Возможна ситуация, когда мы не уверены в правильности полученного решения. В таком случае можно легко проверить себя, просто продифференцировав получившийся интеграл. В итоге мы должны получить исходную функцию (подынтегральное выражение):
Следующее правило позволяет выносить множитель из-под знака интеграла.
Для доказательства тождества снова продифференцируем его левую часть:
Получили как раз то выражение, которое стоит под интегралом справа. Следовательно, формула верна.
Рассмотрим несколько простейших примеров использования этого метода интегрирования неопределенных интегралов:
Естественно, что правила 1 и 2 можно комбинировать друг с другом, решая более сложные примеры.
Задание. Вычислите неопределенный интеграл от квадратичной функции
Первые два правила достаточно просты и напоминают аналогичные правила дифференцирования. А вот третий метод вычисления неопределенного интеграла более сложный.
Проиллюстрируем его на примере. Пусть надо найти первообразную для функции
Но в нашем случае под знаком косинуса стоит не х, а выражение 5х + 7, являющееся линейной функцией. Поэтому, согласно правилу, мы должны написать впервообразной не sinx, а sin (5x + 7), то есть изменить аргумент. Также надо добавить перед синусом «поправочный множитель», равный 1/k, то есть в нашем случае 1/5:
Проверим себя. Продифференцируем получившуюся первообразную. При этом мы используем правило дифференцирования сложной функции:
Получили ту самую функцию, которую и надо было проинтегрировать.
Приведем ещё несколько примеров использования правила 3:
Напомним, что при изучении производной мы познакомились также с правилами дифференцирования произведения, дроби и сложной функции. Используя их, мы могли найти производную для почти любой функции, которую только могли записать. С решением неопределенных интегралов ситуация значительно сложнее. С помощью приведенных трех правил не получится вычислить такие интегралы, как
Более того, в записанной нами таблице интегралов отсутствует ряд элементарных функций, поэтому мы не сможем даже проинтегрировать такую простую функцию, как
Дело в том, что задача интегрирования является значительно более сложной, чем задача дифференцирования. Отметим три момента. Во-первых, в нашей школьной таблице интегралов, содержащей всего 11 формул, указаны лишь самые простые элементарные функции. Существуют справочники, где в качестве табличных указаны интегралы десятков, а то и сотен функций. Во-вторых, есть и более сложные правила интегрирования, которые изучаются уже в институте. В-третьих, существуют такие элементарные функции, первообразную которых в принципе невозможно записать, используя элементарные функции (синус, косинус, логарифм и т.п.). В связи с этим приходится вводить в рассмотрение новые специальные функции, а также использовать приближенные методы вычислений.
Физический смысл неопределенного интеграла
Напомним физический смысл производной – если известен закон движения материальной точки, то есть некоторая функция S(t), то производная этого закона будет выражать скорость тела в момент времени t:
Отсюда прямо вытекает физический смысл первообразной. Если известен закон изменения скорости v(t), то его первообразная будет являться законом движения S(t). Точнее говоря, законом движения будет являться только одна из первообразных, так как их существует бесконечно много.
Задача. Скорость тела в произвольный момент времени t может быть вычислена по закону
Найдите закон движения материальной точки S(t). Известно, что в начальный момент времени тело находилось в точке с координатой 1,5, то есть S(0) = 1,5.
Решение. Нам надо просто проинтегрировать функцию v(t):
Интеграл вычислен, но это ещё не закон движения, ведь в нем присутствует константа интегрирования. Как от неё избавиться? Надо использовать условие, согласно которому S(0) = 1,5. В общем виде закон движения имеет вид
Мы нашли конкретное значение константы интегрирования. С учетом этого закон движения (1) примет вид:
Таблица и правила нахождения первообразных
На этой странице вы найдёте:
1. Собственно, таблицу первообразных — её можно скачать в формате PDF и распечатать;
2. Видео, посвящённое тому, как этой таблицей пользоваться;
3. Кучу примеров вычисления первообразной из различных учебников и контрольных работ.
В самом видео мы разберём множество задач, где требуется посчитать первообразные функций, зачастую довольно сложных, но главное — не являющихся степенными. Все функции, сведённые в таблицу, предложенную выше, необходимо знать наизусть, подобно производным. Без них невозможно дальнейшее изучение интегралов и их применение для решения практических задач.
Сегодня мы продолжаем заниматься первообразными и переходим у чуть более сложной теме. Если в прошлый раз мы рассматривали первообразные только от степенных функций и чуть более сложных конструкций, то сегодня мы разберем тригонометрию и многое другое.
Как я говорил на прошлом занятии, первообразные в отличие от производных, никогда не решаются «напролом» с помощью каких-либо стандартных правил. Более того, плохая новость состоит в том, что в отличие от производной, первообразная вообще может не считаться. Если мы напишем совершенно случайную функцию и попытаемся найти ее производную, то это с очень большой вероятностью у нас получится, а вот первообразная практически никогда в этом случае не посчитается. Но есть и хорошая новость: существует довольно обширный класс функций, называемых элементарными, первообразные от которых очень легко считаются. А все прочие более сложные конструкции, которые дают на всевозможных контрольных, самостоятельных и экзаменах, на самом деле, составляются из этих элементарных функций путем сложения, вычитания и других несложных действий. Первообразные таких функций давно посчитаны и сведены в специальные таблицы. Именно с такими функциями и таблицами мы будем сегодня работать.
Но начнем мы, как всегда, с повторения: вспомним, что такое первообразная, почему их бесконечно много и как определить их общий вид. Для этого я подобрал две простенькие задачки.
Решение легких примеров
Пример № 1
Для того чтобы найти, необходимо записать следующее:
Теперь мы окончательно можем посчитать именно ту первообразную, которая нас и интересует:
Пример № 2
Здесь также речь идет о тригонометрических функциях. Если мы посмотрим в таблицу, то, действительно, так и получится:
\[F\left( x \right)=\arcsin x+C\]
Нам нужно среди всего множества первообразных найти ту, которая проходит через указанную точку:
Давайте окончательно запишем:
Вот так все просто. Единственная проблема состоит в том, для того чтобы считать первообразные простых функций, нужно выучить таблицу первообразных. Однако после изучения таблицы производных для вас, я думаю, это не будет проблемой.
Поэтому идем далее и переходим к более сложным конструкциям — первообразным показательных функций.
Решение задач, содержащих показательную функцию
Для начала запишем такие формулы:
Давайте посмотрим, как это все работает на практике.
Пример № 1
Давайте найдем первообразную для каждого из слагаемых:
А теперь соберем все слагаемые в единое выражение и получим общую первообразную:
Пример № 2
На этот раз степень уже побольше, поэтому формула сокращенного умножения будет довольно сложной. Итак раскроем скобки:
Теперь от этой конструкции попробуем взять первообразную от нашей формулы:
Правила работы с таблицей первообразных
Еще раз выпишем нашу функцию:
В предыдущем случае мы использовали для решения следующую формулу:
Давайте еще раз перепишем нашу конструкцию:
При вычислении наша конструкция запишется следующим образом:
Мы получили точно тот же результат, но пошли при этом по другому пути. Именно этот путь, который сейчас кажется нам чуть более сложным, в дальнейшем окажется более эффективным для вычисления более сложных первообразных и использование таблиц.
А теперь, когда мы все это поняли, пора перейти к чему-то более существенному. Сейчас мы разберем две простенькие конструкций, однако прием, который будет заложен при их решении, является более мощным и полезным инструментом, нежели простое «беганье» между соседними первообразными из таблицы.
Решение задач: находим первообразную функции
Пример № 1
Давайте сумму, которая стоит в числители, разложи на три отдельных дроби:
Это довольно естественный и понятный переход — у большинства учеников проблем с ним не возникает. Перепишем наше выражение следующим образом:
А теперь вспомним такую формулу:
В нашем случае мы получим следующее:
Чтобы избавиться от всех этих трехэтажных дробей, предлагаю поступить следующим образом:
Пример № 2
В отличие от предыдущей дроби в знаменателе стоит не произведение, а сумма. В этом случае мы уже не можем разделить нашу дробь на сумму нескольких простых дробей, а нужно каким-то образом постараться сделать так, чтобы в числителе стояло примерно такое же выражение как в знаменателе. В данном случае сделать это довольно просто:
Такая запись, которая на языке математики называется «добавление нуля», позволит нам вновь разделить дробь на два кусочка:
Теперь найдем то, что искали:
Вот и все вычисления. Несмотря на кажущуюся большую сложность, чем в предыдущей задаче, объем вычислений получился даже меньшим.
Нюансы решения
И вот в этом кроется основная сложность работы с табличными первообразными, особенно это заметно на второй задаче. Дело в том, что для того чтобы выделить какие-то элементы, которые легко считаются через таблицу, нам нужно знать, что конкретно мы ищем, и именно в поиске этих элементов и состоит все вычисление первообразных.
Другими словами, недостаточно просто зазубрить таблицу первообразных — нужно уметь видеть что-то, чего пока еще нет, но что подразумевал автор и составитель этой задачи. Именно поэтому многие математики, учителя и профессора постоянно спорят: «А что такое взятие первообразных или интегрирование — это просто инструмент либо это настоящее искусство?» На самом деле, лично на мой взгляд, интегрирование — это никакое не искусство — в нем нет ничего возвышенного, это просто практика и еще раз практика. И чтобы попрактиковаться, давайте решим еще три более серьезных примера.