В письменной форме в качестве альтернативы к «тогда и только тогда» часто используется достаточно спорные выражения, включающие: Q необходимо и достаточно для Р; Р эквивалентно (или материально эквивалентно) Q; Р точно, если Q; P точно, когда Q; P точно в случае Q; P именно в случае Q.
В логических формулах вместо всех вышеприведённых фраз используются логические символы.
Связанные понятия
Упоминания в литературе
Связанные понятия (продолжение)
В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.
В общей алгебре, термин кручение относится к элементам группы, имеющим конечный порядок, или к элементам модуля, аннулируемым регулярным элементом кольца.
В теории чисел гладким числом называется целое число, все простые делители которого малы.
Во многих областях математики полезную конструкцию часто можно рассматривать как «наиболее эффективное решение» определенной проблемы. Определение универсального свойства использует язык теории категорий, чтобы сделать это определение точным и изучать его теоретическими методами.
«Тогда́ и то́лько тогда́» — логическая связка эквиваленции между утверждениями, применяемая в логике, математике, философии. Чтобы быть эквиваленцией, связка должна быть идентична стандартному материальному условному высказыванию [1] («только тогда» эквивалентно «если … то»), соединённому со своей противоположностью, откуда и название связки. В результате истинность одного утверждения требует такой же истинности другого, то есть либо оба они истинны, либо оба ложны. Можно спорить о том, передаёт ли выражение русского языка «тогда и только тогда» определённую выше связку с её уже существующим смыслом. Конечно, ничто не может помешать нам читать эту связку именно как «тогда и только тогда», хотя это может иногда привести к путанице.
В письменной форме в качестве альтернативы к «тогда и только тогда» часто используется достаточно спорные выражения, включающие: Q необходимо и достаточно для Р; Р эквивалентно (или материально эквивалентно) Q; Р точно, если Q; P точно, когда Q; P точно в случае Q; P именно в случае Q.
В логических формулах вместо всех вышеприведённых фраз используются логические символы.
Содержание
Определение
Тогда и только тогда
p
q
Заметим, что эквивалентное преобразование производит стандартная ячейка XNOR, а противоположное преобразование — стандартная ячейка XOR.
Использование
Нотация
Доказательства
В большинстве логических систем доказывается утверждения вида «P ↔ Q» через доказательство «если P, то Q» и «если Q, то P» (или обратное «если не-P, то не-Q» и «если не-Q, то не-P»). Доказательство этой пары утверждений иногда приводит к более строгому доказательству, поскольку есть неочевидные условия, из которых можно вывести эквиваленцию непосредственно. Альтернативой является доказательство дизъюнкции «(P и Q) или (не-P и не-Q)», которая сама по себе может быть выведена из дизъюнктов, т.е поскольку связка ↔ является функцией истинности, то отсюда следует, что «P ↔ Q» истинно только, если P и Q оба истинны или оба ложны.
Отличие «тогда» и «только тогда»
Достаточность является инверсией необходимости. То есть, если дано P→Q (или если P, то Q), то P будет достаточным условием для Q, а Q будет необходимым условием для P. Кроме того, если дано P→Q, то истинно также ¬Q→¬P (где ¬ является оператором отрицания, то есть «не»). Это означает, что связь между P и Q, установленная оператором P→Q, может быть выражена следующими эквивалентными способами:
P достаточно для QQ необходимо для P¬Q достаточно для ¬P¬P необходимо для ¬Q
Если в качестве примера взять вышеприведённое предложение (1), в котором утверждается P→Q, где P — это «пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом», а Q — это «Мэдисон будет есть пудинг, о котором идёт речь». Следующие четыре способа выражения отношений эквивалентны:
Если пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом, тогда Мэдисон будет его есть. Только если Мэдисон будет есть пудинг, о котором идёт речь, он с заварным кремом. Если Мэдисон не будет есть пудинг, о котором идёт речь, он без заварного крема. Только если пудинг, о котором идёт речь, без заварного крема, Мэдисон не будет его есть.
Таким образом, мы видим, что вышеприведённое предложение (2) можно переформулировать в виде если … то, например, «Если Мэдисон съест пудинг, о котором идёт речь, то он с кремом». Беря это в сочетании с (1), мы находим, что (3) можно сформулировать так: «Если пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом, тогда Мэдисон будет его есть, И если Мэдисон будет есть пудинг, то он с заварным кремом».
«Тогда́ и то́лько тогда́» — логическая связка эквиваленции между утверждениями, применяемая в логике, математике, философии. Чтобы быть эквиваленцией, связка должна быть идентична стандартному материальному условному высказыванию [1] [ нет в источнике ] («только тогда» эквивалентно «если … то»), соединённому со своей противоположностью, откуда и название связки. В результате истинность одного утверждения требует такой же истинности другого, то есть либо оба они истинны, либо оба ложны. Можно спорить о том, передаёт ли выражение русского языка «тогда и только тогда» определённую выше связку с её уже существующим смыслом. Конечно, ничто не может помешать нам читать эту связку именно как «тогда и только тогда», хотя это может иногда привести к путанице.
В письменной форме в качестве альтернативы к «тогда и только тогда» часто используется достаточно спорные выражения, включающие: Q необходимо и достаточно для Р; Р эквивалентно (или материально эквивалентно) Q; Р точно, если Q; P точно, когда Q; P точно в случае Q; P именно в случае Q.
В логических формулах вместо всех вышеприведённых фраз используются логические символы.
Содержание
Определение [ | ]
Тогда и только тогда
p
q
Заметим, что эквивалентное преобразование производит стандартная ячейка XNOR, а противоположное преобразование — стандартная ячейка XOR.
Использование [ | ]
Нотация [ | ]
Доказательства [ | ]
В большинстве логических систем доказывается утверждения вида «P ↔ Q» через доказательство «если P, то Q» и «если Q, то P» (или обратное «если не-P, то не-Q» и «если не-Q, то не-P»). Доказательство этой пары утверждений иногда приводит к более строгому доказательству, поскольку есть неочевидные условия, из которых можно вывести эквиваленцию непосредственно. Альтернативой является доказательство дизъюнкции «(P и Q) или (не-P и не-Q)», которая сама по себе может быть выведена из дизъюнктов, т.е поскольку связка ↔ является функцией истинности, то отсюда следует, что «P ↔ Q» истинно только, если P и Q оба истинны или оба ложны.
Отличие «тогда» и «только тогда» [ | ]
Достаточность является инверсией необходимости. То есть, если дано P→Q (или если P, то Q), то P будет достаточным условием для Q, а Q будет необходимым условием для P. Кроме того, если дано P→Q, то истинно также ¬Q→¬P (где ¬ является оператором отрицания, то есть «не»). Это означает, что связь между P и Q, установленная оператором P→Q, может быть выражена следующими эквивалентными способами:
P достаточно для QQ необходимо для P¬Q достаточно для ¬P¬P необходимо для ¬Q
Если в качестве примера взять вышеприведённое предложение (1), в котором утверждается P→Q, где P — это «пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом», а Q — это «Мэдисон будет есть пудинг, о котором идёт речь». Следующие четыре способа выражения отношений эквивалентны:
Если пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом, тогда Мэдисон будет его есть. Только если Мэдисон будет есть пудинг, о котором идёт речь, он с заварным кремом. Если Мэдисон не будет есть пудинг, о котором идёт речь, он без заварного крема. Только если пудинг, о котором идёт речь, без заварного крема, Мэдисон не будет его есть.
Таким образом, мы видим, что вышеприведённое предложение (2) можно переформулировать в виде если … то, например, «Если Мэдисон съест пудинг, о котором идёт речь, то он с кремом». Беря это в сочетании с (1), мы находим, что (3) можно сформулировать так: «Если пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом, тогда Мэдисон будет его есть, И если Мэдисон будет есть пудинг, то он с заварным кремом».
«Тогда́ и то́лько тогда́» — логическая связка эквиваленции между утверждениями, применяемая в логике, математике, философии. Чтобы быть эквиваленцией, связка должна быть идентична стандартному материальному условному высказыванию [1] [ нет в источнике ] («только тогда» эквивалентно «если … то»), соединённому со своей противоположностью, откуда и название связки. В результате истинность одного утверждения требует такой же истинности другого, то есть либо оба они истинны, либо оба ложны. Можно спорить о том, передаёт ли выражение русского языка «тогда и только тогда» определённую выше связку с её уже существующим смыслом. Конечно, ничто не может помешать нам читать эту связку именно как «тогда и только тогда», хотя это может иногда привести к путанице.
В письменной форме в качестве альтернативы к «тогда и только тогда» часто используется достаточно спорные выражения, включающие: Q необходимо и достаточно для Р; Р эквивалентно (или материально эквивалентно) Q; Р точно, если Q; P точно, когда Q; P точно в случае Q; P именно в случае Q.
В логических формулах вместо всех вышеприведённых фраз используются логические символы.
Содержание
Определение [ править | править код ]
Тогда и только тогда
p
q
Заметим, что эквивалентное преобразование производит стандартная ячейка XNOR, а противоположное преобразование — стандартная ячейка XOR.
Использование [ править | править код ]
Нотация [ править | править код ]
Доказательства [ править | править код ]
В большинстве логических систем доказывается утверждения вида «P ↔ Q» через доказательство «если P, то Q» и «если Q, то P» (или обратное «если не-P, то не-Q» и «если не-Q, то не-P»). Доказательство этой пары утверждений иногда приводит к более строгому доказательству, поскольку есть неочевидные условия, из которых можно вывести эквиваленцию непосредственно. Альтернативой является доказательство дизъюнкции «(P и Q) или (не-P и не-Q)», которая сама по себе может быть выведена из дизъюнктов, т.е поскольку связка ↔ является функцией истинности, то отсюда следует, что «P ↔ Q» истинно только, если P и Q оба истинны или оба ложны.
Отличие «тогда» и «только тогда» [ править | править код ]
Достаточность является инверсией необходимости. То есть, если дано P→Q (или если P, то Q), то P будет достаточным условием для Q, а Q будет необходимым условием для P. Кроме того, если дано P→Q, то истинно также ¬Q→¬P (где ¬ является оператором отрицания, то есть «не»). Это означает, что связь между P и Q, установленная оператором P→Q, может быть выражена следующими эквивалентными способами:
P достаточно для QQ необходимо для P¬Q достаточно для ¬P¬P необходимо для ¬Q
Если в качестве примера взять вышеприведённое предложение (1), в котором утверждается P→Q, где P — это «пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом», а Q — это «Мэдисон будет есть пудинг, о котором идёт речь». Следующие четыре способа выражения отношений эквивалентны:
Если пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом, тогда Мэдисон будет его есть. Только если Мэдисон будет есть пудинг, о котором идёт речь, он с заварным кремом. Если Мэдисон не будет есть пудинг, о котором идёт речь, он без заварного крема. Только если пудинг, о котором идёт речь, без заварного крема, Мэдисон не будет его есть.
Таким образом, мы видим, что вышеприведённое предложение (2) можно переформулировать в виде если … то, например, «Если Мэдисон съест пудинг, о котором идёт речь, то он с кремом». Беря это в сочетании с (1), мы находим, что (3) можно сформулировать так: «Если пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом, тогда Мэдисон будет его есть, И если Мэдисон будет есть пудинг, то он с заварным кремом».
Из Википедии, бесплатной энциклопедии