что значит умножить одно натуральное число на другое

5 класс. Математика. Виленкин. Учебник. Ответы к стр. 67

Ноя 19

5 класс. Математика. Виленкин. Учебник. Ответы к стр. 67

Натуральные числа
Умножение и деление натуральных чисел
Умножение натуральных чисел и его свойства

Ответы к стр. 67

Что значит умножить одно натуральное число на другое?
Как называют числа, которые перемножают?
Как называют результат умножения?
Чему равно 1 • n? Чему равно 0 • n?
Сформулируйте переместительное свойство умножения. Запишите его с помощью букв.
Сформулируйте сочетательное свойство умножения. Запишите его с помощью букв.
В каких случаях можно опустить знак умножения?
Чему равно произведение m • 1?
Чему равно произведение m • 0?

Умножить натуральное число m на натуральное число n – значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.
Множители.
Произведение.
1 • n = n, 0 • n = 0.
Произведение двух чисел не изменится при перестановке множителей: α • b = b • α.
Для умножения числа на произведение двух чисел можно сначала умножить число на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель: α • (b • с) = (α • b) • с.
Перед буквенными множителями: вместо 5 • b пишут 5b.
m • 1 = m.
m • 0 = 0.

404. Представьте в виде произведения сумму:
а) 707 + 707 + 707;
б) 50 + 50 + 50 + 50 + 50 + 50;
в) х + х + х + х + х + х.

а) 707 + 707 + 707 = 707 • 3;
б) 50 + 50 + 50 + 50 + 50 + 50 = 50 • 6;
в) х + х + х + х + х + х = х • 6 = 6х.

Источник

Волжский класс

Боковая колонка

Рубрики

Видео

Книжная полка

Малина для Админа

Боковая колонка

Опросы

Календарь

Декабрь 2021

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Ноя
1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

5 класс. Математика. Ерина. Рабочая тетрадь №1. Ответы к стр. 28

Натуральные числа
Умножение и деление натуральных чисел
Умножение натуральных чисел и его свойства

I. Развиваем математическую речь.
Перед Вами несколько вопросов. Ответьте на них сначала письменно, а затем устно, составьте из ответов текст по теме «Умножение натуральных чисел и его свойства» и перескажите его соседу по парте.
1. Что значит умножить одно натуральное число на другое?
2. Как называют числа, которые перемножают?
3. Как называют результат умножения?
4. Чему равно произведение 1 • 0? Произведение 0 • n ?
5. Сформулируйте переместительное свойство умножения. Запишите его с помощью букв.
6. Сформулируйте сочетательное свойство умножения. Запишите его с помощью букв.

1) Умножить натуральное число m на натуральное число n — значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.
2) Множители.
3) Произведение.
4) 1 • 0 = 0, 0 • n = 0.
5) Произведение двух чисел не изменится при перестановке множителей: α • b = b • α.
6) Для умножения числа на произведение двух чисел можно сначала умножить число на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель: α • (b • с) = (α • b) • с.

II. Находим информацию.
Когда появились знаки действий «+», «-», «•», «:»?

Знаки «+» и «-» возникли в торговой практике в XV веке, а первое использование этих знаков в качестве математических действий относится к 1481 году. В XVII веке некоторые математики стали обозначать умножение знаком «×», а другие употребляли «•». В XIII веке математик Фибоначи перенял знак деления «/» от арабов, а знак «:» появился в конце XVII века.

III. Исследуем.
Как изменится произведение двух сомножителей, если один из них увеличить в 3 раза? уменьшить в 2 раза? увеличить на 3? уменьшить на 3?

Если один из сомножителей увеличить в 3 раза, то произведение увеличится в 3 раза: 4 • 5 = 20 ⇒ (4 • 3) • 5 = 12 • 5 = 60.
Если один из сомножителей уменьшить в 2 раза, то произведение уменьшится в 2 раза: 4 • 5 = 20 ⇒ (4 : 2) • 5 = 2 • 5 = 10.
Если один из сомножителей увеличить на 3, то произведение увелится на произведение второго сомножителя и числа 3: 4 • 5 = 20 ⇒ (4 + 3) • 5 = 4 • 5 + 3 • 5 = 20 + 3 • 5.
Если один из сомножителей уменьшить на 3, то произведение уменьшится на произведение второго сомножителя и числа 3: 4 • 5 = 20 ⇒ (4 — 3) • 5 = 4 • 5 — 3 • 5 = 20 — 3 • 5.

О т в е т: увеличится в 3 раза, уменьшится в 2 раза, увеличится на произведение второго сомножителя и числа 3, уменьшится на произведение второго сомножителя и числа 3.

IV. Анализируем, делаем выводы.
Сколькими нулями заканчивается произведение всех натуральных чисел
1) от 1 до 30? 2) от 50 до 150? Почему?
Р е ш е н и е.

1) Среди чисел от 1 до 30 надо найти числа, которые делятся на 5 — это будет количество нулей в записи произведения. Если эти числа делятся на 5 два раза подряд, то добавляется ещё один нуль.
На 5 делятся числа 5, 10, 15, 20, 25, 30, причём 25 делится на 5 два раза подряд: 25 : 5 = 5, 5 : 5 = 5. Следовательно, в записи произведения будет 6 + 1 = 7 нулей.

2) Среди чисел от 50 до 150 надо найти числа, которые делятся на 5 — это будет количество нулей в записи произведения. Если эти числа делятся на 5 два или три раза подряд, то добавляется ещё один или два нуля.
На 5 делятся числа 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, причём 50, 75, 100 и 150 делятся на 5 два раза подряд: 50 : 5 = 10, 10 : 5 = 2; 75 : 5 = 15, 15 : 5 = 3; 100 : 5 = 20, 20 : 5 = 4; 150 : 5 = 30, 30 : 5 = 6, а число 125 делятся на 5 три раза подряд: 125 : 5 = 25, 25 : 5 = 5, 5 : 5 = 1. Следовательно, в записи произведения будет 21 + 4 + 2 = 27 нулей.

Источник

Общее представление об умножении натуральных чисел

Целью этого материала будет объяснение важного математического действия, называемого умножением. Для начала попробуем дать вам общее представление о нем и помочь понять сам смысл процесса умножения. Затем мы разберемся с основными определениями и правилами записи, которые используются при умножении натуральных чисел. В последнем пункте мы остановимся на том, для решения каких задач нам пригодится умножение.

Общий смысл умножения

Ранее, разбирая действие сложения, мы говорили о нем как об объединении некоторых множеств. Умножение – тоже своего рода объединение множеств, только разница в том, что все множества будут одинаковы. Что это значит на практике?

Умножение связано с ростом, увеличением изначального количества чего-либо. Вспомним выражение «приумножать богатства» (т.е. приобрести больше богатства, чем было изначально), «приумножать добро» и т.д. Таким образом, умножение сводится к многократному увеличению исходного количества чего-либо.

Взяв за основу общее представление об умножении, выясним конкретный смысл этого понятия. Для этого разберем задачу. У нас есть два мастера, каждый из которых может сковать за день четыре меча. Цель – выяснить, сколько оба мастера изготовят за один день.

Умножить одно натуральное число на другое – значит совершить действие, в результате которого получится число, являющееся суммой одинаковых слагаемых. При этом значение первого числа будет соответствовать значению одного слагаемого, а второе будет указывать на количество этих слагаемых.

Отдельно отметим, что результат умножения натуральных чисел – это тоже натуральное число, равно как и сумма натуральных чисел дает нам в итоге другое натуральное число.

Основные понятия умножения

В этом пункте мы укажем основные термины, которые используют при описании умножения, и правила их записи.

Знак умножения обычно отображают на письме в виде точки « · », которая располагается между двумя умножаемыми числами. К примеру, 6 · 7 или 2 · 78 (два числа со знаком умножения вместе образуют числовое выражение). Иногда вместо точки пишут звездочку или знак « х ».

Те числа, которые перемножают, называют множителями, а результат действия принято называть произведением натуральных чисел. Само числовое выражение из множителей и знака между ними также будем называть произведением.

При многоступенчатых подсчетах множители удобно нумеровать, т.е. указывать, что одно из чисел является первым множителем, другое – вторым и др.

Если нам нужно получить результат умножения некоторых чисел, то мы используем выражения «найти произведение», «вычислить произведение», «умножить одно число на другое».

Таким образом, процесс нахождения произведения двух чисел схематично можно выразить так: множитель · множитель = произведение.

Типы задач, решаемых с помощью умножения

В этом пункте мы разберем примеры, когда умение умножать натуральные числа нам пригодится.

1. Нахождение количества элементов некоторого множества, которое получилось в результате объединения равных множеств. Например:

В коробку помещается 10 книг. Как найти, сколько книг поместится в 6 коробок?

2. Нахождение итоговых значений каких-либо физических величин.

Период оборота Земли вокруг Солнца составляет один год, или в среднем 365 дней. Если Земля совершила 15 оборотов, то сколько прошло дней?

3. Если нужно найти, в какое количество раз одно множество больше, чем другое. Например:

Часто в таких задачах требуется вычислять возраст:

Внуку 15 лет, а дед старше в 4 раза. Как узнать, сколько лет деду?

Источник

Умножение натуральных чисел

Определение

Например: 4 + 4 + 4 = 4 · 3 = 12.

Умножение обозначают точкой «·» или крестиком «х».

Числа, которые умножаются, называют «множителями», результат умножения, называют «произведением»

Алгоритм умножения чисел

Разберем порядок умножения чисел на примере. Умножим число 25 на 16

1. Сначала записываем множители в столбик.

Второй множитель записывается под первым множителем так, что разряды второго множителя находились под соответствующими разрядами первого множителя, т.е. единицы второго множителя записываются под единицами первого, десятки под десятками и т.д. Снизу под записанными множителями проводится горизонтальная линия, а слева ставится знак умножения.

2. Производим последовательное умножение.

Сначала число, обозначающее разряд единиц класса единиц второго множителя последовательно умножаем на все разряды первого множителя.

4. Последовательно сложим цифры полученных неполных произведений по правилам сложения.

Свойства умножения натуральных чисел.

1. Переместительное свойство умножения.

a · b = b · a

От перемены мест множителей произведение не изменится.

12 · 4 = 4 · 12

12 · 4 = 48

4 · 12 = 48

2. Сочетательное свойство умножения.

a · (b · c) = (a · b) · c

Произведение не зависит от группировки сомножителей.

1) 3 · 6 = 18; 2) 18 · 2 = 36

1) 2 · 3 = 6; 2) 6 · 6 = 36

3. Распределительное свойство умножения относительно сложения.

При умножении числа на сумму двух других чисел, можно данное число умножить на каждое из слагаемых, а полученные результаты сложить.

3 · (5 + 4) = 3 · 5 + 3 · 4

3 · (5 + 4) = 27

1) 5 + 4 = 9; 2) 9 · 3 = 27

1) 3 · 5 = 15; 2) 3 · 4 = 12; 3) 12 + 15 = 27

4. Распределительное свойство умножения относительно вычитания

При умножении числа на разность двух других чисел, можно данное число умножить на уменьшаемое и на вычитаемое, а полученные результаты вычесть.

5. Свойство умножения единицы на натуральное число

При умножении единицы на любое число, получим равное ему число.

1 · 76 = 76

6. Свойство умножения нуля на натуральное число

При умножении 0 на любое число, получим 0

0 · 123 = 0

Произведение всех натуральных чисел от 1 до называют факториал, записывают: , читают: «эн факториал». Следовательно, справедливо равенство:

= 123.

Пример:

3! = 123 = 6;

5! = 12345 =120.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Умножение натуральных чисел: правила, примеры, решения

Имея общее представление об умножении натуральных чисел и их свойств, легче понять принцип выполнений действий над ними. Мы разберем правила, по которым производится умножение натуральных чисел. Весь материал имеет конкретные примеры и подробные объяснения. Совершим проверки результатов для того, чтобы сверить полученные на выходе числа.

Таблица умножения

1 · 1 = 1	2 · 1 = 2	3 · 1 = 3
1 · 2 = 2	2 · 2 = 4	3 · 2 = 6
1 · 3 = 3	2 · 3 = 6	3 · 3 = 9
1 · 4 = 4	2 · 4 = 8	3 · 4 = 12
1 · 5 = 5	2 · 5 = 10	3 · 5 = 15
1 · 6 = 6	2 · 6 = 12	3 · 6 = 18
1 · 7 = 7	2 · 7 = 14	3 · 7 = 21
1 · 8 = 8	2 · 8 = 16	3 · 8 = 24
1 · 9 = 9	2 · 9 = 18	3 · 9 = 27

4 · 1 = 4	5 · 1 = 5	6 · 1 = 6
4 · 2 = 8	5 · 2 = 10	6 · 2 = 12
4 · 3 = 12	5 · 3 = 15	6 · 3 = 18
4 · 4 = 16	5 · 4 = 20	6 · 4 = 24
4 · 5 = 20	5 · 5 = 25	6 · 5 = 30
4 · 6 = 24	5 · 6 = 30	6 · 6 = 36
4 · 7 = 28	5 · 7 = 35	6 · 7 = 42
4 · 8 = 32	5 · 8 = 40	6 · 8 = 48
4 · 9 = 36	5 · 9 = 45	6 · 9 = 54

7 · 1 = 7	8 · 1 = 8	9 · 1 = 9
7 · 2 = 14	8 · 2 = 16	9 · 2 = 18
7 · 3 = 21	8 · 3 = 24	9 · 3 = 27
7 · 4 = 28	8 · 4 = 32	9 · 4 = 36
7 · 5 = 35	8 · 5 = 40	9 · 5 = 45
7 · 6 = 42	8 · 6 = 48	9 · 6 = 54
7 · 7 = 49	8 · 7 = 56	9 · 7 = 63
7 · 8 = 56	8 · 8 = 64	9 · 8 = 72
7 · 9 = 63	8 · 9 = 72	9 · 9 = 81

Это и есть таблица умножения. Все результаты сгруппированы для удобного дальнейшего применения. Таблица сложения натуральных чисел выглядит подобным образом. Она предоставлена ниже.

Умножение трех и более количества чисел

Мы дали определение понятию умножения двух чисел. Теперь поговорим об умножении трех и более имеющихся чисел. Таким образом, в такой ситуации применимо сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

Обычно скобки опускаются при умножении. Произведение нескольких трех и более чисел без скобок приводит к последовательной замене двух соседних множителей до получения необходимого результата. Скобки могут быть расставлены произвольно, так как итог произведения не изменится.

Порядок следования множителей не влияет на результат. Множители могут быть записаны в любом порядке. Это следует из свойств умножения натуральных чисел.

Чтобы избежать это, необходимо поменять слагаемые местами, иначе расставить скобки.

При перемене мест множителей можно производить наиболее удобные комбинирования для вычисления. Рассмотрим задание, где решение приводит к умножению нескольких чисел.

Каждая коробка имеет по 3 предмета. В ящики положили 2 коробки. Какое количество предметов будет в 4 ящиках?

Решение

Нам дано, что в одном ящике 2 коробки, а в них соответственно по 3 предмета.

Тогда в одном ящике 3 · 2 = 6 предметов. Отсюда получим, что в 4 ящиках 6 · 4 = 24 предмета. Можно рассуждать иным образом. Один ящик вмещает в себя 2 коробки, отсюда в 4 ящиках 2 · 4 = 8 коробок. Каждая из коробок имеет 3 предмета, тогда имеем, что 8 коробок содержат 3 · 8 = 24 предмета.

При умножении трех и более чисел действия производятся последовательно. Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, разрешается менять местами множителями и заменять их двумя другими умножаемыми числами.

Умножение суммы на натуральное число и наоборот

Благодаря распределительному свойству умножения сложение и умножение связаны. Это помогает в изучении сложения и умножения. Свойство способствует углубиться в изучение всех действий.

Отсюда следует, что произведение суммы нескольких чисел и данного числа равна сумме произведений каждого из слагаемых с данным числом. Это правило применимо при умножении на заданное число.

Можно было сделать вычисления иначе, тогда следовало посчитать сумму, после чего умножение. Этот случай менее удобен, так как умножение двухзначного числа 7 + 2 + 3 + 8 + 8 = 28 на 3 мы пока не выполняли. Умножение двухзначных чисел – это тема, показанная в разделе умножения многозначного и однозначного натуральных чисел.

Используя переместительное свойство, мы можем переформулировать правило умножения суммы чисел на заданное число таким образом: произведение данного числа и суммы нескольких чисел равняется сумме произведений данного числа и каждого из слагаемых. Это правило умножения данного числа на заданную сумму.

Рассмотрим конкретный пример, где умножение решение сводится к умножению суммы чисел на данное число.

В коробке находятся по 3 красных, 7 зеленых и 2 синих предмета. Какой количество предметов имеется во всех четырех коробках?

Ответ: 48 предметов.

Умножение натурального числа на 10, 100, 1000 и так далее

Таким же образом можно прийти к следующим неравенствам:

Выходит, что десяток десятков – это сотня, то 10 · 10 = 100 ;

рассмотрим пример для формулировки правила умножения произвольного натурального числа на 10.

Чтобы быстрее подсчитать, необходимо представить число 7032 в виде суммы разрядных слагаемых.

В качестве примера запишем:

Умножение многозначного и однозначного натуральных чисел

Имея навыки для выполнения умножения, разберем все правила на примере.

Используя правило умножения суммы на число, получим, что:

Чтобы закрепить материал, необходимо рассмотреть пример умножения.

Умножение двух многозначных натуральных чисел

Умножение двух многозначных натуральных чисел производится таким образом, что один из множителей раскладывается по разрядам, после этого применяют правило умножения на сумму. Изучение предыдущих статей позволит быстрее разобраться с имеющимся разделом.

Решение

41 · 3 = ( 40 + 1 ) · 3 = 40 · 3 + 1 · 3 = ( 4 · 10 ) · 3 + 1 · 3 = ( 3 · 4 ) · 10 + 1 · 3 = 12 · 10 + 3 = 120 + 3 = 123 ; 41 · 8 = ( 40 + 1 ) · 8 = 40 · 8 + 1 · 8 = ( 4 · 10 ) · 8 + 1 · 8 = ( 8 · 4 ) · 10 + 1 · 8 = 32 · 10 + 8 = 320 + 8 = 328 ; 41 · 6 = ( 40 + 1 ) · 6 = 40 · 6 + 1 · 6 = ( 4 · 10 ) · 6 + 1 · 6 = ( 6 · 4 ) · 10 + 1 · 6 = 24 · 10 + 6 = 240 + 6 = 246

( 41 · 3 ) · 1 000 + ( 41 · 8 ) · 100 + 41 · 6 = 123 · 1 000 + 328 · 100 + 246 = 123 000 + 32 800 + 246

Вычислим сумму натуральных чисел:

123 000 + 32 800 + 246 = 156 046

Теперь умеем умножать два любых натуральных числа.

Проверка результата умножения натуральных чисел

Умножение всегда требует проверки. Она производится при помощи деления по правилу: полученное произведение делят на один из множителей. Если полученное число равно одному из множителей, тогда вычисление произведено правильно. Если нет, то допущена ошибка.

Если получим число, равное одному из множителей, тогда задание решено верно.

Ответ: проверка показала, что умножение было выполнено неверно.

Источник