что значит за точку взята точка

Применение теорем Чевы и Менелая

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой. Таким образом, если в треугольнике АВС X, Y и Z- точки, лежащие на сторонах ВС, СА, АВ соответственно, то отрезки АX, ВY, СZ являются чевианами. Этот термин происходит от имени итальянского математика Джованни Чевы, который в 1687 году опубликовал следующую очень полезную теорему:

Если три чевианы АX, ВY, СZ ( по одной из каждой вершины ) треугольнка АВС конкурентны, то

Когда мы говорим, что три прямые ( или отрезка ) конкурентны, то мы имеем в виду, что все они проходят через одну точку, которую обозначим через Р.

Для доказательства теоремы Чевы вспомним, что площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников.

( Ссылаясь на рисунок, мы имеем

Теперь, если мы перемножим их, то получим

Пусть точка А1 лежит на стороне ВС треугольника АВС, точка С1 – на стороне АВ, точка В1 – на продолжении стороны АС за точку С. Точки А1,В1 иС1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Эта теорема Входит в золотой фонд древнегреческой математики. Она дошла до нас в арабском переводе книги «Сферика» Менелая Александрийского. Равенство Менелая можно записывать, начиная с любой вершины треугольника, в любом направлении ( по часовой стрелке, против часовой стрелки ).

В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА=АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите: отношение

Решение. По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. Пусть МА = АС = b,

BN = k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая

Пусть AD – медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка K так, что AK:KD=3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Решение. Пусть BD = DC = a, KD = m; тогда AK = 3m. Пусть Р – точка пересечения прямой ВК со стороной АС.

Необходимо найти отношение

Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то

По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей PB имеем:

В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4.

Решение. Пусть С1В = x, тогда, используя свойство касательных, проведённых к окружности из одной точки, введем обозначения : ВА1=ВС1=х, А1С = СВ1= 5-х, АВ1= АС1= 8-х.

В треугольнике АВА1 прямая С1С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая

В треугольник АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 12, АС = 9, А1 и С1 – точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ. Q – точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1. Q лежит на высоте ВВ1. Найдите отношение ВQ:QB1.

Решение. Треугольник АВС – разносторонний, значит, точка В1 не совпадает с точкой касания.

1. Пусть С1В = x,тогда, используя свойство касательных, проведённых к окружности из одной точки, введём обозначения:

( 13-x ) + ( 12-x ) = 9, x = 8.

Значит, С1В = 8, АС1 = 5.

2. По формуле Герона

3. Из треугольника АВВ1( прямоугольного ) по теореме Пифагора АВ1 =

4. В треугольнике АВВ1 прямая СС1 пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая

Стороны треугольника 5,6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

Решение. Пусть в треугольнике АВС, АВ = 5, ВС = 7, АС = 6. Угол ВАС лежит против большей стороны в треугольнике АВС, значит, угол ВАС – больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Необходимо найти АО:ОD. Так как AD – биссектриса треугольника АВС, то то есть BD = 5k, DC = 6k.

Так как BF – биссектриса треугольника АВС, то то есть AF = 5m, FC = 7m.

Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ADC. По теореме Менелая

Биссектрисы BF и AD треугольника АВС пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника АВС, если

Решение. Пусть АВ = a, тогда АС =

АD- биссектриса треугольника АВС, тогда то есть BD = 2p,DC = 3p.

ВЕ – биссектриса треугольника АВС, тогда

В треугольнике ВЕС прямая АD пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая то есть EQ = 9m,QB = 14m.

Треугольники QBD и EBC имеют общий угол, значит,

Треугольники АВС и ВЕС имеют равные высоты, проведённые из вершины В, значит, тогда

В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне АВ взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:ВК = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Q пересечения прямых CK и BL удалена от прямой АВ на расстояние. Найдите длину стороны АВ.

Решение. 1. Треугольники ABL и ABC имеют одинаковую высоту, проведённую из вершины В. тогда

2. Прямая КС пересекает в треугольнике ABL две стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая то есть BQ = 4p, QL = p.

3. Треугольники KBQ и ABL имеют общий угол, значит, тогда

В треугольнике АВС точки К и L принадлежат соответственно сторонам АВ и ВС. АК:ВК = 1:2, CL:BL = 2:1. Q – точка пересечения отрезков AL и CK. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение. В треугольнике МВС прямая AL пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая 1)

В треугольнике АВМ прямая КС пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая 2) то есть МС = 4p, AM =p.

2. Ещё раз перепишем равенство (1):

то есть MQ = 2l, QB = 5l.

3. Треугольники BQC и MBC имею общий угол, значит, тогда

4. Треугольники АВС и МВС имеют равные высоты, проведённые из вершины В, значит,

На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К, АК = 1, КС = 3.

На стороне АВ взята точка L. AL:LB = 2:3. Q – точка пересечения прямых ВК и CL. Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В.

Решение. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ALC. По теореме Менелая то есть LQ = 1p, QC = 5p.

1) Треугольники ALC и AQC имеют общий угол, значит,

2) Треугольники АВС и ALC имеют общую высоту, проведённую из вершины С, значит,

Через середину М стороны ВС параллелограмма АВСD, площадь которого 1, и вершину А проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника QMCD.

Решение. так как СО – медиана треугольника BCD, значит, делит треугольник BCD на два равновеликих треугольника.

1) МА пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ВОС, значит, по теореме Менелая откуда

2) Треугольники BQM и BOC имеют общий угол, значит

В трапеции ABCD с основанием AD и ВС через середину А проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точке Е и боковую сторону CD в точке К, причем BE:ED = 1:2 и CK:KD = 1:4. Найдите отношение длин оснований трапеции.

Решение. Пусть ВC = a, AD = b. Необходимо найти

Пусть Q – точка пересечения прямых ВС и АК.

1) По теореме Менелая для треугольника BCD и секущей AQ имеем

2) ( по двум углам ), тогда

Так как a =BC, b = AD,то

На стороне NP квадрата MNPQ взята точка А, а на стороне PQ – точка В так, что NA:AP=PB:BQ=2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков МА и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA?

Решение. Проведём прямую Ав. Пусть она пересекает MQ в точке F. Пусть прямая NB пересекает прямую MQ в точке D.

тогда откуда тогда откуда

Из треугольника APB ( прямоугольного ) по теореме Пифагора АВ =

Из треугольника QBF (прямоугольного ) по теореме Пифагора BF =

Из треугольника AFM по теореме Менелая

1. Для решения задач необходимо научиться находить на рисунке треугольник, удовлетворяющий теореме Менелая.

2. При составлении равенства надо переходить от вершины к вершине через точку пересечения секущей линии с этой стороной или ее продолжением; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали.

Значимость данной работы:

При решении задач ( в работе их представлено 12 ) мы пришли вывод, что:

А) теоремы Чевы и Менелая позволяют легко и изящно решать целый класс задач;

Б) наша работа может быть использована для проведение практических занятий на элективных курсах с учащимися выпускных классов и при подготовке к Единому Государственному Экзамену.

Источник

Что значит за точку взята точка

В треугольнике ABC на продолжении стороны AC за вершину A отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M.

а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAC.

б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника ABC равна 216 и известно отношение AC : AB = 5 : 4.

а) Обозначим По теореме о внешнем угле треугольника Треугольник ABD равнобедренный, поэтому а так как AM параллельна BD,

Следовательно, AM — биссектриса угла BAC.

б) По свойству биссектрисы треугольника значит,

Tреугольник DCB подобен треугольнику ACM с коэффициентом поэтому

В треугольнике ABC на продолжении стороны AC за вершину A отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M.

а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAC.

б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника ABC равна 54 и известно отношение AC : AB = 5 : 4.

а) Обозначим По теореме о внешнем угле треугольника Треугольник ABD равнобедренный, поэтому а так как AM параллельна BD,

Следовательно, AM — биссектриса угла BAC.

б) По свойству биссектрисы треугольника значит,

Tреугольник DCB подобен треугольнику ACM с коэффициентом поэтому

Аналоги к заданию № 556588: 556596 Все

В прямоугольном треугольнике АВС точка M лежит на катете АС, а точка N лежит на продолжении катета ВС за точку С причем СМ = ВС и CN =&nbspAC.

а) Отрезки СH и CF — высоты треугольников АСВ и NCM соответственно. Докажите, что прямые СН и CF перпендикулярны.

б) Прямые ВМ и AN пересекаются в точке L. Найдите LM если ВС = 4, а АС = 8.

а) Прямоугольные треугольники ABC и NMC равны по двум катетам. Пусть угол BAC равен α, тогда по свойству высоты в прямоугольном треугольнике:

б) По условию CN = AC и CM = BC, поэтому

откуда то есть ALM — равнобедренный прямоугольный треугольник. Значит,

Ответ: б)

Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (∠A = 90°) и AK = 2AN. Точка B — середина стороны KN.

а) Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN.

б) Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P. Найдите отношение LP : PM.

а) Заметим, что следовательно, треугольники BMN и NKA подобны по соотношению двух сторон и равенству углов, заключенных между этими сторонами. Тогда следовательно, прямая BM параллельна прямой AN.

б) Диагонали квадрата перпендикулярны, равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому и Из точек A и O отрезок KN виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром KN. Вписанные в эту окружность углы KAO и NAO опираются на равные хорды, поэтому AO — биссектриса угла KAN.

Пусть отрезок AP пересекает сторону KN в точке Q. Тогда AQ — биссектриса треугольника KAN. По свойству биссектрисы

Треугольник LOP равен треугольнику NOQ по стороне и двум прилежащим к ней углам, значит, Тогда Следовательно,

Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (∠A = 90°) и AK = 3AN. Точка B лежит на стороне KN и KB : BN = 2 : 1.

а) Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN.

б) Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P. Найдите отношение LP : PM.

а) Поскольку то и прямоугольные треугольники BMN и NKA подобны по двум пропорциональным катетам. Значит, Следовательно, прямая BM параллельна прямой AN.

б) Диагонали квадрата перпендикулярны, равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому и Из точек A и O отрезок KN виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром KN. Вписанные в эту окружность углы KAO и NAO опираются на равные хорды, поэтому AO — биссектриса угла KAN.

Пусть отрезок AP пересекает сторону KN в точке Q. Тогда AQ — биссектриса треугольника KAN. По свойству биссектрисы

Треугольник LOP равен треугольнику NOQ по стороне и двум прилежащим к ней углам, значит, Тогда Следовательно,

Аналоги к заданию № 556617: 556624 Все

На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно.

а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.

б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 4.

значит, четырёхугольник LACB вписанный. Хорды AL и LB описанной около четырёхугольника LACB окружности равны. Значит, равны между собой стягиваемые этими хордами дуги, а также опирающиеся на эти дуги вписанные углы ACL и LCB. Тогда углы ACL и LBC равны 45°.

По условию углы KCA и MCB равны 45°. Следовательно,

а значит, LC — высота треугольника KLM.

б) Обозначим отрезки буквами для удобства: BC — a, AC — b, AB — c и CL — d. P — точка пересечения CL и AB. Тогда по доказанному в пункте а) отрезок CP — биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрисы AP : PB = AC : CB = b : a, AP + PB = AB = c. Отсюда

и

Поскольку углы ACL и LBC равны 45°, получаем, что треугольники ACL и PAL подобны по двум углам, тогда

и

Площадь треугольника KLM равна половине произведения его высоты LC, обозначенной буквой d, на сторону, являющейся основанием треугольника и равным

Следовательно, искомая площадь равна

На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно.

а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.

б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 6.

значит, четырёхугольник LACB вписанный. Хорды AL и LB описанной около четырёхугольника LACB окружности равны. Значит, равны между собой стягиваемые этими хордами дуги, а также опирающиеся на эти дуги вписанные углы ACL и LCB. Тогда углы ACL и LBC равны 45°.

По условию углы KCA и MCB равны 45°. Следовательно,

а значит, LC — высота треугольника KLM.

б) Для удобства обозначим отрезки буквами: BC — a, AC — b, AB — c и CL — d. Пусть P — точка пересечения CL и AB. Тогда по доказанному в пункте а) отрезок CP — биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрисы AP : PB = AC : CB = b : a, AP + PB = AB = c. Отсюда

и

Поскольку углы ACL и LBC равны 45°, получаем, что треугольники ACL и PAL подобны по двум углам, тогда

и

Площадь треугольника KLM равна половине произведения его высоты LC, обозначенной буквой d, на сторону, являющуюся основанием треугольника и равную

Следовательно, искомая площадь равна

Аналоги к заданию № 562144: 562151 Все

Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N, такая, что CN = СD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.

а) Докажите, что BM = BN.

б) Найдите MN, если AC = 7,

а) Рассмотрим треугольники BCN и BAM. По условию AM = AD = BC, AB = CD = CN. В равнобоких трапециях NABC и ABCM равны углы A и C, а значит, равны и углы MAB и BCN. Таким образом, треугольники BNC и BAM равны по двум сторонам и углу между ними, значит, равны и их соответственные стороны BN и BM. Что и требовалось доказать.

б) Заметим, что ABCM и NABC — равнобокие трапеции, тогда равны их диагонали, поэтому AC = BM = BN = 7. Имеем:

Теперь применим теорему косинусов для треугольника MBN:

откуда

Ответ:

Аналоги к заданию № 563666: 563667 Все

В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.

а) Докажите, что угол ABC равен 120°.

б) Найдите BH, если

а) Рассмотрим треугольник AHC. В нем AA₁ и CC₁ — высоты. Тупой угол между высотами дополняет угол между сторонами, к которым они проведены, до 180°. Поэтому

б) Рассмотрим треугольник AHC, в нем Сторону AC найдём по теореме косинусов:

Тем самым,

Ответ: б)

Докажем утверждение, использованное при решении пункта а).

В четырехугольнике сумма прямых углов и равна 180°, поэтому сумма двух других углов и также равна 180°. Тогда Углы и ABC равны как вертикальные, поэтому Таким образом, тупой угол между высотами дополняет угол между сторонами, к которым они проведены, до 180°.

Сформулируем теорему, которую мы применили для решения пункта б).

Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения его высот равно произведению стороны, противолежащей этой вершине, на котангенс угла при этой вершине. Действительно, пусть высоты AA₁, BB₁, CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке H. Стороны прямоугольных треугольников АСС₁ и ВНС₁ взаимно перпендикулярны, а потому их острые углы АСС₁ и ВНС₁ равны. Следовательно, эти треугольники подобны. Тогда откуда Для остроугольного треугольника доказательство аналогично. Для прямоугольного треугольника доказательство напрямую следует из определения котангенса.

Рекомендуем сравнить эту задачу с заданием 505425 из экзаменационного варианта ЕГЭ 2014 года.

Приведем другое решение пункта б):

Рассмотрим треугольник C₁CH, заметим, что угол C₁CH равен 30°. Поэтому в прямоугольном треугольнике CBA₁ катет BA₁ вдвое меньше гипотенузы: BA₁ = 4. Значит, АA₁ = 11. Из треугольника AA₁H находим Теперь по теореме Пифагора вычисляем:

Приведем ещё одно решение пункта б):

Заметим, что в треугольнике АНС точка В — ортоцентр. В силу свойства ортоцентра откуда получаем: (это же следует из подобия треугольников и ).

Из прямоугольного треугольника CBA₁ находим катет BA₁, противолежащий углу в 30°: BA₁ = 4. Из треугольника АВС находим высоту:

Тогда

Источник