Для чего используются матрицы в программировании

Матрицы в программировании

Дата добавления: 2015-08-14 ; просмотров: 14958 ; Нарушение авторских прав

Тема 9. МАТРИЦЫ

Понятие матрицы

Матрицы активно используются в математике, программировании, экономике и многих других науках и сферах человеческой деятельности. Работа с матрицами обычно реализуется при помощи вложенных циклов в явном виде: внутренний цикл не выносится в отдельную функцию, поскольку сама структура матрицы, можно сказать, требует использования вложенных циклов.

Понятие матрицы можно давать по-разному в зависимости от того, где эта матрица используется. Наиболее просто матрицу M на N можно определить как таблицу, состоящую из M строк и N столбцов, причём все элементы матрицы имеют один и тот же тип. Для обращения к определённому элементу матрицы указывается название матрицы, а также номера строки и столбца. Например, запись A_ij означает элемент матрицы A, расположенный в i-ой строке и j-ом столбце.

Матрицы в программировании

С точки зрения программирования матрица представляет собой двумерный массив M на N. Для объявления матрицы используется следующая запись:

Числа указывают на то, сколько строки и столбцов будет содержать матрица. В качестве размера матрицы, как и в случае с одномерным массивом, следует указывать константы, а не переменные, поэтому следующий фрагмент код является ошибочным:

//Ошибка!

int matrix[m][n];

В то же время следующий фрагмент верен:

Теперь рассмотрим, как работать с матрицами: заполнять матрицу, выводить её на экран, обращаться к её элементам.

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

Источник

Матрица (программирование)

Массив (в некоторых языках программирования также таблица, ряд, матрица, вектор) — структура данных, хранящая набор значений (элементов массива), идентифицируемых по индексу или набору индексов, принимающих целые (или приводимые к целым) значения из некоторого заданного непрерывного диапазона. Одномерный массив можно рассматривать как реализацию абстрактного типа данных — вектор.

В простейшем случае массив имеет константную длину по всем размерностям и может хранить данные только одного, заданного при описании, типа. Ряд языков поддерживает также динамические массивы, длина которых может изменяться по ходу работы программы, и гетерогенные массивы, которые могут в разных элементах хранить данные различных типов.

Содержание

Общее описание

Массив — упорядоченный набор элементов, каждый из которых хранит одно значение, идентифицируемое с помощью одного или нескольких индексов. В простейшем случае массив имеет постоянную длину и хранит единицы данных одного и того же типа, а в качестве индексов выступают целые числа.

Количество используемых индексов массива может быть различным: массивы с одним индексом называют одномерными, с двумя — двумерными, и т. д. Одномерный массив — нестрого соответствует вектору в математике; двумерный («строка», «столбец»)— матрице. Чаще всего применяются массивы с одним или двумя индексами; реже — с тремя; ещё большее количество индексов — встречается крайне редко.

Пример фиксированного массива на языке Паскаль

Пример двумерного массива на JavaScript

Поддержка индексных массивов (свой синтаксис объявления, функции для работы с элементами и т. д.) есть в большинстве высокоуровневых языков программирования. Максимально допустимая размерность массива, типы и диапазоны значений индексов, ограничения на типы элементов определяются языком программирования и (или) конкретным транслятором.

В языках программирования, допускающих объявления программистом собственных типов, как правило, существует возможность создания типа «массив». В определении такого типа задаются типы и/или диапазоны значений каждого из индексов и тип элементов массива. Объявленный тип в дальнейшем может использоваться для определения переменных, формальных параметров и возвращаемых значений функций. Некоторые языки поддерживают для переменных-массивов операции присваивания (когда одной операцией всем элементам массива присваиваются значения соответствующих элементов другого массива).

Объявление типа «массив» в языке Паскаль

Специфические типы массивов

Динамические массивы

Динамическими называются массивы, размер которых может изменяться во время выполнения программы. Обычные (не динамические) массивы называют ещё фиксированными или статическими.

Динамические массивы могут реализовываться как на уровне языка программирования, так и на уровне системных библиотек. Во втором случае динамический массив представляет собой объект стандартной библиотеки, и все операции с ним реализуются в рамках той же библиотеки. Так или иначе, поддержка динамических массивов предполагает наличие следующих возможностей:

Ниже приведён пример конструкций для работы с динамическими массивами на Delphi.

Гетерогенные массивы

Гетерогенным называется массив, в разные элементы которого могут быть непосредственно записаны значения, относящиеся к различным типам данных. Массив, хранящий указатели на значения различных типов, не является гетерогенным, так как собственно хранящиеся в массиве данные относятся к единственному типу — типу «указатель». Гетерогенные массивы удобны как универсальная структура для хранения наборов данных произвольных типов. Реализация гетерогенности требует усложнения механизма поддержки массивов в трансляторе языка.

Реализация

Типовым способом реализации статического гомогенного (хранящего данные одного типа) массива является следующий:

Таким образом, адрес элемента с заданным набором индексов вычисляется так, что время доступа ко всем элементам массива одинаково. (Здесь одинаковость времени доступа следует понимать как отсутствие теоретической зависимости времени доступа от положения элемента и размера массива. В действительности особенности конкретной вычислительной платформы могут дать определённый разброс времени доступа. Например, CAS-латентность ОЗУ приводит к увеличению времени доступа к данным, расположенным в другой колонке (странице) ОЗУ, по отношению к предыдущим считанным данным. В практике высокоуровневого программирования такими тонкостями, за редчайшими исключениями, пренебрегают.)

Первый элемент массива, в зависимости от языка программирования, может иметь различный индекс. Различают три основных разновидности массивов: с отсчетом от нуля (zero-based), с отсчетом от единицы (one-based) и с отсчетом от специфического значения заданного программистом (n-based). Отсчет индекса элемента массивов с нуля более характерен для низкоуровневых языков программирования, хотя встречается и в языках высокого уровня, например, в том же Си. В ряде языков (Паскаль, Ада, Модула-2) диапазон индексов может определяться как произвольный диапазон значений любого типа данных, приводимого к целому, то есть целых чисел, символов, перечислений, даже логического типа (в последнем случае массив имеет два элемента, индексируемых значениями «Истина» и «Ложь»).

Обычным способом реализации гетерогенных массивов является отдельное хранение самих значений элементов и размещение в блоке памяти массива (организованного как обычный гомогенный массив, описанный выше) указателей на эти элементы. Поскольку указатели на значения любых типов, как правило, имеют один и тот же размер, удаётся сохранить простоту вычисления адреса, хотя возникают дополнительные накладные расходы на размещение значений элементов и обращение к ним.

Для динамических массивов может использоваться тот же механизм размещения, что и для статических, но с выделением некоторого объёма дополнительной памяти для расширения и добавлении механизмов изменения размера и перемещения содержимого массива в памяти.

Также динамические и гетерогенные массивы могут реализовываться путём использования принципиально иных методов хранения значений в памяти, например, одно- или двухсвязных списков. Такие реализации могут быть более гибкими, но требуют, как правило, дополнительных накладных расходов. Кроме того, в них обычно не удаётся выдержать требование константного времени доступа к элементу.

Источник

ЧАВО по матрицам и кватернионам

Часто задаваемые вопросы по матрицам и кватернионам.

Введение

Замечание по поводу OpenGL и этого документа

В этом документе, как в большинстве книг по математике, все матрицы представлены в стандартном математическом виде. К сожалению, в уроках и документах по использованию графических библиотек типа IrisGL, OpenGL используют представление, в котором изменены местами столбцы и строки.

В этом документе, к примеру, матрица переноса 4×4 записывается в таком виде:

\(M = \begin 1 & 0 & 0 & X\cr 0 & 1 & 0 & Y\cr 0 & 0 & 1 & Z\cr 0 & 0 & 0 & 1\cr \end\)

В коде это можно записать вот так:

OpenGL использует одномерный массив для хранения матриц, но, к счастью, они находятся в памяти в таком виде, что получив адрес pfMatrix и скастовав его к float* можно увидеть матрицу в том виде, в каком ее передают в glLoadMatrixf.

Во фрагментах кода в этом документе используются одномерные массивы для хранения матриц. Порядок элементов в них транспонирован как в OpenGL.

Что такое матрица?

Матрица это двумерный массив чисел, где каждый ряд или колонка состоит из одного и более чисел.

Матрицы можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Размер матрицы определяется количеством рядов и колонок.

Матрица с M рядов и N колонок описывается как матрица MxN.

Описать отдельный элемент матрицы можно в виде двух индексов.

Используя математическую нотацию индексы обозначают переменными i и j. Сначала пишут строку, затем колонку.

К примеру, если есть матрица M с порядком 4×4, то элементы этой матрицы описываются парами индексов строк и колонок:

\(M = \begin 00 & 10 & 20 & 30\cr 01 & 11 & 21 & 31\cr 02 & 12 & 22 & 32\cr 03 & 13 & 23 & 33\cr \end\)

У верхнего правого элемента матрицы i=0 и j=3, что можно описать так:
\(M_=M_<03>\)

В компьютерной анимации обычно используют матрицы 2×2, 3×3 и 4×4.

Матрицы 2×2 используются для двумерного пространства, например, для поворотов, сдвигов и других типов обработки изображений.

Матрицы 3×3 достаточны для хранения информации о повороте (вращении) и масшатбировании. Такие матрицы могут быть использованы для скелетной анимации.

Матрицы 4×3 достаточно, чтобы хранить поворот, масштабирование и перемещение.

Матрицы 4×4 используются для всего набора трансформаций в трёхмерном пространстве, включая перспективное проецирование.

Что такое порядок матрицы?

Порядок матрицы — это её размерность. Матрица из M строк и N столбцов имеет порядок MxN.

Как я могу сделать матрицу в C/C++?

Проще всего использовать ключевое слово typedef.

Матрицы 3×3 и 4×4 могут быть описаны так:

Так как матрицы имеют размерность 3×3 и 4×4, им необходимо 9 и 16 элементов соответственно.

На первый взгляд, использование одного линейного массива чисел может показаться не интуитивным. Использование двумерного массива кажется логичнее:

Однако, использование двух систем отсчета для каждого элемента матрицы часто ведет к путанице. В математике, сначала записывают строку(i), а затем колонку(j): \(M_\)

В C/C++, это будет так:

Использование двумерных массивов также подействует на производительность процессора, так как компилятор C всегда использует операцию умножения для определения индекса элемента.

Так что, эффективнее использовать одномерные массивы. Однако останется решить ещё один вопрос. Как двумерный массив проецируется в линейный?

Есть только два решения: строка сначала, колонка потом, либо колонка сначала, а строка потом.

Разница в производительности минимальна. Если все циклы раскрыты, то нет практически отличий в производительности для таких операций как умножение матрицы на матрицу.

При использовании C/C++ порядок элементов в матрице следующий:

В чем плюсы от использования матриц?

Один из первых вопросов, задаваемых по использованию матриц в компьютерной анимации: «Зачем вообще они нужны?». Интуиция подсказывает, что придется хорошо потратиться на циклы, и тем самым матричные перемножения замедлят программу.

Решением этой проблемы, являются регистры процессора и процессорный кэш. Первый может быть счетчиком в цикле, а алгоритм предсказания с заполнением кэша позволит оптимизировать доступ к памяти.

Также можно указать и на плюсы. Используя этот математический подход в описании 3D алгоритмов, можно предсказать и спланировать систему 3D анимации. Этот подход позволяет реализовать анимацию персонажа, сплайны и инверсную кинематику.

Но чаще всего звучит такой вопрос: «А не будет ли быстрее, просто умножить каждую пару координат на коэффициенты поворота для оси, вместо того чтобы производить полное векторно-матричное умножение?»

иначе говоря:
Вращение в X преобразует Y и Z
Вращение в Y преобразует X и Z
Вращение в Z преобразует X и Y

За это приводятся следующие аргументы:

Дана вершина V = (x, y, z), углы поворота (A,B и C) и перенос (D,E,F).

И следующий алгоритм:

Вместе они займут следующее количество процессорного времени:

Те же самые операции, но при использовании матричного умножения.

С матрицей 4х4 они займут:

Сравнивая две таблицы, видно, что матрица поворота стоит как минимум 12 умножений и дополнительно 18 присваиваний.

Однако мы экономим на обработке вершин. Использование матричного умножения, от настройки всего 4 вершин, перевесит дополнительные затраты на настройке.

Как матрицы влияют на систему координат?

Матрицы поворота, переноса, сдвига очень просто действуют на систему координат.

Первые три колонки матрицы описывают направление осей X,Y,Z соответственно.

Если описана матрица 4х4 как:
\(M = \begin A & B & C & D\cr E & F & G & H\cr I & J & K & L\cr M & N & O & P\cr \end\)

Вектор направления для каждой оси будет следующий:

ось \(X = [ A E I]\)
ось \(Y = [ B F J ]\)
ось \(Z = [ C G K]\)

Источник

Введение в матрицы для начинающих

Дата публикации Sep 19, 2019

Матрицы являются строительными блоками науки о данных. Они появляются в различных аватарах на разных языках. От массива в Python до массивов данных в R и матриц в MATLAB.

Матрица в своей основной форме представляет собой набор чисел, расположенных в прямоугольной или массивной форме. Это может представлять изображение, или сеть, или даже абстрактную структуру.

Матрицы, множественное число для матрицы, на удивление встречаются чаще, чем вы думаете.

Все наши мемы, созданные с помощью Adobe Photoshop, используют матрицы для обработки линейных преобразований для визуализации изображений.квадратная матрицаможет представлять линейное преобразование геометрического объекта.

Например, в декартовой плоскости X-Y матрица

используется для создания отражения объекта по вертикальной оси Y. В видеоигре это отразит перевернутое изображение убийцы в кровавом пруду. Если бы в видеоигре были изогнутые отражающие поверхности, такие как комната зеркал, матрица была бы более сложной, чтобы растянуть или уменьшить отражение.

В прикладной физике матрицы используются для изучения электрических цепей, квантовой механики и оптики. Аэрокосмическая инженерия, химическая инженерия и т. Д. Требуют идеально откалиброванных вычислений, полученных в результате матричных преобразований. В больницах, медицинских изображениях, компьютерной томографии и МРТ для получения результатов используются матрицы.

В программировании матрицы и обратные матрицы используются для кодирования и шифрования сообщений. В робототехнике и автоматизации матрицы являются основными компонентами движений робота. Входные данные для управления роботами получены на основе расчетов с использованием матриц.

На что они похожи?

Условно число строк в матрице обозначаетсями количество столбцов поN, Так как площадь прямоугольникаростИксширина,мы обозначаем размер матрицымИксп.Таким образом, матрица должна была быть названаA,это будет записано в нотации как

Здесь m = 3 и n = 4. Таким образом, в матрице А 12 элементов. Квадратная матрица имеетт = п,

Матрица с одной строкой называетсяматрица строки матрица с одним столбцом называетсяматрица столбцов.

Что мы можем с ними сделать?

Матрицы так же, как числа могут быть добавлены, вычтены и умножены. Разделение немного нюанс. Не все матрицы могут быть разделены.

Существуют определенные правила даже для сложения, вычитания и умножения.

Дополнение матриц

Сложение двух матриц А (м * п) а также B (м * п) дает матрицу С (м * п). Элементы C являются суммой соответствующих элементов в A и B

Вычитание работает аналогично.

Здесь следует отметить, что вы можете только добавлять / вычитать матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов, т.е.тот же порядок (порядок = строки х столбцы)

Указывает на заметку

Умножение хоть немного сложнее

Умножение матриц

Умножение двух матриц A (м * п) а также В (п*п) дает матрицу С (м * р). Обратите внимание, что для умножения вам не нужно, чтобы строки / столбцы A и B были одинаковыми. Вам нужно только

Чтобы вычислить верхний левый элемент полученной матрицы C, умножьте элементы 1-й строки A на 1-й столбец B и сложите их

Указывает на заметку

В следующем издании этой статьи мы увидим больше операций, которые могут быть выполнены над матрицами, например, Инверсия матрицы, определитель матрицы, сопряжение матрицы и т. Д.

Мы также увидим, как эти матрицы действительно помогают в областинейронные сетии обработка изображений.

Матрицы имеют огромное значение почти во всех алгоритмах машинного обучения изКНН(Алгоритм ближайшего соседа) вплоть доСлучайные Леса,

Источник

Матрицы. Понятие. Применение

Матрица — это набор чисел, записываемый в виде прямоугольной таблицы. Строки и столбцы матрицы можно считать векторами. Матрицы, у которых число строк равно числу столбцов, называют квадратными. Существует особая квадратная матрица I (Identity) — единичная. Она характеризуется тем, что ее диагональные элементы равны единице, а остальные — нулю:

В 3D-графике, матрицы используются для преобразования координат из одной системы координат в другую. Вообще, для преобразования базиса (базис — набор векторов, задающих координатные оси) в трехмерном пространстве вполне хватает матрицы 3х3, однако, для целей 3D-графики этого не всегда достаточно. В частности, перспективное проецирование удобно представить матрицей, но для этого необходима матрица 4х4. Также с этой целью вводятся т.н. однородные координаты, где трехмерной точке (x, y, z) соответствует набор четырех координат (xw, yw, zw, w).

Основные операции

Из операций, определенных над матрицами, мы рассмотрим умножение, транспонирование и, частично, обращение.

Умножение матриц

Определяется произведение матриц так:
Если Aij — элемент матрицы A, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, и C = AB, то

т.е. элементы матрицы C получаются как скалярные произведения строк A на столбцы B.

Зато оно ассоциативно. Проще говоря:
$$(AB)С = A(BC)$$

Умножение любой матрицы на единичную, дает исходную:
$$AI = A$$

Транспонирование матриц

Обращение

Существует обратная к данной матрица далеко не всегда и процесс её нахождения далеко не тривиален. Однако, в 3D графике, напомню, матрицы используются для задания преобразований системы координат (базиса). Базис, заданный тремя взаимно перпендикулярными векторами единичной длины, называется ортонормированным. А у матрицы, задающей преобразование из одного ортонормированного базиса в другой, обратная матрица совпадает с транспонированной:
$$A^ <-1>= A^T$$

Матрицы, обладающие этим свойством, называются ортогональными.
В 3D-графике матрицы поворота ортогональны и их произведение тоже.

Применение матриц

Выше уже было сказано, что в 3D-графике матрицы используются для преобразования координат. С этой целью точка умножается (как однострочная матрица) на соответствующую матрицу преобразования.

Например, для поворота точки относительно оси X и параллельного переноса, ее надо последовательно умножить на матрицу поворота и параллельного переноса (см. следующий раздел). Причем, т.к. произведение матриц не коммутативно, результат зависит от последовательности умножения:
$$PRT \neq PTR$$, т.к.
$$RT \neq TR,$$
где P — точка, R — матрица поворота, T — матрица переноса.

Ассоциативность произведения матриц позволяет не умножать каждую точку на несколько матриц, а сперва перемножить матрицы преобразования и умножать точки уже на результирующую матрицу:
$$PRT = P(RT)$$

Основные матрицы

Здесь приведены наиболее часто используемые в 3D-графике матрицы.

Параллельный перенос точки на вектор (x, y, z):

Вращение относительно оси X на угол a:

Вращение относительно оси Y на угол a:

Вращение относительно оси Z на угол a:

Масштабирование по осям X, Y и Z на x, y и z соответственно:

Проективная матрица с вертикальным и горизонтальным углами обзора fovx и fovy соответственно:

где Zn — ближняя z-плоскость. Zf — дальняя z-плоскость.

Полезно знать

В 3D-графике матрицы преобразования координат, в большинстве случаев,
являются композицией (произведением) матриц вращения, масштабирования и
переноса, и имеют следующую структуру:

где R — вектор, показывающий направление оси X новой (т.е. задаваемой данной матрицей) системы координат, в координатах исходной. U и F, соответственно, направления осей Y и Z. Модули этих векторов совпадают с масштабированием по соответствующим осям в новой системе. T — вектор переноса, совмещающего начала координат исходной и новой системы. Получается, что подматрица 3х3, состоящая из векторов R, U и F, задает вращение и масштабирование, а четвертая строка отвечает за перенос.

Источник