движение в поле потенциальных сил

Движение частицы в потенциальном поле сил

Особый интерес для физики представляет случай, когда сила, действующая на частицу, определяется положением частицы в пространстве. Математически это означает, что каждой точке пространства ставится в соответствие вектор Р, представляющий силу, действующую на частицу, если она окажется в этой точке. Математик

скажет, что задано векторное поле Р. Физик скажет, что частица находится в некотором поле (физическое понятие), с которым она

взаимодействует, и это взаимодействие характеризуется силой Р, зависящей от характеристик поля в точке, где находится частица.

Пусть задано векторное поле Р = Р(р) (точка задается радиусом-

вектором г, в этой точке задан вектор Р). Рассмотрим две точки А и В в пространстве и некоторую кривую /, соединяющую эти точки. Зададим направление вдоль кривой, например от точки А к точке В.

Поскольку вектор Р задан в каждой точке пространства, он определен в каждой точке кривой. Разобьем кривую / на малые элементы

Д/, каждому элементу поставим в соответствие вектор Д/ = тД/, т — единичный касательный вектор к кривой в заданном направлении.

Для каждого элемента вычислим скалярное произведение Р Д/, значение Р берется в начальной точке элемента. Вычислим сумму

для всех элементов кривой. Предел такой суммы при все более мелком разбиении называется криволинейным интегралом:

Пока это были математические упражнения. Если векторное поле

Р представляет поле сил, действующих на частицу, смысл выражения (2.93) ясен: это работа, совершаемая силовым полем при перемещении частицы вдоль кривой / из точки А в точку В. Эта работа зависит, вообще говоря, от начальной и конечной точки и от вида кривой.

Однако существуют такие векторные поля, для которых интеграл вида (2.93) не зависит от вида кривой, соединяющей точки А и В, а зависит только от положения этих точек. Ясно, что поле, удовлетворяющее такому требованию, должно обладать специальной структурой. Сконструируем такое поле.

Пусть мы имеем некоторую скалярную функцию от переменных х,у,1‘- № = Щх, у, I) (каждой точке пространства ставится в соответствие некоторое число). Для функции от нескольких переменных определены так называемые частные производные по этим переменным. Например, для функции И»частная производная по х обозначается и вычисляется как обычная производная по х, а остальные переменные при этом считаются постоянными. Аналогично вычисляются производные по другим переменным. Приведем наглядный пример. Пусть функция Щх, у, г) представляет температуру воздуха в разных точках пространства, и мы хотим экспериментально найти частную производную по х в некоторой точке (х, у, г). Проведем через данную точку прямую, параллельную оси х. Для всех точек этой прямой координаты у, I постоянны. Будем измерять температуру только в точках, лежащих на этой прямой. Очевидно, она будет функцией от х. Найдем производную функции Щх, у, г) по х. Это и будет частная производная.

Рассмотрим значения функции IV в соседних точках: (х, у, г) и (х + с!х, у + ду, I + сЦ). Вычислим разность

Величина д ^определяет изменение функции И^при малом смещении из точки (х, у, г). Можно показать, что

Величина называется полным дифференциалом функции IV.

Отправляясь от скалярного поля Щх, у> г), построим векторное поле

Можно показать, что выражение в скобках в правой части равенства (2.95) является вектором, т. е. ведет себя надлежащим образом при преобразованиях координат. Этот вектор называется градиентом функции ЩХу у, I) и обозначается VIV. Этому обозначению можно придать смысл, введя векторный дифференциальный оператор

Вектор градиента будет строиться тогда формальным «умножением» этого оператора на функцию, градиент которой мы определяем. Формула (2.95) принимает вид

(Знак «минус» в правой части выбран из соображений удобства, и смысл этого выбора прояснится далее.)

А теперь то, ради чего все это делалось. Векторное поле (2.97) таково, что интеграл

вдоль кривой, соединяющей точки А и В, не зависит от вида кривой и равен разности значений функции IV в точках А и В.

Доказательство. Место точек, в которых функция IVпринимает определенное значение, скажем определяется уравнением Щх_у у у г) = IV_х. Это уравнение задает некоторую поверхность (если IV — температура, то точки с одинаковой температурой будут располагаться на некоторой поверхности). Задаваясь различными значениями IV, получим семейство непересекающихся (это важно!) поверхностей. Точка А лежит на одной из них, точка В — на другой. Пусть значения функции IV на этих поверхностях IV(А) и IV(В). Между этими поверхностями лежат поверхности, отвечающие промежуточным значениям IV. Проведем кривую из точки А в точку В. Она пронзит эти промежуточные поверхности. Рассмотрим две соседине из них. Они вырежут из кривой отрезок Л/. Ему соответствует вектор

Скалярное произведение

дает разность значений функции IV на концах вектора Л/ (см. формулу (2.94)), т. е. между соседними поверхностями. Перемещаясь вдоль кривой от точки А до точки В и суммируя эти разности, получим

по какой бы кривой мы ни перемещались. Это доказывает формулу (2.98).

от начальной и конечной точек кривой и не зависит от вида кривой.. Верно и обратное: если упомянутый интеграл не зависит от вида

Это были математические факты. Вернемся к механике. Оказывается, существуют такие поля сил, при перемещении в которых совершаемая этими силами работа не зависит от формы траектории, а зависит только от положения начальной и конечной точки. Такие поля сил называются потенциальными.

Пример. Сила тяжести. Пусть ось г направлена вертикально вверх.

На всякое тело у поверхности земли действует сила Р = -mgk. Эта сила не зависит от координат (но задана в каждой точке). Такое поле называется однородным. Вычислим работу этой силы при перемещении частицы из точки (*,, у,, г,) в точку (х₂, у₂, ^).

При вычислении было учтено, что сумма малых перемещений — это полное перемещение, т. е. вектор, идущий из начальной точки в конечную. Видим, что работа действительно не зависит от пути, а зависит только от высоты начальной и конечной точки.

Пусть частица движется в потенциальном поле. Это значит, что

— некоторая скалярная функция.

Уравнение (2.88) дает

(Интеграл вычисляется вдоль траектории, индексами 1, 2 отмечены две точки траектории, учтена формула (2.98).) Равенство (2.102) означает, что для любых двух точек на траектории частицы

Здесь У_к — значение кинетической энергии частицы в данной точке, а У_п — значение функции Щх, у, в этой точке.

Если частица движется в потенциальном поле, величина Е = IV. + У_п не изменяется. Скалярная функция У_п называется потенциальной энергией частицы, величина Е тогда представляет полную энергию частицы. Приведенное утверждение выражает закон сохранения механической энергии.

Теперь понятно, почему в формуле (2.97) был выбран знак «минус». Благодаря этому выбору сохраняющаяся величина Е представляется суммой, а не разностью двух величин. Вектор градиента направлен в сторону быстрейшего возрастания функции. Таким образом, сила направлена в сторону быстрейшего убывания потенциальной энергии.

Если на частицу помимо потенциальной действует непотенциальная сила, полная механическая энергия не сохраняется. Именно, если Р = + Р вместо равенства (2.102) будем иметь

Изменение механической энергии равно работе непотенциальной силы.

В заключение этого пункта отмстим, что понятие потенциальной энергии появляется не только в случае, когда частица находится в некотором физическом поле (гравитационном или электрическом). Зависимость силы от координаты при одномерном движении (когда положение частицы задается одним числом) всегда приводит к закону сохранения вида (2.103), а такая зависимость может быть реализована чисто механическим способом, например с помощью пружины. Мы еще вернемся к этому вопросу далее.

Задача 2.15. Найти градиент модуля радиуса-вектора.

Решение. Функция /(х, у, г) = |г| определяет, очевидно, скалярное поле (она ставит в соответствие каждой точке пространства число — расстояние до этой точки от начала координат). Поскольку нахождение градиента состоит в вычислении частных производных по координатам, нужно функцию выразить через координаты явно. Имеем:

остальные производные — аналогично. Таким образом,

Это единичный вектор в направлении ради уса-вектора.

Задача 2.16. Найти градиент функции

Решение. Имеем:

Задача 2.17. Чему равна потенциальная энергия частицы в гравитационном поле у поверхности земли?

Решение. Векторное поле F = -mg к потенциально. Это означает, что оно должно быть градиентом некоторого скалярного поля, которое нам нужно найти. Решение предыдущей задачи подсказывает, что вектор к есть градиент функции /(х, у, z) — Z- Легко видеть, что искомое скалярное поле будет fV(x, у, z) = mgz + const. Константа появилась потому, что градиент любой константы равен нулю, и при любой константе мы будем получать правильное выражение для силы. Это важное обстоятельство: потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы. Это математический факт. Физически ему соответствует то, что нет способа измерить потенциальную энергию. Потенциальная энергия ненаблюдаема. Измерить можно лишь разность потенциальных энергий, и только эта разность имеет физический смысл. Ноль отсчета потенциальной энергии устанавливается произвольно.

Задача 2.18. Потенциальная энергия заряженной частицы в электростатическом поле равна W_n = до, где q — заряд частицы, ср — потенциал электрического поля. Какую скорость будет иметь электрон, пройдя в электрическом поле разность потенциалов 1 млн вольт?

13 Дж. Видим, что кинетическая энергия электрона вдвое больше энергии покоя. Из

формулы (2.85) находим , откуда V = 0,94с.

Источник

Движение в поле потенциальных сил

Эта глава посвящена изучению движений материальной системы в том случае, когда все внешние и внутренние силы, действующие на точки системы, потенциальны, т. е. когда существует функция координат точек системы и, быть может, времени

такая, что для каждой точки системы проекции равнодействующей приложенных к ней сил могут быть представлены так:

Если функция (1), удовлетворяющая условиям (2), существует, то говорят, что движение системы происходит в потенциальном поле с силовой функцией (1) и с потенциальной энергией

В предыдущих главах были установлены следующие важные факты, касающиеся движений в потенциальных полях.

1° Если в «исходных» декартовых координатах существует потенциальная функция (1), то при любом выборе «новых» (обобщенных) координат существует функция , такая, что

Чтобы найти эту функцию , надо в выражении для заменить все декартовы координаты точек их выражениями через обобщенные координаты, используя формулы преобразования (8) из гл. IV.

2° Уравнения Лагранжа, описывающие движение в потенциальных полях, имеют вид

где — лагранжиан системы.

Уравнения (4) описывают движения как в стационарном, так и в нестационарном поле.

3° Если поле стационарно, т. е. если П не зависит явно от времени, то система консервативна. При движении консервативной системы ее полная энергия Е, подсчитанная относительно декартовой системы координат, не изменяется. Этим же свойством обладает полная энергия консервативной системы Е, подсчитанная относительно любой иной системы координат , если преобразование «новых координат» q в декартовы стационарно, т. е. не зависит явно от времени. В этом случае — квадратичная форма от обобщенных скоростей с коэффициентами, зависящими только от обобщенных координат,

и уравнения Лагранжа (4) приводятся к виду

где означает совокупность членов, зависящих лишь от q и , но не зависящих от .

В силу теоремы, доказанной в § 3 гл. IV,

и поэтому система (5) алгебраически разрешима относительно старших производных, т. е. может быть представлена в виде

и, как и в общем случае уравнений Лагранжа, начальное состояние системы, т. е. совокупность всех при , полностью определяет последующее движение.

Используя эти ранее установленные факты, мы получим теперь уравнения, специально приспособленные для описания движений в потенциальных полях, и изучим некоторые обшие свойства таких движений. Весь материал этой главы в равной мере относится к системам, для которых существует обобщенный потенциал. Более того, за редкими исключениями, которые будут далее оговорены, он относится как к натуральным, так и к ненатуральным системам . § 5 гл. IV). Это связано с тем, что далее мы будем исходить из предположения, что движение системы может быть описано уравнениями Лагранжа (4), и лишь в отдельных особо оговариваемых случаях будем предполагать, что лагранжиан имеет вид .

Но в любом случае будет предполагаться, что

т. е. что уравнения Лагранжа могут быть разрешены относительно и представлены в виде уравнений (6).

Источник

Савельев И.В. Курс общей физики, том I

Загрузить всю книгу

Титульный лист

Главная редакция физико-математической литературы

Механика, колебания и волны,

КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ, ТОМ I

Главная цель книги — познакомить студентов прежде всего с основными идеями и методами физики. Особое внимание обращено на разъяснение смысли физических законов и на сознательное применение их. Несмотря на сравнительно небольшой объем, книга представляет собой серьезное руководство, обеспечивающее подготовку, достаточную для успешного усвоения в дальнейшем теоретической физики и других физических дисциплин.

Предисловие к четвертому изданию

При подготовке к настоящему изданию книга была значительно переработана. Написаны заново (полностью или частично) параграфы 7, 17, 18, 22, 27, 33, 36, 37, 40, 43, 68, 88. Существенные добавления или изменения сделаны в параграфах 2, 11, 81, 89, 104, 113.

Ранее, при подготовке ко второму и третьему изданиям были написаны заново параграфы 14, 73, 75. Существенные изменения или добавления были внесены в параграфы 109, 114, 133, 143.

Таким образом, по сравнению с первым изданием облик первого тома заметно изменился. Эти изменения отражают методический опыт, накопленный автором последние десять лет преподавания обшей физики в Московском инженерно-физическом институте.

Ноябрь 1969 г. И. Савельев

Из предисловия к четвертому изданию

Предлагаемая вниманию читателей книга представляет собой первый том учебного пособия по курсу общей физики для втузов. Автор в течение ряда лет преподавал общую физику в Московском инженерно-физическом институте. Естественно поэтому, что пособие он писал имея в виду прежде всего студентов инженерно-физических специальностей втузов.

При написании книги автор стремился познакомить учащихся с основными идеями и методами физической науки, научить их физически мыслить. Поэтому книга не является по своему характеру энциклопедичной, содержание в основном посвящено тому, чтобы разъяснить смысл физических законов и научить сознательно применять их. Не осведомленности читателя по максимально широкому кругу вопросов, а глубоких знаний фундаментальным основам физической пауки — вот что стремился добиться автор.

Источник

Движение частицы в потенциальном поле сил

Особый интерес для физики представляет случай, когда сила, действующая на частицу, определяется положением частицы в пространстве. Математически это означает, что каждой точке пространства ставится в соответствие вектор F, представляющий силу, действующую на частицу, если она окажется в этой точке. Математик

скажет, что задано векторное поле F. Физик скажет, что частица находится в некотором поле (физическое понятие), с которым она

взаимодействует, и это взаимодействие характеризуется силой F, зависящей от характеристик поля в точке, где находится частица.

Пусть задано векторное поле F = F(r) (точка задается радиусом-

вектором г, в этой точке задан вектор F). Рассмотрим две точки А и В в пространстве и некоторую кривую /, соединяющую эти точки. Зададим направление вдоль кривой, например от точки А к точке В.

Поскольку вектор F задан в каждой точке пространства, он определен в каждой точке кривой. Разобьем кривую I на малые элементы

Д/, каждому элементу поставим в соответствие вектор Д/ = тД/, т — единичный касательный вектор к кривой в заданном направлении.

для всех элементов кривой. Предел такой суммы при все более мелком разбиении называется криволинейным интегралом:

Пока это были математические упражнения. Если векторное поле

F представляет поле сил, действующих на частицу, смысл выражения (2.93) ясен: это работа, совершаемая силовым полем при перемещении частицы вдоль кривой / из точки А в точку В. Эта работа зависит, вообще говоря, от начальной и конечной точки и от вида кривой.

Однако существуют такие векторные поля, для которых интеграл вида (2.93) не зависит от вида кривой, соединяющей точки А и В, а зависит только от положения этих точек. Ясно, что поле, удовлетворяющее такому требованию, должно обладать специальной структурой. Сконструируем такое поле.

Пусть мы имеем некоторую скалярную функцию от переменных х, у, z ‘? W= Щх, у, z) (каждой точке пространства ставится в соответствие некоторое число). Для функции от нескольких переменных определены так называемые частные производные по этим переменным. Например, для функции Wчастная производная по х обозначается и вычисляется как обычная производ- дх

ная по х, а остальные переменные при этом считаются постоянными. Аналогично вычисляются производные по другим переменным. Приведем наглядный пример. Пусть функция Щх, у, z) представляет температуру воздуха в разных точках пространства, и мы хотим экспериментально найти частную производную по х в некоторой точке (х, у, г). Проведем через данную точку прямую, параллельную оси х. Для всех точек этой прямой координаты у, z постоянны. Будем измерять температуру только в точках, лежащих на этой прямой. Очевидно, она будет функцией от х. Найдем производную функции Щх, у, z) по х. Это и будет частная производная.

Рассмотрим значения функции W в соседних точках: (х, у, z) и (х + dx, у + dy, z + dz). Вычислим разность

Величина d ^определяет изменение функции Wпри малом смещении из точки (х, у, г). Можно показать, что

Величина d W называется полным дифференциалом функции W.

Отправляясь от скалярного поля Щх, у, z), построим векторное поле

Можно показать, что выражение в скобках в правой части равенства (2.95) является вектором, т. е. ведет себя надлежащим образом при преобразованиях координат. Этот вектор называется градиентом функции Щх, у, z) и обозначается V W. Этому обозначению можно придать смысл, введя векторный дифференциальный оператор

Вектор градиента будет строиться тогда формальным «умножением» этого оператора на функцию, градиент которой мы определяем. Формула (2.95) принимает вид

(Знак «минус» в правой части выбран из соображений удобства, и смысл этого выбора прояснится далее.)

А теперь то, ради чего все это делалось. Векторное поле (2.97) таково, что интеграл

вдоль кривой, соединяющей точки А и В, не зависит от вида кривой и равен разности значений функции W в точках А и В.

Доказательство. Место точек, в которых функция Wпринимает определенное значение, скажем Щ, определяется уравнением Щх, у, z) = Щ. Это уравнение задает некоторую поверхность (если W — температура, то точки с одинаковой температурой будут располагаться на некоторой поверхности). Задаваясь различными значениями Щ получим семейство непересекающихся (это важно!) поверхностей. Точка А лежит на одной из них, точка В — на другой. Пусть значения функции W на этих поверхностях W(A) и V(B). Между этими поверхностями лежат поверхности, отвечающие промежуточным значениям W. Проведем кривую из точки А в точку В. Она пронзит эти промежуточные поверхности. Рассмотрим две соседине из них. Они вырежут из кривой отрезок А/. Ему соответствует вектор

дает разность значений функции W на концах вектора А/ (см. формулу (2.94)), т. е. между соседними поверхностями. Перемещаясь вдоль кривой от точки А до точки В и суммируя эти разности, получим

по какой бы кривой мы ни перемещались. Это доказывает формулу (2.98).

от начальной и конечной точек кривой и не зависит от вида кривой.. Верно и обратное: если упомянутый интеграл не зависит от вида

Это были математические факты. Вернемся к механике. Оказывается, существуют такие поля сил, при перемещении в которых совершаемая этими силами работа не зависит от формы траектории, а зависит только от положения начальной и конечной точки. Такие поля сил называются потенциальными.

Пример. Сила тяжести. Пусть ось z направлена вертикально вверх.

На всякое тело у поверхности земли действует сила F = -mgk. Эта сила не зависит от координат (но задана в каждой точке). Такое поле называется однородным. Вычислим работу этой силы при перемещении частицы из точки (*,, у,, г,) в точку (x_v y_v zj- Имеем:

При вычислении было учтено, что сумма малых перемещений — это полное перемещение, т. е. вектор, идущий из начальной точки в конечную. Видим, что работа действительно не зависит от пути, а зависит только от высоты начальной и конечной точки.

Пусть частица движется в потенциальном поле. Это значит, что

Уравнение (2.88) дает

(Интеграл вычисляется вдоль траектории, индексами 1, 2 отмечены две точки траектории, учтена формула (2.98).) Равенство (2.102) означает, что для любых двух точек на траектории частицы

Здесь W_K — значение кинетической энергии частицы в данной точке, a W_n — значение функции Щх, у, z) в этой точке.

Если частица движется в потенциальном поле, величина Е = W_K + W_n не изменяется. Скалярная функция W_n называется потенциальной энергией частицы, величина Е тогда представляет полную энергию частицы. Приведенное утверждение выражает закон сохранения механической энергии.

Теперь понятно, почему в формуле (2.97) был выбран знак «минус». Благодаря этому выбору сохраняющаяся величина Е представляется суммой, а не разностью двух величин. Вектор градиента направлен в сторону быстрейшего возрастания функции. Таким образом, сила направлена в сторону быстрейшего убывания потенциальной энергии.

Изменение механической энергии равно работе непотенциальной силы.

В заключение этого пункта отметим, что понятие потенциальной энергии появляется не только в случае, когда частица находится в некотором физическом поле (гравитационном или электрическом). Зависимость силы от координаты при одномерном движении (когда положение частицы задается одним числом) всегда приводит к закону сохранения вида (2.103), а такая зависимость может быть реализована чисто механическим способом, например с помощью пружины. Мы еще вернемся к этому вопросу далее.

Задача 2.15. Найти градиент модуля радиуса-вектора.

Решение. Функция /(х, у, z)= г определяет, очевидно, скалярное поле (она ставит в соответствие каждой точке пространства число — расстояние до этой точки от начала координат). Поскольку нахождение градиента состоит в вычислении частных производных по координатам, нужно функцию выразить через координаты явно. Имеем:

остальные производные — аналогично. Таким образом,

Это единичный вектор в направлении радиуса-вектора.

Задача 2.16. Найти градиент функции/(х, у, z) — х.

Решение. Имеем:

Задача 2.17. Чему равна потенциальная энергия частицы в гравитационном поле у поверхности земли?

Решение. Векторное поле F = -mgk потенциально. Это означает, что оно должно быть градиентом некоторого скалярного поля, которое нам нужно найти. Решение предыдущей задачи подсказывает, что вектор к есть градиент функции /(х, у, z) = Z- Легко видеть, что искомое скалярное поле будет Ж(х, у, z) — mgz + const. Константа появилась потому, что градиент любой константы равен нулю, и при любой константе мы будем получать правильное выражение для силы. Это важное обстоятельство: потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы. Это математический факт. Физически ему соответствует то, что нет способа измерить потенциальную энергию. Потенциальная энергия ненаблюдаема. Измерить можно лишь разность потенциальных энергий, и только эта разность имеет физический смысл. Ноль отсчета потенциальной энергии устанавливается произвольно.

Задача 2.18. Потенциальная энергия заряженной частицы в электростатическом поле равна Ж_п = qq>, где q — заряд частицы, ср — потенциал электрического поля. Какую скорость будет иметь электрон, пройдя в электрическом поле разность потенциалов 1 млн вольт?

Решение. Заряд электрона q = —е. Формула (2.103) дает Ж_к1 — ар, = = Ж_к2 — ар₂. Начальная кинетическая энергия электрона Ж, = 0.

Источник