двойка в двоичном коде

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, десятичная двойка является основанием двоичной системы счисления, аналогично тому, как в десятичной системе основанием является число десять.

Чтобы научиться считать в двоичной системе счисления, рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами: от 0 до 9. Когда счет достигает числа 9, вводится новый более старший разряд – десятки. При этом разряд единиц обнуляется и счет в этом разряде опять начинается с нуля. После числа 19 разряд десятков увеличивается на 1, а разряд единиц снова обнуляется. Получается число 20. Когда десятки дойдут до 9, впереди них появится третий разряд – сотни.

Формирование каждого последующего числа в двоичной системе счисления аналогично тому, как это происходит в десятичной за исключением того, что используются всего-лишь две цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела, то есть единицы, появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Итак, число три в двоичной системе записывается как 11, в десятичной – как 3. Количественно это одинаковые числа. Это одно и то же число, выраженное в различных системах счисления. Если есть вероятность неоднозначной трактовки числа, к нему приписывается нижний индекс в десятичной системе счисления, обозначающий, в какой системе счисления выражено данное число:

Индекс для числа, выраженного в десятичной системе, обычно опускается.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

В двоичной системе счисления с увеличением значения количество разрядов растет очень быстро. Как определить, что значит двоичное число 10001001? Нам сложно понять, сколько это, мы привыкли мыслить в десятичной системе. Поэтому часто используется перевод двоичных чисел в десятичные.

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и так далее. Например:

5476 = 5000 + 400 + 70 + 6

Можно пойти еще дальше и разложить число, используя основание системы счисления, возводимое в показатель степени, равный разряду цифры, уменьшенному на единицу:

5476 = 5 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

Точно также производится разложение числа в двоичной системы счисления, кроме того, что основанием выступает двойка, а не десятка. Здесь до знака равенства число представлено в двоичной системе счисления, после «равно» запись идет в десятичной:

10001001 = 1 * 2 7 + 0 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0

Результат вычислений дает десятичное число, количественно равное двоичному 10001001:

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 =
= 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

То есть число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10:

Почему двоичная система счисления так распространена?

Дело в том, что двоичная система счисления – это язык современной вычислительной техники.

Когда любые данные сохраняются на компьютере, они кодируются числами. С числами же компьютер выполняет операции, изменяя эти данные.

Допустим, у нас есть десятичное число 14, которое требуется сохранить в компьютерной памяти. Мы задействуем участок памяти, в данном случае состоящий как минимум из двух элементов, отводимых под разряды. В одном из разрядов мы сохраняем десятичное число 1, в другом – число 4.

Элемент памяти – это физическое устройство. Если проектировать его для хранения десятичной цифры, потребуется создать такое устройство, которое может находиться в десяти разных физических состояниях и способно переключаться между ними. Каждое из этих состояний будет соответствовать числу от 0 до 9.

Создать такой элемент памяти возможно, однако сложнее и дороже, чем создать элемент, способный находиться только в двух состояниях. Одно состояние сопоставить нулю, второе – единице. Кроме того, подобное хранение данных является более надежным.

Поэтому оказалось проще перевести число 14 в двоичную систему счисления, получив число 1110, и именно его сохранить в памяти. И пусть даже при этом будут задействованы не два, а четыре разряда, то есть четыре элементарных единиц памяти.

Перевод десятичного числа в двоичное

Одним из алгоритмов перевода десятичного числа в двоичное является деление нацело на два с последующим «сбором» двоичного числа из остатков. Переведем таким образом число 14 в двоичное представление.

Собирать остатки надо с конца, то есть с последнего деления. Получаем 1110.

Выполним то же самое для числа 77:

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101.

Проверим, выполнив обратный перевод:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Источник

Двоичная система исчисления

Здравствуйте, в этой статье мы поговорим про такую важную тему, как двоичная система исчисления, называемую также бинарным кодом. Всем, кто хочет идти работать в ай-ти сферу должны обязательно разобраться в этом разделе, а для всех остальных будет полезно ознакомиться для общего развития, с представленной ниже информацией.

Я попытаюсь дать все необходимые понятия, и попытаюсь подробно разжевать их, чтобы у вас не осталось никаких вопросов. Попробую дополнить всё примерами, а самые сложные моменты попытаюсь объяснить на пальцах. После прочтения вы узнаете о представлении чисел в двоичном коде, некоторые особенности и полезные свойства этой системы счисления, отрасли, где она применяется и краткую теорию её становления в информатике.

Экскурс в прошлое

Минимально необходимый теоретический базис

Для того чтобы полностью разобраться с двоичным исчислением нужно разобрать, или повторить основные определения. Это будет фундаментом для того, чтобы вы смогли понять то, что дальше написано. К ним относятся такие понятия как:

Понимая все то, что написано выше, можно перейти к сути вопроса. Итак:

Двоичная система счисления – позиционная система с основанием 2. Для отображения чисел применяется два знака – 0 и 1.

В математике обозначается с помощью нижнего индекса, где указано основание. Выглядит это вот так . Натуральные числа представляются по следующей формуле:

Немного про то, что значат буквы в формуле:

Практика

Без практики объяснить, как этим пользоваться – трудно. Поэтому рассмотрим пару примеров. Однако для начала вам необходимо скачать таблицу, где значения бинарного кода представляются в десятичной форме. Я взял первую попавшуюся таблицу с интернета. Выглядеть она будет примерно так:

Задача 1: Представить 7 в двоичном коде, а потом расписать его с помощью формулы выше.

Для того чтобы это сделать надо:

Как видно из примера здесь нет ничего сложного. Давайте разберем что-нибудь посложнее, да и найдем таблицу посерьезнее. Я взял вот такую:

Задача 2: отобразить 13 в двоичной системе счисления.

Все шаги останутся точно такими же, однако я покажу другой способ для выполнения первого пункта. Принцип тот же, но он кажется мне более удобным.

Получаем что

Смотрим что в таблице:

Далее я приведу несколько свойств, которые вы сможете применить при работе с двоичной системой.

Полезные свойства

Области применения

Заключение

На этом всё, вот вы и познакомились с двоичной системой исчисления. Здесь мы рассмотрели общие положения и научились пользоваться таблицей для проверки результатов. Также вы знаете отрасли применения. Прочитав другие материалы нашего сайта, вы сможете научиться выполнять арифметические операции, и переводить счисление с основанием два в другие нумерации. Например шестнадцатеричную и восьмеричную (основание шестнадцать и восемь). При возникновении вопросов оставляйте их в комментариях.

Источник

Двоичное счисление на пальцах

Все знают, что компьютеры состоят из единиц и нулей. Но что это значит на самом деле?

Если у вас в школе была информатика, не исключено, что там было упражнение на перевод обычных чисел в двоичную систему и обратно. Маловероятно, что кто-то вам объяснял практический смысл этой процедуры и откуда вообще берётся двоичное счисление. Давайте закроем этот разрыв.

Эта статья не имеет практической ценности — читайте её просто ради интереса к окружающему миру. Если нужны практические статьи, заходите в наш раздел «Где-то баг», там каждая статья — это практически применимый проект.

Отличный план

Чтобы объяснить всё это, нам понадобится несколько тезисов:

Система записи — это шифр

Если у нас есть девять коров, мы можем записать их как 🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄 или как 9 × 🐄.

Почему 9 означает «девять»? И почему вообще есть такое слово? Почему такое количество мы называем этим словом? Вопрос философский, и короткий ответ — нам нужно одинаково называть числа, чтобы друг друга понимать. Слово «девять», цифра 9, а также остальные слова — это шифр, который мы выучили в школе, чтобы друг с другом общаться.

Допустим, к нашему стаду прибиваются еще 🐄🐄🐄. Теперь у нас 🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄 — двенадцать коров, 12. Почему мы знаем, что 12 — это «двенадцать»? Потому что мы договорились так шифровать числа.

Нам очень легко расшифровывать записи типа 12, 1920, 100 500 и т. д. — мы к ним привыкли, мы учили это в школе. Но это шифр. 12 × 🐄 — это не то же самое, что 🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄. Это некая абстракция, которой мы пользуемся, чтобы упростить себе счёт.

Мы привыкли шифровать десятью знаками

У нас есть знаки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 — всего десять знаков. Этим числом знаков мы шифруем количество единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее.

Мы договорились, что нам важен порядок записи числа. Мы знаем, что самый правый знак в записи означает число единиц, следующий знак (влево) означает число десятков, потом сотен и далее.

Например, перед нами число 19 547. Мы знаем, что в нём есть:

Если приглядеться, то каждый следующий разряд числа показывает следующую степень десятки:

Нам удобно считать степенями десятки, потому что у нас по десять пальцев и мы с раннего детства научились считать до десяти.

Система записи — это условность

Представим бредовую ситуацию: у нас не 10 пальцев, а 6. И в школе нас учили считать не десятками, а шестёрками. И вместо привычных цифр мы бы использовали знаки ØABCDE. Ø — это по-нашему ноль, A — 1, B — 2, E — 5.

Вот как выглядели бы привычные нам цифры в этой бредовой системе счисления:

В этой системе мы считаем степенями шестёрки. Число ABADØ можно было бы перевести в привычную нам десятичную запись вот так:

A × 6 4 = 1 × 1296 = 1296

B × 6 3 = 2 × 216 = 432

1296 + 432 + 36 + 24 + 0 = 1788. В нашей десятичной системе это 1788, а у людей из параллельной вселенной это ABADØ, и это равноценно.

Выглядит бредово, но попробуйте вообразить, что у нас в сумме всего шесть пальцев. Каждый столбик — как раз шесть чисел. Очень легко считать в уме. Если бы нас с детства учили считать шестёрками, мы бы спокойно выучили этот способ и без проблем всё считали. А счёт десятками вызывал бы у нас искреннее недоумение: «Что за бред, считать числом AD? Гораздо удобнее считать от Ø до E!»

То, как мы шифруем и записываем числа, — это следствие многовековой традиции и физиологии. Вселенной, космосу, природе и стадам коров глубоко безразлично, что мы считаем степенями десятки. Природа не укладывается в эту нашу систему счёта.

Двоичная система (тоже нормальная)

Внутри компьютера работают транзисторы. У них нет знаков 0, 1, 2, 3… 9. Транзисторы могут быть только включёнными и выключенными — обозначим их 💡 и ⚫.

Мы можем научить компьютер шифровать наши числа этими транзисторами так же, как шестипалые люди шифровали наши числа буквами. Только у нас будет не 6 букв, а всего две: 💡 и ⚫. И выходит, что в каждом разряде будет стоять не число десяток в разной степени, не число шестёрок в разной степени, а число… двоек в разной степени. И так как у нас всего два знака, то получается, что мы можем обозначить либо наличие двойки в какой-то степени, либо отсутствие:

8 — 💡 ⚫⚫⚫
9 — 💡 ⚫⚫ 💡
10 — 💡 ⚫ 💡 ⚫
11 — 💡 ⚫ 💡 💡
12 — 💡 💡 ⚫⚫
13 — 💡 💡 ⚫ 💡
14 — 💡 💡 💡 ⚫
15 — 💡 💡 💡 💡16 — 💡 ⚫⚫⚫⚫
17 — 💡 ⚫⚫⚫ 💡
18 — 💡 ⚫⚫ 💡 ⚫
19 — 💡 ⚫⚫ 💡 💡
20 — 💡 ⚫ 💡 ⚫⚫
21 — 💡 ⚫ 💡 ⚫ 💡
21 — 💡 ⚫ 💡 💡 ⚫
23 — 💡 ⚫ 💡 💡 💡
24 — 💡 💡 ⚫⚫⚫
25 — 💡 💡 ⚫⚫ 💡
26 — 💡 💡 ⚫ 💡 ⚫
27 — 💡 💡 ⚫ 💡 💡
28 — 💡 💡 💡 ⚫⚫
29 — 💡 💡 💡 ⚫ 💡
30 — 💡 💡 💡 💡 ⚫
31 — 💡 💡 💡 💡 💡32 — 💡 ⚫⚫⚫⚫⚫
33 — 💡 ⚫⚫⚫⚫ 💡
34 — 💡 ⚫⚫⚫ 💡 ⚫
35 — 💡 ⚫⚫⚫ 💡 💡
36 — 💡 ⚫⚫ 💡 ⚫⚫
37 — 💡 ⚫⚫ 💡 ⚫ 💡
38 — 💡 ⚫⚫ 💡 💡 ⚫
39 — 💡 ⚫⚫ 💡 💡 💡
40 — 💡 ⚫ 💡 ⚫⚫⚫
41 — 💡 ⚫ 💡 ⚫⚫ 💡
42 — 💡 ⚫ 💡 ⚫ 💡 ⚫
43 — 💡 ⚫ 💡 ⚫ 💡 💡
44 — 💡 ⚫ 💡 💡 ⚫⚫
45 — 💡⚫💡💡⚫💡
46 — 💡⚫💡💡💡⚫
47 — 💡⚫💡💡💡💡
48 — 💡💡⚫⚫⚫⚫
49 — 💡💡⚫⚫⚫💡
50 — 💡💡⚫⚫💡⚫
51 — 💡💡⚫⚫💡💡
52 — 💡💡⚫💡⚫⚫
53 — 💡💡⚫💡⚫💡
54 — 💡💡⚫💡💡⚫
55 — 💡💡⚫💡💡💡
56 — 💡💡💡⚫⚫⚫
57 — 💡💡💡⚫⚫💡
58 — 💡💡💡⚫💡⚫
59 — 💡💡💡⚫💡💡
60 — 💡💡💡💡⚫⚫
61 — 💡💡💡💡⚫💡
62 — 💡💡💡💡💡⚫
63 — 💡💡💡💡💡💡

Если перед нами число 💡 ⚫💡⚫⚫ 💡💡⚫⚫, мы можем разложить его на разряды, как в предыдущих примерах:

256 + 0 + 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 0 = 332

Получается, что десятипалые люди могут записать это число с помощью цифр 332, а компьютер с транзисторами — последовательностью транзисторов 💡⚫💡⚫⚫ 💡💡⚫⚫.

Если теперь заменить включённые транзисторы на единицы, а выключенные на нули, получится запись 1 0100 1100. Это и есть наша двоичная запись того же самого числа.

Почему говорят, что компьютер состоит из единиц и нулей (и всё тлен)

Инженеры научились шифровать привычные для нас числа в последовательность включённых и выключенных транзисторов.

Дальше эти транзисторы научились соединять таким образом, чтобы они умели складывать зашифрованные числа. Например, если сложить 💡⚫⚫ и ⚫⚫💡, получится 💡⚫💡. Мы писали об этом подробнее в статье о сложении через транзисторы.

Дальше эти суммы научились получать супербыстро. Потом научились получать разницу. Потом умножать. Потом делить. Потом всё это тоже научились делать супербыстро. Потом научились шифровать не только числа, но и буквы. Научились их хранить и считывать. Научились шифровать цвета и координаты. Научились хранить картинки. Последовательности картинок. Видео. Инструкции для компьютера. Программы. Операционные системы. Игры. Нейросети. Дипфейки.

И всё это основано на том, что компьютер умеет быстро-быстро складывать числа, зашифрованные как последовательности включённых и выключенных транзисторов.

При этом компьютер не понимает, что он делает. Он просто гоняет ток по транзисторам. Транзисторы не понимают, что они делают. По ним просто бежит ток. Лишь люди придают всему этому смысл.

Когда человека не станет, скорость света будет по-прежнему 299 792 458 метров в секунду. Но уже не будет тех, кто примется считать метры и секунды. Такие дела.

Источник

Системы счисления. Позиционная система счисления двоичная.

Впервые позиционная система счисления возникла в древнем Вавилоне. В Индии система работает в виде

позиционной десятичной нумерации с использованием нуля, у индусов данную систему чисел

позаимствовала арабская нация, у них, в свою очередь, взяли европейцы. В Европе эту систему стали

Позиционная система — значение всех цифр зависит от позиции (разряда) данной цифры в числе.

Примеры, стандартная 10-я система счисления – это позиционная система. Допустим дано число 453.

Цифра 4 обозначает сотни и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению 50,

а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение.

Таким образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.

Двоичная система счисления.

Во всех разрядах возможна лишь одна цифра — или нуль, или единица.

С помощью двоичной системы счисления возможно закодировать всякое натуральное число, представив

это число в виде последовательности нулей и единиц.

Пример: 10112 = 1*2 3 + 0*2*2+1*2 1 +1*2 0 =1*8 + 1*2+1=1110

Двоичную систему счисления, как и десятичную систему счисления, зачастую используют в вычислительной

технике. Текст и числа компьютер хранит в своей памяти в двоичном коде и программным способом преобразует

в изображение на экране.

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел.

Таблица сложения в двоичной системе счисления:

Таблица вычитания в двоичной системе счисления:

Таблица умножения в двоичной системе счисления:

Преобразование чисел в двоичной системе счисления.

Для преобразования из двоичной системы в десятичную пользуются следующей таблицей степеней

Начиная с цифры один каждая цифра умножается на 2. Точка, стоящая после 1, называют двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные.

Пусть, есть двоичное число 110001₂. Для перевода в десятичное записываем его в виде суммы по

разрядам следующим образом:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

Немного по другому:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Также хорошо записывать расчет как таблицу:

Двигаемся справа налево. Под всеми двоичными единицами записываем её эквивалент строчкой ниже.

Далее складываем десятичные числа, которые мы получили. Т.о., двоичное число 110001₂ = десятичному 49₁₀.

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные.

Задание: перевести число 1011010, 101₂ в десятичную систему.

Записываем заданное число в таком виде:

Другой вариант записи:

Либо в виде таблицы:

Преобразование десятичных чисел в двоичные.

Пусть, необходимо перевести число 19 в двоичное. Можем сдеать это таким образом:

То есть, каждое частное делится на 2 и записывается остаток в конец двоичной записи. Деление

продолжается до того момента, когда в частном не будет нуля. Итог пишем справа налево. Т.е. нижняя

цифра (1) будет крайней левой и так далее. Итак, у нас получилось число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные.

Когда в заданном числе присутствует целая часть, то ее преобразуют отдельно от дробной. Перевод

дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную происходит следующим образом:

разряда числа в двоичной системе счисления;

достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над

дробной частью произведения.

Пример: Нужно перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Переведя целую часть, получаем 206₁₀=11001110₂. Дробная часть 0,116 умножается на основание 2,

заносим целые части произведения в разряды после запятой:

Источник

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Данный конвертер переводит числа между наиболее популярными системами счисления: десятичной, двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.

Существуют и другие системы счисления, но мы не стали включать их в конвертер из-за низкой популярности.

Для указания системы счисления при записи числа используется нижний индекс, который ставится после числа:
200₁₀ = 11001000₂ = 310₈ = C8₁₆

Кратко об основных системах счисления

Десятичная система счисления. Используется в повседневной жизни и является самой распространенной. Все числа, которые нас окружают представлены в этой системе. В каждом разряде такого числа может использоваться только одна цифра от 0 до 9.

Двоичная система счисления. Используется в вычислительной технике. Для записи числа используются цифры 0 и 1.

Восьмеричная система счисления. Также иногда применяется в цифровой технике. Для записи числа используются цифры от 0 до 7.

Перевод в десятичную систему счисления

Перевод из десятичной системы счисления в другие

Делим десятичное число на основание системы, в которую хотим перевести и записываем остатки от деления. Запишем полученные остатки в обратном порядке и получим искомое число.

Переведем число 375₁₀ в восьмеричную систему:

Перевод из двоичной системы в восьмеричную

Так же как и в первом способе разбиваем число на группы. Но вместо преобразований в скобках просто заменим полученные группы (триады) на соответствующие цифры восьмеричной системы, используя таблицу триад:

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную

Также как и в первом способе разбиваем число на группы по 4 цифры. Заменим полученные группы (тетрады) на соответствующие цифры шестнадцатеричной системы, используя таблицу тетрад:

Перевод из восьмеричной системы в двоичную

Каждый разряд восьмеричного числа будем делить на 2 и записывать остатки в обратном порядке, формируя группы по 3 разряда двоичного числа. Если в группе получилось меньше 3 разрядов, тогда дополняем нулями. Записываем все группы по порядку, отбрасываем ведущие нули, если имеются, и получаем двоичное число.

Используем таблицу триад:

Каждую цифру исходного восьмеричного числа заменяется на соответствующие триады. Ведущие нули самой первой триады отбрасываются.

Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную

Аналогично переводу из восьмеричной в двоичную, только группы по 4 разряда.

Используем таблицу тетрад:

Каждую цифру исходного числа заменяется на соответствующие тетрады. Ведущие нули самой первой тетрады отбрасываются.

Перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот

Такую конвертацию можно осуществить через промежуточное десятичное или двоичное число. То есть исходное число сначала перевести в десятичное (или двоичное), и затем полученный результат перевести в конечную систему счисления.

Источник