какие есть числа в математике
Математика
Тестирование онлайн
Натуральные числа
Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3. и т.д.
Ноль не является натуральным.
Натуральные числа принято обозначать символом N.
Целые числа. Положительные и отрицательные числа
Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z.
Рациональные числа
Множество рациональных чисел обозначается Q. Все целые числа являются рациональными.
Иррациональные числа
Бесконечная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Например: 
Множество иррациональных чисел обозначается J.
Действительные числа
Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.
Действительные числа обозначаются символом R.
Округление чисел
Округлить 8,759123. с точностью до целой части.
Округлить 8,759123. с точностью до десятой части.
Округлить 8,759123. с точностью до сотой части.
Округлить 8,759123. с точностью до тысячной части.
Числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные
Натуральные числа
Натуральные числа определение – это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:
Это натуральный ряд чисел.
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица — это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.
Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:
с — это всегда натуральное число.
Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:
с — это всегда натуральное число.
Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе — нет.
Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b
где с — натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a — делимое, b — делитель, c — частное.
Делитель натурального числа — это натуральное число, на которое первое число делится нацело.
Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.
Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.
Единицу не считают простым числом.
Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:
Единицу не считают составным числом.
Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.
Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.
Свойства сложения и умножения натуральных чисел:
переместительное свойство сложения
сочетательное свойство сложения
переместительное свойство умножения
сочетательное свойство умножения
распределительное свойство умножения
Целые числа
Целые числа — это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.
Числа, противоположные натуральным — это целые отрицательные числа, например:
Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.
Рациональные числа
Рациональные числа — это целые числа и дроби.
Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:
Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.
Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера:
Другой пример: рациональное число 9 может быть представлено в виде простой дроби как 18/2 или как 36/4.
Множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q.
Подробнее о рациональных числах в разделе Рациональные числа.
Иррациональные числа
Иррациональные числа — это бесконечные непериодические десятичные дроби. Примеры:
Подробнее об иррациональных числах в разделе Иррациональные числа.
Действительные числа
Действительные числа – это все рациональные и все иррациональные числа.
Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R.
Виды чисел.
У нас есть числа натуральные, целые, рациональные и иррациональные, а также вещественные или действительные и еще есть другие, но в школьной программе в основном используют эти числа.
Натуральные числа ( N ) − это числа, используемые для счета предметов. Нуль не является натуральным числом.
Например: 1; 2; 3; 132; 168; 326; 548; 10050…
Целые числа ( Z ) — множество чисел, получающееся в результате арифметических операций сложения (+) и вычитания (−) натуральных чисел.
Например: …−3; −2; 1; 0; 548; 10050…
Рациональные числа ( Q ) – это положительные и отрицательные числа можно представить в виде обыкновенной несократимой дроби вида: 
где m−целое число (числитель), n – натуральное число (знаменатель).
Например: 
Иррациональные числа ( I ) − числа, которые не представимыми в виде дроби вида
Например: √2; √5; π; e
Вещественные (действительные) числа ( R ).
Рациональные числа и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Изобразим это множество чисел в виде рисунка: 
Видно их вложенность друг в друга.
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
Алгебра
План урока:
Натуральные числа
Ещё в далекие доисторические времена человек освоил такую математическую операцию, как счет. Можно было подсчитать количество соплеменников в племени или животных в стае, на которых велась охота. При этом человек ещё не осознавал понятие числа как некое отвлеченное понятие. Анализ языков народов, находящихся на самых низких стадиях развития, показывает, что они в словосочетаниях «три змеи», «три палки», «три камня» используют разные слова для числа 3. Однако со временем человек осознал, что количество предметов можно определять числом, которое не будет зависеть от природы подсчитываемых объектов. Числа, используемые для счета, сегодня называют натуральными числами. Долгое время человечество не знало никаких других чисел.
В качестве примера можно привести следующие натуральные числа: 1, 8, 10, 1000, 64141 и т.п. Если можно представить, что в каком-то множестве содержится N элементов, то N будет натуральным числом.
Вообще все натуральные числа являются частью так называемого натурального ряда чисел. Начинается этот ряд с единицы, а каждое следующее число больше предыдущего на 1.
Таким образом, можно дать ещё одно определение натуральных чисел – это числа, входящие в натуральный ряд. Традиционно ноль не является натуральным числом, ведь при подсчете предметов счет начинают с единицы. Такой подход используется в большинстве российских источников. Однако стоит отметить, что иногда в зарубежной литературе всё же предпочитают начинать натуральный ряд не с единицы, а с нуля. В этом случае 0 становится натуральным числом. Это деление весьма условно. Для обозначения множества натуральных чисел используется буква N. Очевидно, что натуральных чисел существует бесконечно много, а потому не существует наибольшего натурального числа.
Любые два натуральных числа можно складывать друг с другом и перемножать, при этом в результате будет снова получаться натуральное число. При вычитании может получиться ноль или отрицательное число, а при делении – дробное.
Простые и составные числа
Все натуральные числа можно разбить на три группы:
Единицу традиционно не считают ни простым, ни составным числом. Составным же называют натуральное число, делящееся не только на единицу и себя. Можно дать и другие определения, основанные на количестве делителей у числа. Так, единица имеет ровно 1 делитель. У простого числа всегда ровно 2 делителя, а у составного – 3 и более.
В качестве примера простых чисел можно привести: 2, 3, 5, 7, 31, 101, 163. Примерами составных чисел являются:
Среди делителей составного числа могут быть как другие составные, так и простые числа. Например, 50 имеет простые делители 2 и 5 и составные 10 и 25.
Заметим, что если число n делится на m, а m в свою очередь делится на k, то и n делится на k. Так, 45 делится на 9, а 9 делится на 3. Значит, и 45 делится на 3. Из этого свойства чисел вытекает следующее утверждение:
Любое составное число имеет хотя бы один простой делитель, причем им обязательно будет наименьший из всех делителей числа. Докажем это. Пусть число H – составное, и имеет наименьший делитель F. Предположим, что F – составное число. Тогда у него есть делитель L, который меньше его. Но тогда L должен быть делителем и для H. Так как L 1 1
Разряды и классы чисел
Числа и цифры
Числа — это единицы счета. С помощью чисел можно сосчитать количество предметов и определить различные величины.
Для записи чисел используются специальные знаки — цифры. Всего их десять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …
От количества цифр в числе зависит его название.
Число, которое состоит из одного знака, называется однозначным. Наименьшее однозначное — 1, наибольшее — 9.
Число, которое состоит из двух знаков цифр, называется двузначным. Наименьшее двузначное — 10, наибольшее — 99.
Числа, которые записаны с помощью двух, трех, четырех и более цифр, называются двузначными, трехзначными, четырехзначными или многозначными. Наименьшее трехзначное — 100, наибольшее — 999.
Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определенное место — позицию.
Классы чисел
Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса.
Названия классов многозначных чисел справа налево:
Чтобы читать запись многозначного числа было удобно, между классами оставляют небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число 125911723296, удобно сначала выделить в нем классы:
А теперь прочитаем число единиц каждого класса слева направо:
Разряды чисел
От позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Например:
Можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен, а 1 служит значением разряда тысяч.
Проясним, что такое разряд в математике. Разряд — это позиция или место расположения цифры в записи натурального числа.
У каждого разряда есть свое название. Слева всегда живут старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.
Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.
Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.
Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.
Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще чтобы визуально разделить классы чисел.
Разрядные единицы обозначают так:
Каждые три разряда, следующие друг за другом, составляют класс. Первые три разряда: единицы десятки и сотни — образуют класс единиц (первый класс). Следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч — образуют класс тысяч (второй класс). Третий класс будут составлять единицы, десятки и тысячи миллионов и так далее.
Чтобы легче понимать математику — записывайтесь на наши онлайн-курсы по математике!
Потренируемся
Пример 1. Записать цифрами число, в котором содержится:
Все разрядные единицы, кроме простых единиц, называют составными единицами. Каждые десять единиц любого разряда составляют одну единицу следующего более высокого разряда:
Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, нужно отбросить все цифры, обозначающие единицы низших разрядов и прочитать число, которое выражено оставшимися цифрами.
Пример 2. Сколько сотен содержится в числе 6284?
В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит, в числе есть две сотни.
Следующая цифра слева — 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60.
Значит, в данном числе содержится 62 сотни.
Цифра 0 в любом разряде означает отсутствие единиц в данном разряде.
Проще говоря, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:
Чтобы проще освоить эту тему, можно распечатать таблицу классов и разрядов для учащихся 4 класса и обращаться к ней, если возникнут сложности.