какие есть точки разрыва

Точки разрыва функции – определения, классификация и примеры

Определения и классификация точек разрыва функции

Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.

Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.

Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва первого рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Исследование функций на непрерывность

При исследовании функций на непрерывность мы используем следующие факты.

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения примеров, в которых требуется исследовать функцию на непрерывность и установить вид точек разрыва, если есть.
в точках ⇓;
⇓; ⇓.

Пример 1

Здесь мы использовали следующие общепринятые обозначения:
.
Также мы использовали свойство показательной функции с основанием :
.

Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке разрыв второго рода.

В точке функция непрерывна.
В точке разрыв второго рода,
.

Пример 2

Пример 3

Все примеры ⇑ Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если
.

Используем формулу:
.
С ее помощью, разложим числитель на множители:
.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

Источник

Как найти точки разрыва функции — пошаговая инструкция

Нахождение точек разрыва функции является одним из обязательных моментов исследования на непрерывность. Для кого-то это может прозвучать непонятно, а для остальных будет слишком банально.

Но и тем, и другим не стоит делать поспешные выводы: материал этой темы действительно предельно прост, но вместе с тем для успешного решения практических задач потребуется осмыслить и запомнить несколько технических приемов и нюансов.

Как минимум необходимо понимать, что за «зверь» кроется под понятием предела функции. И конечно же, нужно уметь их решать. Не менее полезным станет понимание геометрического смысла, дополненное графиком — большинство задач подобного характера требуют построения чертежа после решения.

Определение точки разрыва

Как уже упоминалось, их поиск напрямую связан с темой непрерывности. Если говорить простым языком, то это не что иное, как координаты графика функции, в которых точки не соединяются между собой. Образуются «рваные области», которые и называют местом разрыва. Вообще, чтобы понять смысл, достаточно всего лишь взглянуть на рисунок:

Он более чем очевидно иллюстрирует определение понятия. Если функция прерывается в X0, то непрерывность в этом месте нарушена одним из двух возможных способов:

Задачи похожего типа, где необходимо находить точки разрыва, могут выступать не только, как один из этапов полного исследования на непрерывность, но и в качестве самостоятельных заданий. Чтобы определить их вид, потребуется отыскать предел для найденных значений. Поэтому, если вы еще не умеете их решать, самое время ненадолго отвлечься, чтобы изучить базовые основы.

К счастью, на практике это не так сложно — самый трудный этап заключается в приведении примера к одному из табличных. Остальные моменты легко запомнить. Не стоит забывать и о большом количестве сервисов, которые в несколько кликов выдадут значение предела любой сложности онлайн.

Классификация точек разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода

Если функция не определена, но односторонние пределы имеют конечное значение, то ее относят к случаю первого рода. Который, в свою очередь, может иметь характеристику устранимого или конечного:

Точки конечного разрыва первого рода — скачок функции. Пределы могут быть вычислены, но в то же время не равны друг другу, и поэтому доопределение уравнения невозможно. Разница первого и второго называется скачком.

Как найти точки разрыва функции

Если в условиях задачи не были даны координаты проверяемого отрезка, то процесс решения делится на несколько этапов. Для начала нужно найти область определенных значений, с которой в дальнейшем пойдет работа. После это вычисляются односторонние пределы функции. Полученные результаты необходимо будет сравнить, чтобы однозначно определить род и характеристику разрыва.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как исследовать непрерывность функции.

Источник

Непрерывность функции и точки разрыва

п.1. Приращение аргумента и приращение функции

Пусть \(y=3x-1\) \(x_0=1,\ x=1,1 \)

п.2. Непрерывность функции в точке и на промежутке

На «языке ε-δ» определение непрерывности будет следующим:

ε-δ определение непрерывности похоже на ε-δ определение предела функции, с той разницей, что модуль \(|x-x_0|\) может быть равен 0 для непрерывной функции, т.е. сама точка \(x_0\) входит в δ-окрестность.

Все три представленных определения непрерывности функции в точке эквивалентны.
Существуют и другие эквивалентные определения. Мы дадим ещё одно из них дальше, в этом же параграфе.

п.3. Непрерывность функции на промежутке

Промежуток – это интервал, отрезок, луч и т.п. (см. §16 справочника для 8 класса).

График непрерывной функции – это непрерывная линия.
Кроме непрерывности, эта линия еще и «плавная», без «заломов».
При наличии заломов функция называется кусочно-непрерывной.

Непрерывная функция

Кусочно-непрерывная функция

п.4. Односторонние пределы

Рассмотрим гиперболу \(y=\frac<1>\).

Теперь рассмотрим параболу \(y=x^2-2\)
Областью определения параболы является вся числовая прямая \(x\in\mathbb\)

Это еще одно определение непрерывности, которым удобно пользоваться на практике.

п.5. Классификация точек разрыва

п.6. Точки разрыва первого рода

\(y= \begin x+1,\ x\lt 2\\ 3-x^2,\ x\geq 2 \end , x_0=2\) Односторонние пределы: \begin \lim_f(x)= \lim_(x+1)=3\\ \lim_f(x)= \lim_(3-x^2)=-1 \end Пределы не равны, но конечны.

п.7. Точки разрыва второго рода

В точках разрыва 2-го рода хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.

\(y=e^\frac1x, x_0=0\)

Точка \(x_0=0\) – точка разрыва второго рода.

На практике, при моделировании реальных процессов, разрывы 2-го рода в функциональных зависимостях встречаются довольно часто. Их положено заботливо анализировать и тщательно обходить, выбирая рабочие участки характеристических кривых, – чтобы «система не пошла в разнос».

п.8. Алгоритм исследования функции на непрерывность

На входе: функция \(y=f(x)\)
Шаг 1. Найти ОДЗ функции, определить точки и промежутки, не принадлежащие ОДЗ.
Шаг 2. Составить множество точек, в которое входят точки и границы промежутков, не принадлежащие ОДЗ, а также – для кусочно-непрерывных функций – точки сшивания. Полученное множество состоит из точек, подозрительных на разрыв.
Шаг 3. Исследовать каждую из точек, подозрительных на разрыв, с помощью односторонних пределов. Если разрыв обнаружен, определить тип разрыва.
На выходе: список точек разрыва и тип разрыва для каждой точки.

п.9. Примеры

Источник

Какие есть точки разрыва

3.1.11. фПЮЛЙ ТБЪТЩЧБ ЖХОЛГЙЙ Й ЙИ ЛМБУУЙЖЙЛБГЙС

еУМЙ ТБУУНПФТЕФШ ЗТБЖЙЛ ЖХОЛГЙЙ Ч ПЛТЕУФОПУФЙ ФПЮЛЙ x = 0

ФП СУОП ЧЙДОП, ЮФП ПО ЛБЛ ВЩ “ТБЪТЩЧБЕФУС” ОБ ПФДЕМШОЩЕ ЛТЙЧЩЕ. бОБМПЗЙЮОП НПЦОП ТБУУНПФТЕФШ ЖХОЛГЙА, ЙЪПВТБЦЕООХА ОБ ТЙУХОЛЕ Ч ПЛТЕУФОПУФЙ ФПЮЛЙ 2.

зПЧПТСФ, ЮФП ЧП ЧУЕИ ХЛБЪБООЩИ ФПЮЛБИ УППФЧЕФУФЧХАЭЙЕ ЖХОЛГЙЙ УФБОПЧСФУС ТБЪТЩЧОЩНЙ.

ч ЬФПН УМХЮБЕ ЗПЧПТСФ, ЮФП РТЙ x= x 0 ЖХОЛГЙС ТБЪТЩЧОБС. ьФП НПЦЕФ РТПЙЪПКФЙ, ЕУМЙ Ч ФПЮЛЕ x 0 ЖХОЛГЙС ОЕ ПРТЕДЕМЕОБ ЙМЙ ОЕ УХЭЕУФЧХЕФ РТЕДЕМ , ЙМЙ ЕУМЙ РТЕДЕМ УХЭЕУФЧХЕФ, ОП .

1. тБУУНПФТЙН ЖХОЛГЙА:

ьФБ ЖХОЛГЙС ПРТЕДЕМЕОБ ЧП ЧУЕИ ФПЮЛБИ ПФТЕЪЛБ [0, 4] Й ЕЈ ЪОБЮЕОЙЕ РТЙ x = 3 ТБЧОП 0. пДОБЛП, Ч ФПЮЛЕ x = 3 ЖХОЛГЙС ЙНЕЕФ ТБЪТЩЧ, Ф.Л. ПОБ ОЕ ЙНЕЕФ РТЕДЕМБ РТЙ x = 3:

уМЕДХЕФ ПФНЕФЙФШ, ЮФП f(x) ОЕРТЕТЩЧОБ ЧП ЧУЕИ ПУФБМШОЩИ ФПЮЛБИ ПФТЕЪЛБ [0, 4]. рТЙ ЬФПН Ч ФПЮЛЕ x = 0 ПОБ ОЕРТЕТЩЧОБ УРТБЧБ, Б Ч ФПЮЛЕ x = 4 – УМЕЧБ, Ф.Л.

2. жХОЛГЙС ТБЪТЩЧОБ РТЙ x = 0. дЕКУФЧЙФЕМШОП:

фПЮЛЙ ТБЪТЩЧБ ЖХОЛГЙЙ НПЦОП ТБЪВЙФШ ОБ ДЧБ ФЙРБ.

ч РЕТЧПН РТЙНЕТЕ ФПЮЛБ И= 3 СЧМСЕФУС ФПЮЛПК ТБЪТЩЧБ РЕТЧПЗП ТПДБ. ч РТЙНЕТЕ 2 ЧУЕ ФПЮЛБ ТБЪТЩЧБ x = 0 СЧМСАФУС ФПЮЛПК ТБЪТЩЧБ ЧФПТПЗП ТПДБ.

Источник

Точки разрыва, их классификация

Все точки разрыва функции подразделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные левосторонние и правосторонние пределы, т.е. и .

Если , то точка называется точкой устранимого разрыва, если , то точка называется точкой конечного разрыва.

Точки разрыва первого рода можно представить следующим образом:

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке хотя бы один (левосторонний или правосторонний) предел равен бесконечности.

Точки разрыва второго рода можно представить следующим образом:

Можно привести много примеров хорошо известных нам основных элементарных функций, имеющих точки разрыва второго рода:

Рассмотрим на примере, как находить точки разрыва функции и определять их род.

Пример №10.3.

Найдите точки разрыва функции и определите их род.

Решение:

Функция является элементарной, следовательно, она непрерывна на области определения.

Найдем и . Получили, что точки и являются точками разрыва функции. Для того, чтобы их классифицировать, найдем предел функции в указанных точках.

Для точки , следовательно, — точка разрыва II рода.

Для точки

следовательно, — точка разрыва I рода. Поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке совпадают, то — точка устранимого разрыва. Положив при , разрыв устранится, функция станет непрерывной.

График данной функции представлен на рисунке 10.6.

Пример №10.4.

Найдите точки разрыва функции и определить их род.

Решение:

Функция состоит из двух частей: (при ) и (при ). Функции и являются элементарными, непрерывными на множестве .

Имеет ли функция разрыв? Она определена во всех точках отрезка [-1; 4]. Найдем левосторонний и правосторонний пределы данной функции в точке .

Левосторонний предел:

Правосторонний предел:

Поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции конечны, то — точка разрыва I рода. Но эти пределы не равны между собой, следовательно, — точка конечного разрыва.

График данной функции представлен на рисунке 10.7.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник