какие игры называются непрерывными
02. Терминология и классификация игр
В теории игр предполагается, что игра состоит из Ходов, выполняемых игроками одновременно или последовательно.
Ходы бывают Личными и Случайными. Ход называется Личным, если игрок сознательно выбирает его из совокупности возможных вариантов действий и осуществляет его (например, любой ход в шахматной игре). Ход называется Случайным, если его выбор производится не игроком, а каким-либо механизмом случайного выбора (например, по результатам бросания монеты).
Совокупность ходов, предпринятых игроками от начала до окончания игры, называется Партией.
Одним из основных понятий теории игр является понятие стратегии. Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры. В простых (одноходовых) играх, когда в каждой партии игрок может сделать лишь по одному ходу, понятие стратегии и возможного варианта действий совпадают. В этом случае совокупность стратегий игрока охватывает все возможные его действия, а любое возможное для игрока I действие является его стратегией. В сложных (многоходовых играх) понятие «варианта возможных действий» и «стратегии» может отличаться друг от друга.
Стратегия игрока называется оптимальной, если она обеспечивает данному игроку при многократном повторении игры максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш, независимо от того, какие стратегии применяет противник. Могут быть использованы и другие критерии оптимальности.
Возможно, что стратегия, обеспечивающая максимальный выигрыш, не обладает другим важным представлением оптимальности, как устойчивостью (равновесностью) решения. Решение игры является устойчивым (равновесным), если соответствующие этому решению стратегии образуют ситуацию, которую ни один из игроков не заинтересован изменить.
Классификация игр представлена на рис. 1.1.
3. Участники множественной игры могут образовывать коалиции, как постоянные, так и временные. По характеру взаимоотношений игроков игры делятся на бескоалиционные, коалиционные и кооперативные.
Бескоалиционными называются игры, в которых игроки не имеют право вступать в соглашения, образовывать коалиции, и целью каждого игрока является получение по возможности наибольшего индивидуального выигрыша.
Игры, в которых действия игроков направлены на максимизацию выигрышей коллективов (коалиций) без последующего их разделения между игроками, называются Коалиционными.
Рис. 1.1. Классификация игр
Исходом Кооперативной игры является дележ выигрыша коалиции, который возникает не как следствие тех или иных действий игроков, а как результат их наперед определенных соглашений.
В соответствии с этим в кооперативных играх сравниваются по предпочтительности не ситуации, как это имеет место в бескоалиционных играх, а дележи; и сравнение это не ограничивается рассмотрением индивидуальных выигрышей, а носит более сложный характер.
4. По количеству стратегий каждого игрока игры подразделяются на конечные (число стратегий каждого игрока конечно) и Бесконечные (множество стратегий каждого игрока бесконечно).
5. По количеству информации, имеющейся у игроков относительно прошлых ходов, игры подразделяются на игры с Полной информацией (имеется вся информация о предыдущих ходах) и Неполной информацией. Примерами игр с полной информацией могут быть шахматы, шашки и т. п.
6. По виду описания игры подразделяются на позиционные игры (или игры в развернутой форме) и игры в нормальной форме. Позиционные игры задаются в виде дерева игры. Но любая позиционная игра может быть сведена К нормальной форме, в которой каждый из игроков делает только по одному независимому ходу. В позиционных играх ходы делаются в дискретные моменты времени. Существуют Дифференциальные игры, в которых ходы делаются непрерывно. Эти игры изучают задачи преследования управляемого объекта другим управляемым объектом с учетом динамики их поведения, которая описывается дифференциальными уравнениями.
Существуют также Рефлексивные игры, которые рассматривают ситуации с учетом мысленного воспроизведения возможного образа действий и поведения противника.
7. Если любая возможная партия некоторой игры имеет нулевую сумму выигрышей FI, 
всех N игроков (
), то говорят об игре С нулевой суммой. В противном случае игры называются играми С ненулевой суммой.
Очевидно, что парная игра с нулевой суммой является Антагонистической, так как выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, а следовательно цели этих игроков прямо противоположны.
Конечная парная игра с ненулевой суммой называется Биматричной игрой. Такая игра описывается двумя платежными матрицами, каждая для соответствующего игрока.
1.2. Классификация игр.
Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации и т.д.
По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий, игра называется бесконечной.
По характеру взаимодействия игры делятся на:
бескоалиционные: игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции;
коалиционные (кооперативные) могут вступать в коалиции.
В кооперативных играх коалиции наперёд определены.
По характеру выигрышей игры делятся на: игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю) и игры с ненулевой суммой.
По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные, типа дуэлей и др.
Матричная игра это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 2, столбец номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).
Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение, и оно может быть легко найдено путём сведения игры к задаче линейного программирования.
Биматричная игра это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице выигрыш игрока 2.)
Для биматричных игр также разработана теория оптимального поведения игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные матричные.
Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной в зависимости от стратегий. Доказано, что игры этого класса имеют решения, однако не разработано практически приемлемых методов их нахождения.
Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определённого числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко.
Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определённого числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко.
Типы игр
Игры – это отнюдь не только составляющая жизни детей или спортсменов. В игры играют и взрослые и далёкие от спорта люди, причём играют буквально каждый день. Да и множество всемирно известных специалистов, ведущие свою деятельность в совершенно разных областях, довольно часто упоминают о том, что люди всегда играли, играют и будут играть в игры. Один из таких специалистов написал, кстати, книгу, посвящённую играм. Зовут его Эрик Берн, а работа называется «Игры, в которые играют люди». Но не будем отходить от темы.
Сегодня мы хотим познакомить вас с различными типами игр. Естественно, в большей степени эта типология относится непосредственно к играм, но также оная является применимой для жизни и деятельности.
Далее нами будут рассмотрены:
Симметричные и несимметричные игры
Симметричной следует называть такую игру, в которой стратегии, используемые игроками в игровом процессе, являются равными, иначе говоря, если все игроки платят одинаковую цену. В такой игре смена игроками своих мест никак не влияет на их выигрыши за совершение тех же самых ходов.
Большинство игр, рассчитанных на двух игроков, являются симметричными. К таким играм можно отнести игры «Ястребы и голуби», «Охота на оленя», «Дилемма заключённого». В противовес же им ставятся несимметричные игры «Диктатор» или «Ультиматум».
Кооперативные и некооперативные игры
Игра будет носить название кооперативной (коалиционной) в том случае, когда игроки могут образовывать группы и брать ответственность за выполнение определённых обязательств перед остальными игроками, чётко управляя своими действиями. Это, собственно говоря, и есть главное отличие кооперативных игр от некооперативных, где каждый игрок играет сам за себя. Кстати, в большинстве случаев развлекательные игры являются некооперативными, хотя механизмы кооперативных игр можно встретить в обычной жизни.
Нередко предполагается также, что кооперативные игры отличает конкретно возможность игроков взаимодействовать друг с другом, но, как правило, это предположение является заблуждением, ведь могут быть и игры, где общение игроков возможно, но преследуют они личную выгоду. Также может быть и наоборот.
Некооперативные игры отличаются тем, что в них ситуации описываются во всех подробностях, а сами они дают максимально точные результаты. В кооперативных же играх игровой процесс рассматривается в общем и целом.
Специалисты уже не раз пытались объединить эти два типа игр, что привело к достаточно хорошим результатам. Появившиеся в итоге гибридные игры состоят из элементов кооперативных и некооперативных игр. В таких играх игроки могут создавать группы, хотя сам процесс будет вестись в индивидуальном стиле. Другими словами, игроки будет стремиться к достижению общего результата, стараясь извлечь и личную выгоду.
Игры с полной и неполной информацией
Одной из самых интересных и важных категорий игр являются игры с полной информацией. В таких играх участники всегда в курсе, какие были сделаны ходы до конкретного момента. Аналогичным же образом они знают и стратегии своих соперников, благодаря чему у них появляется некоторая возможность сделать прогнозы по поводу развития игры в дальнейшем.
Но есть игры, в которых информация недоступна, причиной чему является незнание совершённых участниками ранее ходов. Подавляющее большинство математических игр являются именно играми с неполной информацией. Если вы вновь вспомните «Дилемму заключённого» или «Сравнение монеток», то увидите, что суть как раз и состоит в их неполноте.
Одновременно с этим есть и прекрасные игры, которые относятся к типу игр с полной информацией – это «Многоножка», «Ультиматум» и некоторые другие, такие как более известные всем мангкала, шашки, шахматы и т.д.
Не будет лишним отметить, что нередко сам термин «полная информация» путается с термином «совершенная информация», но игры с совершенной информацией отличаются тем, что в них можно знать все стратегии, доступные игрокам, однако не нужно знать их ходы.
Дискретные и непрерывные игры
Большинство игр, которые являются предметом изучения специалистов, это дискретные игры, которые отличаются конечным числом игроков, исходов, событий, ходов и т.д. Но эти элементы также можно и расширить до множества вещественных чисел. И такие игры, в которых есть расширенные элементы, можно назвать дифференциальными играми.
Дифференциальные игры соотносятся с определённой вещественной шкалой, как правило, со шкалой времени. Однако события, которые в них происходят, можно назвать такими, которые происходят отдельно друг от друга, т.е. дискретными, а значит, и такие игры тоже являются дискретными.
Дифференциальные игры нашли широкое применение в физике, технике и технологиях, а также в теории оптимизации.
Игры с нулевой и ненулевой суммой
Игры с нулевой суммой представляют собой особый тип игр с постоянной суммой – игр, в которых игроки не имеют права увеличивать и уменьшать ресурсы, находящиеся в их распоряжении, а также воздействовать на игровой фонд. Совокупность всех выигрышей в таких играх равна совокупности всех проигрышей, независимо от особенностей ходов. В качестве примеров таких игр можно назвать покер, реверси, а также неприятное большинству людей воровство.
Но множество игр, которые изучаются математической наукой, к примеру, та же самая «Дилемма заключённого», прекрасно применимая к жизни, являются играми с ненулевой суммой, в которых победа какого-либо одного игрока, непременно, означает поражение другого, или наоборот. В таких играх исход может быть как больше, так и меньше нуля. Однако игры с ненулевой суммой могут быть трансформированы и в игры с нулевой суммой, для чего вводится фиктивный игрок, присваивающий себе недостаток или же избыток ресурсов.
Примером игры с ненулевой суммой является торговля, где все стороны стремятся извлечь выгоду, а примером способа перевода суммы к нулю является война.
Игры с бесконечным числом шагов
Игры, в которые играют люди в реальности, а также те, которые изучаются экономической наукой, в большинстве случаев относятся к играм с конечным количеством шагов. Но математика, в виду своей большей неограниченности, а также благодаря теории множеств, рассматривает и такие игры, которые могут продолжаться до бесконечности. Интересно и то, что в таких играх совершенно невозможно предугадать, кто победит и что принесёт победителю победа.
Основной задачей игр с бесконечным количеством шагов является не поиск самого эффективного решения, а поиск выигрышной стратегии. Так, взяв на вооружение аксиому выбора, можно доказать, что в некоторых случаях, даже в играх с полной информацией и только двумя вариантами исходов (победа или поражение), игроки не обладают выигрышной стратегией.
Параллельные и последовательные игры
Параллельные игры – это игры, в которых игроки либо совершают ходы одновременно, либо просто не знают о том, что выбрали другие игроки, пока каждый из всех не совершит хода.
Последовательные (динамические) игры отличаются тем, что игроки могут совершать ходы в предопределённой или случайной последовательности, но в то же время они снабжаются некоторой информацией о прошлых действиях остальных игроков. Причём такая информация может быть и неполной, к примеру, игрок может не знать о другом игроке ничего, кроме того, что он не выбрал седьмую стратегию из имеющихся десяти.
Метаигры
Метаиграми называются такие игры, в которых результат представляет собой совокупность правил для другой игры, которая называется игрой-объектом или целевой игрой. А смысл метаигр состоит в увеличении полезности предлагаемой совокупности правил. В науке теория метаигр тесно соприкасается с теорией оптимальных механизмов.
А теперь попробуйте спроецировать всё, что вы сегодня узнали, на обычную повседневную жизнь. Согласитесь: описанные выше игры очень уж сильно напоминают то, как ведут себя люди изо дня в день – на работе, дома, в процессе общения…
Но главное вовсе не в этом, ведь порой следует вспоминать о том, что мы живём не в мире игр, а в мире живых людей. А даже если мы и играем в игры, не имея возможности от них отвлечься, нужно выбирать самые оптимальные стратегии, которые основаны на принципе «Выиграл/Выиграл».
Теория игр: основные понятия, типы игр, примеры
Дата публикации: 28.03.2018 2018-03-28
Статья просмотрена: 15710 раз
Библиографическое описание:
Черкасова, М. С. Теория игр: основные понятия, типы игр, примеры / М. С. Черкасова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2018. — № 13 (199). — С. 9-22. — URL: https://moluch.ru/archive/199/48947/ (дата обращения: 30.10.2021).
Бог не играет в кости.
В практической деятельности нам очень часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых их участники (два или более) отстаивают свои, не совпадающие с другими, цели и интересы, касающиеся объекта спора. Наглядным примером может послужить взаимоотношение между начальником и работником в момент, когда руководство требует немедленного выполнения большого количества поставленных задач, в том числе и тех, что не входят в должностные обязанности подчиненного, без дополнительной оплаты. Таким образом, из-за того, что работник отказывается бесплатно выполнять эти задачи, а начальник, в свою очередь, грозится увольнением, возникла ситуация, которая называется конфликтной (или просто конфликт).
Изучением оптимальных решений в конфликтных ситуациях занимается один из разделов прикладной математики. Для этого строится упрощенная формализованную модель конфликта, которую принято называть игрой. При этом модель отличается от реальной ситуации тем, что игра ведется по вполне определенным правилам и в ней не учитываются второстепенные обстоятельства, не влияющие на исход события. [1]. Для решения модели разработаны специальные научно обоснованные методы, которые изучает математическая теория конфликтных ситуаций, получившая название теория игр.
Основополагающим в теории игр является само понятие игры, четкое указание, кто и как участвует в конфликте, возможные исходы конфликта, а также кто и в какой форме заинтересован в этих исходах.
Независимо от области деятельности, в которой произошел конфликт (экономика, политика, производственная деятельность, спорт и т. д.) участники игры (конфликта) всегда называются игроками, исход конфликта — выигрышем. Элементами игры являются ходы. Ход — это момент игры, связанный с выбором игроком определенной стратегии поведения, он бывает личный и случайный. Личный ход — это осознанный выбор игроком одного из возможных действий, установленных правилами. Например, каждый ход в шахматной игре является личным, причем при первом шаге идет выбор между двадцатью вариантами. Случайный ход представляет собой выбор одного из множества вариантов, но вариант выбирается не игроками, а механизмом случайного выбора (примером может послужить бросание монеты) [2]. Выбор, полученный при случайном ходе, называют исходом этого хода.
Возможный способ действия игрока или коалиции называется Стратегией игрока [3]. В процессе игры каждый участник выбирает свою стратегию, в результате которой складывается набор стратегий, называемый ситуацией. Игрок, выбирая стратегию, должен учитывать условие оптимальности, т. е. один из участников должен получить минимальный проигрыш, в то время как другой должен получить максимальный выигрыш, при условии, что все игроки придерживаются выбранных стратегий. Оптимальные стратегии должны удовлетворять условию устойчивости, т. е. каждому игроку будет невыгодно отказываться от своих стратегий. Если игра повторяется достаточно большое количество раз, то игроков может интересовать не выигрыш или проигрыш в конкретной партии, а средний результат во всех партиях [4].
Поэтому, для решения модели необходимо классифицировать игру по следующим критериям:
– Количество игроков. Если в игре принимают участие две стороны, то ее называют игрой двух лиц. Если же количество участников больше двух, то ее называют игрой n лиц [5]. На данный момент наиболее глубоко проработаны игры двух лиц, так как изучение большего числа игроков затруднено из-за множества возникающих трудностей и технических возможностей получения решений.
– Количество стратегий. Различают конечные и бесконечные. Игра называется конечной, если каждый игрок имеет конечное число возможных стратегий, и бесконечной — в противном случае.
– Характер взаимодействия сторон. По этому критерию игры подразделяются на бескоалиционные, коалиционные (кооперативные). При рассмотрении игр n лиц (где n≥3) обнаруживаются две возможности: правила игры могут либо запрещать, либо разрешать объединение игроков в так называемые коалиции, т. е. в группы из двух и более участников, имеющих общую цель и координирующих свои стратегии.
Первый случай называется бескоалиционным, в котором основным вопросом является существование ситуаций равновесия. Второй случай, когда кооперация разрешена, называется коалиционным (при условии, что коалиции определены заранее). В случае игры из двух лиц имеет место только одна возможная коалиция. В случае из n участников возможных коалиций существует много.
Из двух типов игр, кооперативные описывают процесс игры в целом, в то время как бескоалиционные рассматривают ситуации в мельчайших подробностях, давая более точный результат.
Так же существуют гибридные игры, содержащие в себе элементы коалиционных и бескоалиционных игр. Например, игроки имеют право объединяться в коалиции, но сама игра будет вестись в бескоалиционном стиле. То есть, каждый игрок будет преследовать интересы группы, одновременно стараясь получить личную выгоду.
– Характер выигрышей. По этому критерию игры делятся на игры с нулевой суммой и с ненулевой суммой.
Игры с нулевой суммой — разновидность игр с постоянной суммой, то есть таких, в которых имеющиеся ресурсы всех участвующих лиц не меняются. В данном случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. В таблице числа означают платежи игрокам, и их сумма в каждой клетке равна нулю.
Теория игр и её применение в жизни
Некоторые из вас видели набор букв“qwerty”. Qwerty — это раскладка клавиатуры. Посмотрите на вашу клавиатуру. Вы увидите в верхнем ряду буквы «q»«w»«e»«r»«t»«y». А по какой причине нам интересна раскладка клавиатуры?
Ещё давно, когда люди пользовались печатными машинками, печатали они довольно быстро. Это создавало проблемы: головки печатной машинки, бьющие по бумаге и печатающие на ней буквы, цеплялись друг за друга, что приводило к поломке. Была создана раскладка qwerty, в которой рядом стоящие в словах буквы были размещены на максимально большом расстоянии друг от друга. Таким образом была решена проблема.
Печатными машинками давно никто не пользуется, и проблема соприкосновения печатающих головок исчезла. Факт того, что мы перестали пользоваться неудобной раскладкой клавиатуры логичен. Но, есть загвоздка – такого факта не существует, люди привыкли печатать на раскладке «qwerty» и не хотят переучиваться.
Сейчас, зайдя в настройки, вы можете переключить раскладку клавиатуры на «dvorak». Печать ускорится в разы, в то время как обучение займёт лишь неделю. К сожалению, никому не выгодно быть единственным переучившимся, потому что за любым компьютером, кроме личного, работать будет неудобно. А также, к сожалению или к счастью, людям лень переучиваться. Хотя вместе, приложив усилия и переучившись, мы могли бы увеличить пропускную способность набора текста в разы.
Подводя итоги: при массовом использовании «qwerty», переход отдельного игрока на «dvorak» не эффективен, хотя переход общества на «dvorak» эффективен.
Понятие «Теория игр»
Теория игр изучает конфликты двух или более сторон, именуемых играми. Под изучение попадают сами игры, стратегии, применяемые в играх, а также модели поведения в играх. Поведение игроков обусловлено стратегиями. Стратегии, присущие игрокам носят название «модели поведения».
Есть автомат, который реагирует на ваши действия. Если вы положите в него монетку, ваш противник получит три монеты — и наоборот, если ваш противник положит монетку в автомат, вы получите 3 монетки.
В данном случае, в игре присутствуют 2 игрока — «Наивный» и «Стратег». Они могут доверять противнику, следовательно положить монетку или обмануть и не положить монетку.
Что произойдёт? Если первый игрок и его противник доверятся, то первый игрок получит 3 монеты, отдав 1 и его противник получит 3 монеты отдав 1. Если игрок номер 1 доверится, а противник обманет, то игрок ничего не получит, отдав 1 монету. Если первый игрок обманет, а противник доверится, то игрок получит 3 монеты, не потратив ни одной. Если оба участника попробуют обмануть, то они ничего не получат.
Для удобства игрока 1 обозначим И1, а игрока 2 обозначим И2.
На таблице мы наглядно видим возможные варианты развития игр, далее мы построим множество подобных таблиц. Какие выводы из таблицы мы можем сделать?
Давайте, попробуем найти самую выгодную стратегию – план, следуя которому, мы получим наибольшую выгоду. Так какая из стратегий самая выгодная?
Если противник доверится, И1, выбрав стратегию «Обмануть» получит наивысший выигрыш. Если противник обманет нас, то стратегия «Обмануть» так же выигрывает. Хоть это и жестоко, но стратегия обманывать всегда является наилучшей.
А что же такое модели поведения? Это стратегии, которые постоянно используют определённые игроки. Вспомним имена наших игроков – «Стратег» и «Наивный». Возможно, их имена были даны исходя из стратегий, которые они используют? Да, это так. И вот какие стратегии используют игроки: «Стратег» смотрит на предыдущее действие оппонента и анализирует его, «Наивный» в свою очередь всегда доверяет.
Так же необходимо упомянуть равновесие по Нешу. Равновесие по Нешу — ситуация, в которой ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив свою стратегию, если другие участники свои стратегии не меняют. Помните вступление? А именно игру “qwerty”. Если бы все пользователи гаджетов переучились на dvorak, обществу стало бы лучше, но отнюдь, переучиваться лишь нескольким игрокам не выгодно – это и есть равновесие по Нешу.
Термины и типы игр
Теория игр — раздел математической экономики. Изучает конфликты, их решение.
Игра — конфликт двух или более сторон, в котором каждая из сторон преследует свои личные интересы.
Исход игры — выигрыш, проигрыш либо ничья, так же полученное вознаграждение.
Стратегия — умозаключения, из которых исходит выбор действий в игре.
Модель поведения — присущая игроку стратегия либо стратегии.
Равновесие Неша — Так называется набор стратегий в игре для двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив свою стратегию, если другие участники свои стратегии не меняют. Часто в играх с равновесием, изменение стратегии всех участников приведёт к увеличению выигрыша, но каждому отдельно взятому участнику игры невыгодно менять стратегию.
Кооперативные и некооперативные. Игра называется кооперативной, когда игроки могут объединяться в группы, брать на себя обязательства перед другими игроками и координировать свои действия. В отличии от кооперативных игр, некооперативные — это игры, где каждый должен играть только за себя. Гибридные игры включают элементы кооперативных и некооперативных игр. Это означает, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы и в то же время попытаться получить личную прибыль.
Симметричные и несимметричные. Игра симметричная, когда игроки будут иметь соответственно одинаковые вознаграждения. Иначе говоря, если игроки поменяются местами, при этом получат выигрыши за одни и те же ходы, что и не меняясь местами. Многие изучаемые игры для двух игроков — симметричные.
С нулевой суммой и с ненулевой суммой. Игры с нулевой суммой — игры с постоянным фондом игры, доступные ресурсы игры не могут стать больше или меньше. В этом случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигравших за каждый ход. Пример такой игры — покер. В играх с ненулевой суммой выигрыш одного игрока не обязательно означает потерю другого игрока. Результат такой игры может быть меньше или больше нуля.
Параллельные и последовательные. В параллельных играх все игроки могут совершить действие в данный отрезок времени. Все стороны совершают свой ход в данный всем промежуток времени, не зная действия оппонентов, до момента завершения игры. В последовательных играх участники могут делать ходы в заранее установленном либо случайном порядке, но при этом они получают некоторую информацию о предшествующих действиях других.
С полной или неполной информацией. В игре с полной информацией участники знают все ходы, сделанные до текущего момента, равно как и возможные стратегии противников. Полная информация недоступна в параллельных играх. В игре с неполной информацией, игроки располагают лишь частичной информацией о противнике.
Игры с бесконечным числом шагов. Игры с бесконечным количеством шагов, как следует из названия, не имеют ограничения в количестве шагов. Игры с конечным количеством шагов — полная противоположность, они ограниченны количеством их.
Дискретные и непрерывные игры. Дискретные игры — игры с ограниченным количеством шагов, событий, исходов. Непрерывные игры — игры, продолжающиеся бесконечное количество времени.
Разбор игр
Игра «Ультиматум»
Играют 1 раз. Есть 2 игрока. Первый может поделить сумму 200 дециллионов франков между собой и противником. Противник может согласиться с решением первого игрока — разделить выигрыш, либо отказаться. В случае отказа, никто ничего не получает.
Давайте, классифицируем игру!
Это некооперативная игра, т.к. нельзя объединяться в группы. Это не симметричная игра, т.к. 1 и 2 игроки имеют разные действия в игре. Это игра с не нулевой суммой, ведь весь выигрыш может пропасть. Это последовательная игра, т.к. решения принимаются по очереди — 1, а затем 2 игрок. Это игра с полной информацией, т.к. второму игроку доступна информация о действиях первого игрока. Это игра с не бесконечным количеством шагов — лишь 2 шага. Это дискретная игра, т.к. число действий ограниченно.
Мы играем за 1 игрока. Как выбрать стратегию? Представим возможные развития.
n > 0: Любой разумный игрок согласится поделить выигрыш, ведь никто не откажется стать вторым или даже первым самым богатым человеком нашей планеты.
n = 0: Игрок может как согласиться, так и отказаться.
Таким образом оптимальная стратегия для 1 игрока — предложить противнику 1 дециллион франков, забрав оставшиеся 199 себе.
Игра «Охота на оленя»
Это кооперативная игра — игроки могут объединяться в группы. Это симметричная игра, т.к. игроки имеют одинаковый выбор действий. Это игра с ненулевой суммой, ведь весь выигрыш варьируется. Это параллельная игра, т.к. решения принимаются в один и тот же промежуток, произвольно. Это игра с полной информацией, т.к. обеим игрокам доступна информация о действиях друг друга. Это игра с небесконечным количеством шагов — доступен лишь 1 шаг. Это дискретная игр, т.к. число действий ограниченно.
Игра «Бототто»
Играют 2 игрока. Каждый из них может написать 3 цифры, но не в порядке убывания. Сумма цифр должна равняться 6. Игрок, 2 позиции цифр которого превосходят 2 позиции оппонента выигрывает.
Это некооперативная игра — игроки не могут объединяться в группы. Это симметричная игра, т.к. игроки имеют одинаковый выбор действий. Это игра с нулевой суммой, ведь весь выигрыш фиксирован. Это параллельная игра, т.к. решения принимаются в один и тот же промежуток, произвольно. Это игра с неполной информацией, т.к. обеим игрокам не доступна информация о действии оппонента. Это игра с не бесконечным количеством шагов — лишь 1 шаг. Это дискретная игра, т.к. число действий ограниченно.
Есть 3 варианта действий за каждого игрока (игра симметрична):
(2-2-2) или (1-2-3) или (1-1-4).
(1-1-4) против (1-2-3) влечёт ничью.
(1-2-3) против (2-2-2) влечёт ничью.
Таким образом (2-2-2) и есть оптимальная стратегия.
В этой игре так же есть равновесие Наша: любая комбинация стратегий (2-2-2) и (1-2-3).
Игра «Принцесса и Чудовище»
В тёмной, тёмной пещере… Тёмной, тёмной ночью… Тёмное, тёмное чудовище… Искало тёмную, тёмную принцессу… Тёмная, тёмная пещера имела тёмные, тёмные границы известные тёмным, тёмным игрокам…
Проще говоря, принцесса вместе с чудовищем появилась в пещере, границы которой известны как принцессе, так и чудовищу. Цель чудовища — поймать принцессу, а цель принцессы — продержаться как можно дольше. Чудовище может схватить принцессу на маленькой дистанции относительно размера пещеры. Оба игрока имеют свободу перемещения.
Это некооперативная игра — игроки не могут объединяться в группы. Это не симметричная игра, т.к. игроки не имеют одинаковый выбор действий. Это игра с нулевой суммой, ведь весь выигрыш фиксирован. Это параллельная игра, т.к. решения принимаются в один и тот же промежуток, произвольно. Это игра с неполной информацией, т.к. обеим игрокам не доступна информация о действиях друг друга. Это игра с бесконечным количеством шагов — шаги не ограниченны. Это игра с бесконечным количеством шагов, т.к. число действий не ограничено.
Эта игра не была решена до конца 1970-х годов. Но позже была найдена стратегия. Стратегия для принцессы заключается в следующем: принцесса идёт в случайную точку и ждёт в этой точке определенное количество времени, не слишком короткое и не слишком длинное. Затем принцесса перемещается в другую случайную точку и так далее.
Для монстра предлагается оптимальная стратегия поиска, при которой вся комната делится на множество маленьких прямоугольников. Монстр случайным образом выбирает прямоугольник и ищет в нём, затем случайным образом выбирает следующий прямоугольник и так далее.
Кстати, очевидная стратегия — начать со случайного конца и зигзагообразно отрезать путь отступления — неоптимальная.
Игра «Угадай 2/3 среднего»
В 2005 году датская газета под названием «Politiken» предложила своим читателям сыграть в следующую игру: любой желающий мог отправить издателю действительное число от 0 до 100, отправитель самого близкого к 2/3 от среднего арифметического числа из отправленных чисел выигрывал 5000 датских крон.
Эта игра демонстрирует разницу между абсолютно рациональным поведением и реальными действиями игроков.
Представьте, что все участники игры действуют рационально и знают, что все остальные участники рациональны. Какое число является оптимальным в этой ситуации?
Очевидно, что нет смысла называть число больше 66. (6) потому что две трети от среднего арифметического не могут быть больше. Однако, если все игроки думают таким образом, все числа будут не более 2/3*66.(6) = 44.(4). Повторяя данное рассуждение бесконечно много раз, мы придём к выводу, что единственным правильным ходом будет число 0. Поэтому, если все игроки рассуждают рационально, все они должны выбрать число 0.
Однако в реальной жизни ситуация иная. Даже если игрок рационален, он знает, что многие из его противников не рациональны, а значит ему придётся учитывать, что их числа будут больше 0. Можно предположить, что большинство пришлёт более-менее случайные числа, тогда средним будет 50, две трети от 50 приближённо равно 33. Если пойти дальше и предположить, что до числа 33 догадается достаточно много людей, то можно выбрать две трети от 33, т.е. 22. Дальнейшие итерации дадут
10 и т.д., но кажется маловероятным, что так далеко будет просчитывать достаточно существенное число игроков.
Игра «Дилемма добровольца»
Игра с дилеммой добровольца моделирует ситуацию, в которой каждый игрок может либо принести небольшую жертву, которая приносит пользу всем, либо вместо этого ждать в надежде извлечь выгоду из чужой жертвы.
Одним из примеров является сценарий, в котором электроснабжение отключилось для всего района. Все жители знают, что электроэнергетическая компания не решит проблему до тех пор, пока не позвонит и не уведомит о случившемся хотя бы один человек, заплатив за звонок. Если никто не желает звонить, отрицательный выигрыш получат все участники. Если какой-либо человек решит стать добровольцем, остальные выиграют, конечно, если не станут добровольцами.
В этой игре игроки самостоятельно решают, стоит ли жертвовать собой ради блага группы. Если никто не жертвует чем-то добровольно, все проигрывают.
Как бы мы не старались, найти выигрышную стратегию, играя с рациональными игроками, мы не можем. Но что будет в жизни? Ведь не все люди рациональны!
История Теории игр
Уже в 18 веке были предложены оптимальные решения и стратегии для математического моделирования. Некоторые задачи были рассмотрены в 19 веке Августином Августином Круно и Жозефом Луи Франсуа Бертаном.
В начале 20-го века Эммануил Ласкер, Эрнст Фиридрих Джемело и Фердинанд Феликс Эдуард Джастин Эмиль Борель выдвинули идею математической теории конфликта интересов.
Математическая теория игр происходит из неоклассической экономики. Впервые математические аспекты и приложения теории были представлены в классической книге Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна 1944 года «Теория игр и экономическое поведение».
Эта область математики нашла некоторые отражения в общественной культуре. Американский писатель и журналист Сильвия Назар в 1998 году опубликовала книгу о судьбе Джона Форбса Нэша, а в 2001 году по мотивам книги был снят фильм «Игры разума».
После окончания Политехнического института Карнеги с двумя степенями — бакалавр и магистр – Джон Нэш поступил в Принстонский университет, где он посещал лекции Джона фон Неймана. В своих трудах Нэш разработал принципы «динамики управления». Джон Нэш защитил докторскую степень по теории игр в 1949 году и был награждён Нобелевской премией по экономике.
Первые концепции теории игр анализировали антагонистические игры, когда есть проигравшие и выигравшие за их счёт игроки. Нэш разрабатывает методы анализа, в которых все участники либо выигрывают, либо проигрывают.
Эти ситуации называются «равновесием по Нэшу» или «некооперативным равновесием», когда стороны используют оптимальную стратегию, что приводит к созданию устойчивого равновесия. Игрокам выгодно поддерживать этот баланс, так как любое изменение ухудшит их ситуацию.
Данные работы Нэша внесли значительный вклад в развитие теории игр, и математические инструменты для экономического моделирования были пересмотрены. Нэш показывает, что классический подход к конкуренции Адама Смита, когда каждый сам за себя, не оптимален. Стратегии более выгодны, когда каждый пытается получить пользу для себя и сделать лучше для других.
Хотя теория игр первоначально рассматривала экономические модели, она оставалась формальной теорией в рамках математики до 1950-х годов. Но уже в 1950-х годах были приняты попытки применить методы теории игр не только в экономике, но и в биологии, кибернетике, технологиях и антропологии.
Во время Второй мировой войны и сразу после неё теорией игр серьёзно заинтересовались военные, которые увидели в ней мощный аппарат для исследования стратегических решений.
В 1960-1970 годах интерес к теории игр ослаб, несмотря на значительные математические результаты, достигнутые к тому времени. С середины 1980-х годов началось активное практическое применение теории игр, особенно в области экономики и управления.
За последние 20-30 лет важность теории игр и интерес к ней значительно возросли. Некоторые области современной экономической теории не могут быть изложены без применения теории игр.
Ряд известных учёных стали лауреатами Нобелевской премии по экономике за их вклад в развитие теории игр, которая описывает социально-экономические процессы. Джон Нэш, благодаря своим исследованиям в теории игр, стал одним из ведущих специалистов в области ведения «холодной войны», что подтверждает масштабность задач, которыми занимается теория игр.
Лауреатами премии по экономике памяти Альфреда Нобеля за достижения в области теории игр и экономической теории стали: Роберт Ауман, Райнхард Зелтен, Джон Нэш, Джон Харсаньи, Уильям Викри, Джеймс Миррлис, Томас Шеллинг, Джордж Акерлоф, Майкл Спенс, Джозеф Стиглиц, Леонид Гурвиц, Эрик Мэскин, Роджер Майерсон, Ллойд Шепли, Элвин Рот, Жан Тироль.
Применение Теории игр в жизни
Игра «Пробка»
Пробка из бутылки шампанского выстрелила так сильно, что долетела до телефона с открытым навигатором.
Представим ситуацию, что у вас есть выбор: либо ехать по шоссе в период пробки, либо выбрать пустой окружной путь, который в 2 раза длиннее, чем шоссе. Максимальная допустимая скорость в условиях пробки в 3 раза меньше максимальной допустимой скорости, без неё.
Здесь всё просто. Длина пути – x, скорость – y.
Пробка — 1 x / 1 y
Пустая дорога — 2 x / 3 y
Попробуем подставить числа.
Пробка — 50 / 10 = 5
Пустая дорога 100 / 30 = 3.3
Попробуем другие, отличные от предыдущих чисел.
Пробка — 100 / 320 = 0.3
Пустая дорога — 200 / 960 = 0.2
Согласно результатам, мы можем сделать вывод: в любом случае пустая дорога будет быстрее.
Но это ещё не всё, у этого опыта есть продолжение. Множество людей, сами того не зная, воспользуются теорией игр и выберут пустую дорогу, которая в свою очередь станет загруженной. Учтя это, возможно вы выберите первый вариант, проанализировав некоторые факторы: среднее прибывание машин, вместимость дорог, время, необходимое для образования пробки и время приближения к развилке дорог.
Игра «Игра Мафия»
Вы с друзьями играете в Мафию. Остаются в живых: «Мирный житель», «Мафиози» и «Маньяк». Какие шансы выиграть мирному? Казалось бы – никаких.
Мафия убьёт Маньяка, и Маньяк убьёт Мафию – Выиграет Мирный.
Мафия убьёт Маньяка, и Маньяк убьёт Мирного – Выиграет Мафия.
Мафия убьёт Мирного, и Маньяк убьёт Мафию – Выиграет Маньяк.
Мафия убьёт Мирного, и Маньяк убьёт Мирного – Ничья.
Если решения спонтанны и случайны, шансы мирного – 25%
Игра «Фильм»
Представите — после продолжительного рабочего дня вы возвращаетесь домой, в надежде лечь спать сразу после приезда. Поездка будет длиться 1 час 50 минут. Внезапно у вас появилось желание посмотреть фильм, а в стриминговом сервисе остался последний купон на фильм. У вас есть выбор из 2 фильмов: один из них – «Матрица», идущий 2 часа, второй – «Омерзительная Восьмёрка», идущий 3 часа. Также, последний вы очень хотели посмотреть.
Итак, попробуем понять, что нам смотреть. Важно учесть – следующие купоны на фильмы вы получите лишь через неделю.
Ваш интерес к Омерзительной Восьмёрке очень велик, но, к сожалению, мы не можем перевести интерес и желание спать в одну величину и сравнить их, т.к. это очень персонально и зависит от множества факторов: таких как: желания спать, времени пробуждения, важности завтрашних дел, возможности посмотреть фильм в иное время, уровня заряда аккумулятора телефона и т.д.
К счастью, человеческий мозг может обрабатывать огромное количество информации. Но создание универсального пути решения, даже столь простой для нас задачи – это очень сложно и требует большого запаса времени и ресурсов.
Игра «Неблагоприятная монополия»
Пожалуй, это одна из самых распространённых игр в мире экономики. Напомним, что теория игр – раздел математической экономики.
Майкрософт, Сони, Дисней… Угадайте общую черту этих корпораций? Каждый из них в той или иной степени монополист на своём рынке. Майкрософт, а именно Windows в сфере операционных систем. Сони, если быть точнее – Play Station, в сфере игровых приставок. Дисней в сфере развлекательного кино.
Все 3 компании управляют большей частью рынка, регулируя и задавая стандарты. Некогда они совершили переворот, произвели то, что стало вершиной возможностей. Можно вспомнить некоторые операционные системы Майкрософт, Play Station 2 и игру The Last of Us, мультики Диснея, популярные во всём мире.
Но, корпорации в первую очередь интересуются прибылью. Завоевав рынок и закрепив за собой статус, они начали производить достаточно посредственные продукты и услуги. Windows 8 и проблемы Windows 10, Play Station Vita, Мстители – посредственные продукты, не заслуживающие их статуса.
Клиенты, объединившись, могут заставить компании изменить стратегию – начать производить более качественную продукцию. Отказавшись от услуг и продуктов компании, клиенты могли бы сократить рынок, заставив компанию найти пути возвращения рынка.
Но, к сожалению, люди, в отличии от птиц и некоторых других созданий, не наделены способностью объединяться настолько продуктивно и слаженно.
Шансы вышеописанной ситуации очень скудны. И игроки это понимают.
Каждому участнику игры не выгодно отказываться от Windows, ведь большинство игроков привыкли к нему и им будит сложно не только разобраться, и не только установить Linux, но и понять различия между Linux Kali и Linux Ubuntu.
Каждому участнику игры не выгодно отказываться от того либо иного продукта, т.к. он знает, что личной выгоды не извлечёт.
В основе этой игры лежит «Равновесие Неша», с которым мы уже знакомы. Но давайте обновим наши возможно искажённые воспоминания!
Равновесие Неша — набор стратегий в игре для двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив свою стратегию, если другие участники свои стратегии не меняют.
Конечно, мы можем представить ситуацию, в которой прежние клиенты вышеуказанных компаний отказались от продукции наших компаний.
В этом случае Майкрософт, Сони, Дисней создали бы продукты такого качества и таких возможностей, которые и каких будит необходимо для возвращения рынка.
Возможно, ими бы стали: «Windows Infinity с открытым исходным кодом», «игры не только с Киану Ривзом и Норманом Ридусом, а со всем Голливудом, в дополнении с Квентином Тарантино в качестве режиссёра», «Мстители со смыслом и хорошим сюжетом».
Увы, но это не достижимо. Это равновесие Неша размерами исчисляемыми 100 миллионами участников, решить очень затруднительно.
Так же хотелось бы отметить некоторые детали:
Не только «наша троица» располагает таким положением. Сотни и сотни компаний играют в эту игру.
Существуют разные виды этой игры. Иногда корпорация не занимает монополистическое положение, но имеет круг «преданных» клиентов, либо лишь их продукты предоставляют определённые возможности. Пример тому – Apple.
Игра «Модель Бертрана»
Выгодно ли магазинам снижать цену на продукт? Очевидно, что нет, но не всё так просто.
Представим игру – 2 магазина продают один и тот же товар с наценкой в 20%, покупая его у производителя по одной и той же цене. Одинаковая цена = одинаковый спрос = одинаковый заработок.
Внезапно один из магазинов понижает цену. Что произойдёт? У него появится больший спрос и следственно больший заработок. Вот почему снижение цены иногда бывает прибыльно.
Игра «Узкая дорога»
Икс и Игрик едут навстречу друг другу по узкой дороге. Что бы не врезаться друг в друга обоим необходимо съехать на обочину.
Игра заключается в выборе стороны поворота. Каждый из игроков должен выбрать сторону, не совпадающую с стороной противника. Что выбрать? Для решения такой игры созданы правила дорожного движения.
Применение Теории Игр
Зачем нужна теория игр? В разделе «История» вы могли наблюдать развитие теории игр и упоминания её применения. Так давайте выясним, зачем нужна теория игр, где её применяют, и даже, как теория игр может пригодиться вам!
Биология
Для начала нужно отметить: поведение животных в значительной степени определяется генетически, также, некоторые виды поведения более соответствуют ситуации, чем другие.
Распространена частично неверная мысль «выживают наиболее приспособленные», не менее высший критерий биологической приспособленности — не выживание, а репродуктивный успех.
Животные передают свои гены следующему. Затем, более адаптируемый фенотип становится относительно большим в следующем поколении, чем менее адаптируемый фенотип. Именно этот процесс отбора изменяет комбинацию генотипа и фенотипа и может в конечном итоге привести к формированию стабильного состояния.
Новые генетические мутации происходят время от времени, спонтанно. Многие из них создают фенотип, который плохо сочетается с окружающей средой и поэтому исчезает. Однако, иногда мутации могут приводить к новым фенотипам, делая их более адаптивными к окружающей среде.
Количество более приспособленных мутаций животных будет расти в то время, как неприспособленные могут исчезнуть, а мутации, в настоящий момент не входящие в состав данной популяции, могут попытаться её захватить.
Аналогичные ситуации используются и в теории игр. Поведение можно рассматривать как стратегию взаимодействия животных с другими животными. Единственное отличие – у животных выбор стратегии не осуществляется с помощью целенаправленных решений.
Социология и психология
Теория игр применяется в социологии с целью понять, объяснить и контролировать игры с социальной составляющей. В свою очередь в психологии теория игр изучает действия каждого отдельного обособленного игрока. В той или иной форме теорию игр используют психологи, социологи, политики, маркетологи и многие другие люди.
Социологи пытаются понять причины действий групп игроков и использовать полученные знания. Они моделируют игры, проводят исследования, чтобы найти наиболее выгодную стратегию.
Политика
В политике теория игр применяется для анализа ситуаций и взаимодействий игроков (как правило стран), для решения игр и для поиска наилучших стратегий. У стран есть ряд конфликтов: территории, торговля, альянсы… Теория игр помогает достичь компромисса.
Так же теория игр применяется в голосованиях – кандидаты прибегают к разным стратегиям для увеличения шансов выигрыша.
Экономика
В экономике теория игр применяется повсеместно. Ранее вы встретили игру «Неблагоприятная монополия», это очень хороший пример игры. Экономические игры – аукционы, модели монополии и олигополии, рынки и многое другое.
В экономике существуют модели, которые характеризуют те или иные игры и являются универсальными – и могут быть применены во всех играх, подходящих по характеристике.
Неосознанное применение
Часто, мы применяем теорию игр, даже не догадываясь об этом. Мы выстраиваем логически цепочки, анализируем ситуации и придумываем стратегии, используя теорию игр, но не зная об этом. Выше, приведены игры «Фильм», «Пробка» и некоторые другие, в которых игроки играют постоянно.
Наш мозг анализирует игры, не предавая этому значение. Из этого утверждения вытекает вопрос: может ли знание теории игр пригодиться обычному человеку?
Польза знания Теории Игр
Теория игр полезна множеству разных специалистов, но нужна ли Теория Игр обычном человеку?
Практического повсеместного применения теории игр для обычного человека нет. В жизни, анализировать игру, стоя с листиком и ручкой напротив прилавка с печеньем, выбирая товар – не лучшая идея, ведь справиться с этой задачей можно и без применения методов теории игр.
Теория игр полезна, когда: