при каком значении параметра вырождения а распределения ферми дирака и бозе эйнштейна
Статическое описание квантовой системы. Распределение Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака
Квантовая статистика —раздал статистической физики, исследующий системы, которые состоят из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики.
В отличие от исходных положений классической статистической физики, в которой тождественные частицы различимы (частицу можно отличить от всех таких же частиц), квантовая статистика основывается на принципе неразличимости тождественных частиц. При этом оказывается, что коллективы частиц с целым и полуцелым спинами подчиняются разным статистикам.
Понятие о квантовой статистике Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака
Идеальный газ из бозонов —бозе-газ — описываетсяквантовой статистикой Бозе — Эйнштейна. Распределение бозонов по энергиям вытекает из так называемого большого канонического распределения Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым:
(1)
Это распределение называетсяраспределением Бозе — Эйнштейна. Здесь áNiñ — среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией Ei, k — постоянная Больцмана, Т—термодинамическая температура, m —химический потенциал; m не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц
Идеальный газ из фермионов —ферми-газ — описываетсяквантовой статистикой Ферми — Дирака. Распределение фермионов по энергиям имеет вид
(2)
где áNiñ — среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией Еi, m — химический потенциал.
В отличие от (1) m может иметь положительное значение (это не приводит к отрицательным значениям чисел áNiñ). Это распределение называется распределением Ферми — Дирака.
Если 
>>1, то распределения Бозе — Эйнштейна (1) и Ферми — Дирака (2) переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана:
(3)
(4)
Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.
Вырожденный электронный газ в металлах. Энергия и уровень Ферми.
Система частиц называетсявырожденной, если ее свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газов становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях.
Параметром вырождения называется величина А. При А > Т0, то поведение системы частиц (газа) описывается классическими законами.
Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми — Дирака. Если m0 — химический потенциал электронного газа при Т=0 К, то, согласно, среднее число áN(E)ñ электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно
(1)
Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов áN(E)ñ =f(E), где f(E) — функция распределения электронов по состояниям.
При T=0 К функция распределения áN(E)ñ = 1, если E m0. График этой функции приведен на рис. 1, а. В области энергий от 0 до m0 функция áN(E)ñ равна единице. При E=m0 она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т=0К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E=m0, заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей m0, свободны. Следовательно, m0 есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называетсяэнергией Ферми и обозначается ЕF (ЕF=m0). Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде
| Рис 1 |
(2)
Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называетсяуровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми ЕF, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.
Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT 4 К, т. с. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.
При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми — Дирака плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT) в окрестности ЕF (рис.1 б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при T=0 К.) Это объясняется тем, что при T>0 небольшое число электронов с энергией, близкой к ЕF, возбуждается вследствие теплового движения и их энергия становится больше ЕF. Вблизи границы Ферми при Е ЕF — больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т»300 К и температуре вырождения T0=3×10 4 К, — это 10 –5 от общего числа электронов.
Если (Е–ЕF)>>kТ («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми — Дирака переходит в распределение Максвелла — Больцмана. Таким образом, при (Е–ЕF)>>kT, т.е. при больших значениях энергии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда (Е–ЕF)
Фермионы и бозоны. Распределение Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна
К бозонам относятся фотоны, некоторые ядра атомов, квазичастицы: фононы, магноны, плазмоны, экситоны. Все они имеют проекцию спина либо равную нулю, либо равную целому числу 
, т.е. LSZ=±n . Фермионы и бозоны имеют различные свойства.
= 
, (1)
Поясним физический смысл химического потенциала. Известно, что первое начало термодинамики для системы с переменным числом частиц N имеет вид
отсюда изменение внутренней энергии dU=ТdS-PdV+mdN. Таким образом, слагаемое mdN учитывает изменение внутренней энергии системы за счет изменения числа частиц на dN. Пусть протекает адиабатический (dQ=ТdS=0) изохорический (dV=0) процесс, тогда dU=mdN и химический потенциал m= (dU /dN)S, V,
т. е. он характеризует изменение внутренней энергии системы dU при добавлении в систему одной частицы, когда система при этом не получала тепла и не совершала работу; m зависит от внешних параметров V, T и числа частиц N. Для фермионов m>0.
На рис. 1(а) сплошной кривой представлено распределение Ферми-Дирака.
Если Т®0, то из (1) следует:
á 
ñ = 
(3)
 |
Дата добавления: 2016-03-04 ; просмотров: 592 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
§ 235. Понятие о квантовой статистике Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака
Одним из важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как и классической, является идеальный газ. Это связано с тем, что во многих случаях реальную систему можно в хорошем приближении считать идеальным газом. Состояние системы невзаимодействующих частиц задается с помощью так называемых чисел заполнения Ni — чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния (характеризуется данным набором i квантовых чисел) частицами системы, состоящей из многих тождественных частиц. Для систем частиц, образованных бозонами — частицами с нулевым или целым
Идеальный газ из бозонов — бозе-газ — описывается квантовой статистикой Бозе — Эйнштейна. Распределение бозонов по энергиям вытекает из так называемого большого канонического распределения Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым (см. § 227):
Это распределение называется распределением Бозе — Эйнштейна. Здесь — среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией Ei, k — постоянная Больцмана, Т — термодинамическая температура, — химический потенциал; не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц. Химический потенциал находится обычно из условия, что сумма всех равна полному числу частиц в системе. Здесь 0, так как иначе среднее число частиц в данном квантовом состоянии отрицательно, что не имеет физического смысла. Он определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем), фиксированы.
Идеальный газ из фермионов — ферми-газ — описывается квантовой статистикой Ферми — Дирака. Распределе-
ние фермионов по энергиям имеет вид
где —среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией Ei, — химический потенциал. В отличие от (235.1) может иметь положительное значение (это не приводит к отрицательным значениям чисел ). Это распределение называется распределением Ферми — Дирака.
(ср. с выражением (44.4)), где
Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.
Система частиц называется вырожденной, если ее свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газов становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях. Параметром вырождения называется величина А. При А >T0, то поведение системы частиц (газа) описывается классическими законами.
Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака
Идеальный газ из бозонов — бозе-газ — описывается квантовой статистикой Бозе — Эйнштейна*. Распределение бозонов по энергиям вытекает из так называемого большого канонического распределения Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым (см. § 227):
(235.1)
Это распределение называется распределением Боэе — Эйнштейна. Здесь áNiñ — среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией Ei, k — постоянная Больцмана, T—термодинамическая температура, m —химический потенциал; mне зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц. Химический потенциал находится обычно из условия, что сумма всех áNiñ равна полному числу частиц в системе. Здесь m £ 0, так как иначе среднее число частиц в данном квантовом состоянии отрицательно, что не имеет физического смысла. Он определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем), фиксированы.
Идеальный газ из фермионов — фермн-газ — описывается квантовой статистикой Ферми — Дирака**. Распределение фермионов по энергиям имеет вид
(235.2)
где áNiñ — среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией Еi, m— химический потенциал. В отличие от (235.1) mможет иметь положительное значение (это не приводит к отрицательным значениям чисел áNiñ). Это распределение называется распределением Ферми — Дирака.
(235.3) (235.4)
Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.
Система частиц называется вырожденной, если ее свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газов становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях. Параметром вырождения называется величина А. При A > T0, то поведение системы частиц (газа) описывается классическими законами.
Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака
Идеальный газ из бозонов — бозе-газ — описывается квантовой статистикой Бозе — Эйнштейна*. Распределение бозонов по энергиям вытекает из так называемого большого канонического распределения Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым (см. § 227):
(235.1)
Это распределение называется распределением Боэе — Эйнштейна. Здесь áNiñ — среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией Ei, k — постоянная Больцмана, T—термодинамическая температура, m —химический потенциал; mне зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц. Химический потенциал находится обычно из условия, что сумма всех áNiñ равна полному числу частиц в системе. Здесь m £ 0, так как иначе среднее число частиц в данном квантовом состоянии отрицательно, что не имеет физического смысла. Он определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем), фиксированы.
Идеальный газ из фермионов — фермн-газ — описывается квантовой статистикой Ферми — Дирака**. Распределение фермионов по энергиям имеет вид
(235.2)
где áNiñ — среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией Еi, m— химический потенциал. В отличие от (235.1) mможет иметь положительное значение (это не приводит к отрицательным значениям чисел áNiñ). Это распределение называется распределением Ферми — Дирака.
(235.3) (235.4)
Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.
Система частиц называется вырожденной, если ее свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газов становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях. Параметром вырождения называется величина А. При A > T0, то поведение системы частиц (газа) описывается классическими законами.