распределение параметров потока вдоль канала произвольной формы

Распределение скоростей и изменение давления в процессе заполнения сплошным потоком

Так как аналитически решить данные уравнения невозможно, то рассмотрим задачу в более простой постановке, данной академиком Л. С. Лейбейзоном для случая движения подогретой вязкой жидкости в круглой трубе, применив ее для движения расплавленного металла в плоском канале.

В этом случае t cp = φ(х), а следовательно, и v = φ(x), так как v = φ(t).

Продифференцируем обе части первого уравнения системы (16) по ду, а второго уравнения до дх, после преобразований получим

После вычитания из первого выражении второго исключим давление p и получим новое дифференциальное уравнение третьего порядка:

(17)

Так как вязкость изменяется только вдоль оси х, то дv/дy=0 и уравнение (17) принимает вид

Разделив переменные и приравнивая обе части уравнения какой-то постоянной величине, которую для удобства дальнейшего решения представим в виде (2m) 2 /H 2 (где m — безразмерная величина, а H — толщина отливки), можем записать

(18)

Для определения зависимости v от x выделим из уравнения (18) правую часть

Отсюда после интегрирования получим

(19)

Определим закон изменения температуры вдоль оси x и перейдем от зависимости v = φ(х), выраженной уравнением (19), к зависимости v = φ(t).

Количество тепла, отдаваемое элементом потока расплавленного металла через стенки формы за время dτ,

где α — коэффициент теплоотдачи; t ф — температура стенок формы; dF— поверхность теплоотдачи, dF = 2(H + B)dx.

За это же время приток тепла вследствие конвективного переноса в данный объем металла составит

Если пренебречь рассеянием энергии, то

откуда после разделения переменных, интегрирования и подстановки граничных условий (при x = 0, t cp = t 0 ) получим для капала прямоугольного сечения

(20)

Здесь υ cp — средняя по сечению скорость потока, определяемая по уравнению неразрывности для системы «камера прессования — отливка».

После введения в уравнение (20) вместо x новой переменной x1=x/H и замены отношения температур безразмерной величиной можем записать

После замены в уравнении (19) постоянных С 1 и С 2 новыми v 0 и С и подстановки вместо x/H=x 1 получим его выражение через безразмерную величину ϑ:

(21)

Для дальнейшего расчета необходимо воспользоваться экспериментальными зависимостями v =φ(t), по которым можно построить графические закономерности v / v φ (ϑ) для определения постоянных величин m и С.

Закон изменения скорости по сечению потока υ = φ(y) находим из дифференциального уравнения (18), которое можно представить в виде

(22)

Решение уравнения (22) записывается выражением

корни которого определяются из характеристического уравнения

Решая данную систему уравнений, находим

(23)

Секундный расход для прямоугольного сечения

или после подстановки v из выражения (23) и интегрирования

Разделив обе части данного выражения на площадь отливки F отл = НВ получим

После выделения отсюда υ max и подстановки его в выражение (23) находим окончательный закон распределения скоростей в потоке металла с переменной вязкостью

Определим закон изменения давления по потоку. Из первого уравнения системы (16) при условии изменения вязкости только вдоль оси x имеем

Подставив значение υ из закона распределения скоростей (24) и продифференцировав, получим

(25)

(26)

Источник

Термодинамика потока в каналах переменного сечения

Каналы переменного сечения, в которых происходит расширение рабочего тела и увеличение скорости потока, называются соплами (конфузорами). Они применяются для получения высоких скоростей и струй ударного действия.

Каналы переменного сечения, в которых происходит сжатие рабочего тела, сопровождающееся с ростом давления, называются диффузорами. Их используют в конструкциях насосов, вентиляторов и др.

Основой вывода общих закономерностей движения рабочего тела в каналах переменного сечения является уравнение неразрывности потока, которое при стационарном режиме движения (при G=const) имеет вид

const, (2.40)

Если формулу (2.40) последовательно прологарифмировать и продифференцировать, получим уравнение неразрывности потока в дифференциальной форме

. (2.41)

Течение рабочего тела через канал (см.рис. 2.10) предполагается адиабатным . Это допущение объясняется ничтожной малостью тепловых потерь через стенки канала по сравнению с количеством теплоты, протекающей по каналу вместе с потоком рабочего тела. В данном случае справедливо применение уравнения адиабаты

const. (2.42)

Осуществляя процедуру логарифмирования и дифференцирования над этой зависимостью, находим

. (2.43)

Рассматривая совместно выражения (2.41 и 2.43) и используя уравнение (2.39), получаем

. (2.44)

. (2.45)

Последнее уравнение учитывает зависимость скорости потока w от геометрической формы канала f и представляет математическую запись закона геометрического обращения воздействия.

Характерные возможные случаи движения рабочего тела в каналах переменного сечения:

а) при М 0), а при расширении канала (df>0), скорость потока уменьшается (dw 1 имеют место следующие случаи:

При условии р₂ ≠ р_о – режимы течения газа и сопло Лаваля называются нерасчетными.

При р₂ > р_о – сопло называется недорасширенным;

Источник

11. Структура потоков и распределение времени пребывания жидкости в аппаратах

На многие процессы, главным образом тепловые, массообменные и хими­ческие, большое влияние оказывает структура потоков в аппаратах. Даже при первоначальном равномерном распределении входящих потоков (что само по себе часто представляет трудную задачу) картина их движе­ния внутри промышленного аппарата довольно сложна. Как правило, скорости потока неодинаковы по сечению аппарата, поперечному к основ­ному направлению движения, причем распределение, или профиль, ско­ростей изменяется от сечения к сечению по длине (высоте) аппарата. Частицы потока движутся по криволинейным, часто довольно сложным траекториям, иногда и в направлении, противоположном основному напра­влению потока. Это приводит к тому, что некоторые частицы могут быстро «проскочить» через аппарат, например в случае каналообразования и «байпасирования» части потока. Время пребывания этих частиц меньше среднего, в то время как другие задерживаются в аппарате дольше; зачастую в нем образуются застойные зоны, в которых время пребывания частиц оказывается весьма значительным.

Для полого аппарата (рис.II-27), например, время пребывания частиц, движущихся по траекториям, обозначенным стрелками 1, суще­ственно меньше времени пребывания частиц, которые циркулируют по стрелкам 2 или попадают в застойные зоны 3.

Другим примером, иллюстрирующим различие времен пребывания, может служить рассмотрение профиля скоростей при движении жидкости по трубе (см. рис. II-10). Различия в скоростях по сечению наи­более велики при ламинарном течении. Поэтому частицы, движущиеся вблизи оси трубы, обгоняют частицы, движущиеся ближе к ее стенкам, и находятся в трубе значительно меньшее время, чем последние.

При тур­булентном течении скорости распределены по сечению трубы более равно­мерно. Однако и в данном случае время пребывания разных частиц жид­кости неодинаково, что обусловлено турбулентными пульсациями, под действием которых происходит перемешивание частиц, или турбу­лентная диффузия: различные частицы движутся в разных направлениях по отношению к движению основной массы потока, в том числе и в поперечном (радиальная диффузия), и в продольном (осевая диффузия). Осевая диффузия может, как совпадать по напра­влению с движением основной массы потока, так и быть направлена в обратную сторону, в результате чего возникают различия во времени пребывания частиц жидкости. Радиальная же диффузия, выравнивая профиль скоростей, наоборот, сближает время пребывания разных частиц.

Во многих промышленных аппаратах картина распределения скоро­стей (поле скоростей) значительно сложнее, чем в приведенных выше отно­сительно простых примерах. Поле скоростей, в свою очередь, в значительной степени определяет профиль температур и концентраций от которых, как будет показано позже, зависит скорость тепловых и массообменных процессов и, в частности, их движущая сила. Те же факторы сильно влияют на скорость химических (реакционных) процессов.

Для частиц потока, наиболее быстро проходящих аппарат, время пре­бывания в нем недостаточно для достижения требуемой полноты протека­ния процесса. В то же время для частиц, попавших в застойные зоны, время пребывания слишком велико, и эти участки аппарата используются неэффективно, а иногда в них могут возникать также нежелательные процессы (например, побоч­ные реакции).

Игнорирование действительных полей скоро­стей, температур и концентраций и применение упрощенных представлений о структуре потоков обычно приводит к существенным ошибкам при расчете производственных аппаратов. Без учета структуры потоков в большинстве случаев невоз­можно использовать экспериментальные данные, полученные на установках лабораторного или полузаводского масштаба, для проектирования промышленной аппаратуры. Масштаб установки и даже небольшие изменения конструкции обычно сильно сказываются на структуре потоков. Это вызывает, как правило, снижение эффективности процесса в более крупных аппаратах по сравне­нию с ожидаемой на основании лабораторных опытов. Поэтому при масштабном пере­ходе от лабораторных установок к полузавод­ским и затем к промышленным целесообразно проводить гидравли­ческое моделирование. Оно заключается в изучении движе­ния потоков на «холодных» моделях, имеющих основные размеры моделируемых аппаратов, но изготовленных из более дешевых материалов. Как правило, эксперименты на таких моделях осуществляют не при рабочих, а при более низких температурах, и не с рабочими, а с более удобными для испытаний веществами (воздух, вода и т.п.). Наиболее точные данные о структуре потоков можно было бы получить путем непосредственного измерения скоростей во многих точках внутри аппарата или его модели. Однако выполнение таких измерений для аппа­ратов сложной конструкции представляет собой весьма трудную и Дорого­стоящую, а часто и практически неосуществимую задачу. Кроме того, даже в случае установления полной картины распределения потока в аппа­рате не всегда удается на практике использовать эти данные для расчета проводимого в аппарате процесса Вследствие того что старость является функцией всех координат, уравнения, характеризующие поле скоростей, сложны, и часто их решение в совокупности с уравнениями для ско­ростей тепло- и массопередачи и химических реакций невозможна или сильно затруднено.

По этим причинам более удобно, а зачастую практически единственно возможно, получать не непосредственную, а косвенную информацию о поле скоростей путем изучения распределения отдельных частиц жидко­сти по временам их пребывания в аппарате, т.е. выявлять, какая доля потока находится в аппарате то или иное время. Для этого, например, вводят в поток, поступающий в аппарат, примесь какого-либо вещества — индикатора и, анализируя во времени, содержание данного вещества в выходящей из аппарата «помеченной» жидкости, находят продолжи­тельность пребывания в аппарате отдельных ее частиц. В качестве инди­каторов применяют различные краски, растворы солей, изменяющих элек­тропроводность жидкости, радиоактивные препараты и другие вещества, концентрацию которых легко измерить. Отклик на возмущение, внесенное при этом на входе в аппарат вводом индикатора, представляют в. виде кривых зависимости концентрации его в выходящей жидкости от вре­мени, которые называют выходными кривыми, или кри­выми отклика (см. ниже).

Данные о распределении времени пребывания получить проще, чем выявить полную картину распределения скоростей. Для этого достаточно провести соответствующие измерения лишь на входе и выходе потока. Кроме того, легче оказывается количественная трактовка получаемых результатов для расчета технологического процесса и управления им, так как здесь приходится иметь дело с функцией уже не нескольких, а единственной переменной — времени. При этом знания распределения времени пребывания частиц жидкости во многих случаях вполне доста­точно для расчетных целей. Наконец, данные о распределении времени пребывания нередко позволяют приближенно судить и о самом механизме движения потока, т.е. о его структуре внутри аппарата.

Пометим, например, порцию поступающей в какой-то момент в аппа­рат жидкости путем мгновенного ввода во входящий поток по всему его поперечному сечению какой-либо краски (импульсный ввод). Через неко­торый промежуток времени, анализируя содержание краски в потоке на выходе, мы обнаружим, что вся краска так же мгновенно; выйдет из аппа­рата. Этот результат однозначно будет свидетельствовать о такой струк­туре потока внутри аппарата, при которой все частицы жидкости движутся параллельно друг другу с одинаковыми скоростями, не обгоняя основную массу потока и не отставая от нее. Поток движется как бы аналогично твердому поршню и поэтому называется поршневым. Аппараты с поршневым движением жидкости называют аппаратами идеаль­ного вытеснения.

Времена пребывания т всех частиц потока в аппарате идеального вытес­нения одинаковы и равны среднему времени пребывания _в (сек), которое определяется частным от деления длины l их пути на линейную скорость w жидкости, или

(II,104)

где S — площадь поперечного сечения аппарата, м 2 ; V — объем аппарата (для двухфаз­ного потока — объем, занимаемый потоком рассматриваемой фазы), м 3 ; Q — объемный рас­ход жидкости (фазы), м 3 /сек.

Вид кривой отклика при идеальном вытеснении представлен на рис. II-36, а. Начиная с момента  = 0, когда индикатор был введен во входящий поток, и до момента  = ₀, индикатор не обнаруживается в выходящем из аппарата потоке. В момент же времени  = ₀ концентрация с индикатора на выходе мгновенно возрастает (теоретически — до беско­нечности), а затем сразу же вновь снижается до нуля. Индикатор про­ходит через аппарат неразмываемым тончайшим слоем (как бы поверхностью твердого поршня), и сигнал, фиксируемый на выходе в момент ₀, в точности соответствует сигналу на входе в момент  = 0.

Идеальное вытеснение жидкости в чистом виде никогда не реализуется на практике. Поэтому аппарат идеального вытеснения является идеа­лизированной моделью. Однако в ряде случаев поток в реальных аппаратах более или менее приближается к поршневому. Сравни­тельно близки к аппарату идеального вытеснения, например, аппараты, в которых жидкость (газ) движется по длинным трубкам, заполненным зернистыми материалами (катализатором, адсорбентом).

В большинстве случаев структура потоков в аппаратах более или менее значительно отличается от структуры, отвечающей идеальному вытесне­нию. Это может быть следствием различных причин, в том числе — пере­мешивания частиц жидкости вдоль оси аппарата, различия скоростей по поперечному сечению ламинарного потока, байпасирования части потока вследствие каналообразования, образования застойных зон и т.д.

Перемешивание вдоль оси аппарата при этом, в свою очередь, может вызываться самыми разнообразными причинами. Оно может происходить под действием механической мешалки или вследствие естественной конвекции, обусловленной разностью плотностей жидкости в различных точках (например, в выпарных аппаратах с естественной циркуляцией, опи­санных в главе IX). Оно может быть также обусловлено турбулентной диффузией или увле­чением частиц потока одной из фаз потоком другой фазы при их противоточном взаимодей­ствии (например, при захвате некоторой доли движущейся вниз жидкости поднимающимися пузырями газа при барботаже) и другими причинами.

Однако какой бы ни была причина отклонений от идеального вытесне­ния, они проявляются в том, что времена пребывания т различных частиц уже неодинаковы и отличаются от среднего времени пребывания ₀ опре­деляемого по уравнению (II,104). Одни частицы обгоняют основную массу потока и появляются на выходе из аппарата раньше ее, другие задержи­ваются в аппарате.

Независимо от механизма любое отклонение от идеального вытеснения часто условно называют перемешиванием, или обратным перемешиванием. В этом смысле противоположной аппарату идеального вытеснения идеализированной моделью непрерывно действую­щих аппаратов считают аппарат идеального перемешива­ния, или идеального смешения.

Если в какую-то порцию непрерывно входящего в такой аппарат потока ввести определенное количество М₀ краски, то она мгновенно равномерно окрасит всю жидкость (или фазу — при двухфазном потоке) содержа­щуюся в аппарате. Концентрация (с₀) индикатора в любой точке аппарата в этот момент будет равна

(II,105)

После этого концентрация с краски в аппарате начнет убывать во вре­мени, так как краска непрерывно выносится потоком, а входящая жид­кость краски уже не содержит. Однако в любой момент концентрация краски остается одинаковой во всех точках аппарата.

Из соответствующей кривой отклика (рис. II-28,б) видно, что большая часть индикатора выходит в этом случае из аппарата за время между моментом его ввода ( = 0) и моментом, соответствующим среднему вре­мени пребывания _в, определяемому по уравнению (II,104). Для вымыва­ния остальной части индикатора теоретически требуется бесконечное время.

Для описания закона изменения величины с во времени составим урав­нение материального баланса по индикатору. Пусть за произвольный про­межуток времени d из аппарата выходит (вымывается) количество инди­катора dM. Это приводит к изменению (−dc) концентрации индикатора в объеме V, причем минус указывает на убывание концентрации. Тогда

где Q — объемный расход потока через аппарат, м 3 /сек. Отсюда с учетом выражения (II,104)

Это уравнение может быть проинтегрировано в пределах от с₀ (при  = 0) до с (в произвольный момент времени ):

В результате интегрирования получим зависимость

(II,106)

Концентрацию индикатора и время можно выразить в виде относи­тельных (безразмерных) величин, приняв за масштаб концентрации зна­чение с₀, определяемое уравнением (II,104), за масштаб времени — сред­нее время пребывания ₀, определяемое уравнением (II,93), Обозначив С = c/c₀ и  = /₀, получим

(II,106a)

Примером аппарата, условия в котором близки к идеальному смеше­нию, является сосуд с интенсивно работающей мешалкой, через который непрерывно движется маловязкая жидкость при небольшом ее расходе. Близко к идеальному смешению и движение твердой фазы в кипящем слое зернистого материала при однородном псевдоожижении.

Картина движения потоков в большинстве непрерывно действующих аппаратов не отвечает ни идеальному вытеснению, ни идеальному смеше­нию. По структуре потоков эти аппараты можно считать аппаратами про­межуточного типа. Примерный вид кривой отклика для таких аппаратов представлен на рис. II-36, в. Введенный мгновенно (импульсом) во входящий поток индикатор появляется на выходе позднее, чем при идеальном смешении — через некоторое время _н после момента ввода  = 0, Его концентрация на выходе сначала увеличивается во времени до момента _max и лишь затем начинает уменьшаться, стремясь к нулю при   . Кривая отклика на рис. II-28,в тем ближе по форме к кривым на рис. II-28,а или II-28,б, чем ближе движение потока в аппарате к условиям идеального вытеснения или идеального смешения соответ­ственно,

Для математического описания распределения времени пребывания жидкости в общем случае снова составим уравнение материального баланса по индикатору. Пусть за бесконечно малый промежуток d между произвольным моментом времени  и ( + d) из аппарата выйдет коли­чество индикатора dM. Если концентрация индикатора в выходящем потоке равна с, то за время d поток уносит из аппарата с Qd индикатора. Следовательно

Для определения всего количества М₀ индикатора, введенного в аппа­рат и полностью удаляемого из него за время   , проинтегрируем это выражение в соответствующих пределах:

(II,107)

Переходя к безразмерным концентрации С = с/с₀, времени  = /₀ и подставляя в уравнение (II,107) с = Сс₀ и  = ₀, получим

Подставляя М₀ =с₀V, согласно зависимости (II,104), и Q = V/₀, в соответствии с выражением (II,105), имеем

(II,108)

Кривые отклика чаще всего строят не в координатах с −  (рис. II-29), а в безразмерных координатах С − . При этом площадь под кривой отклика (рис. II-29) выражает, в соответствии с уравнением (II,108), общее относительное количество индикатора (или всей «помеченной» жидкости), принимаемое за единицу. В то же время величина Cd (заштрихо­ванная накрест площадка на рис. II-29) характеризует долю общего количества индикатора, удаляемую из аппарата за время d, или долю жидкости, пребыва­ние которой в аппарате соответ­ствует промежутку времени от  до ( + d).

Зависимость концентрацииС от времени  называется диф­ференциальной функ­цией распределения времени пребывания жидкости в аппарате Частный вид этой функции для аппарата идеаль­ного смешения выражен уравнением (II,106а).

Зависимость от  величины , характеризующей долю индикатора, вышедшего из аппарата за время от 0 до произвольного момента , назы­вают интегральной функцией распределения. В частности, заштрихованная параллельными линиями площадь на рис. II-37 характеризует долю индикатора, вышедшего из аппарата к моменту времени, равному среднему времени пребывания ₀, т.е. долю жидкости, время пребывания которой в аппарате не больше ₀.

Функция распределения времени пребывания потока в аппарате является типичной функцией распределения случайной величины. Для нахождения среднего значения времени пребывания, как и для любой случайной величины, используется зависимость

(II,109)

Вместе с тем, согласно выражению (II,104), среднее время пребывания ₀ = V/Q, откуда

(II,109a)

Уравнение (II, 109а) применяют для определения объема V, занимаемого в двухфаз­ном потоке внутри аппарата одной из фаз, расход которой составляет Q, например общего объема капель (дисперсной фазы) и сплошной фазы для системы жидкость — жидкость в экстракционных аппаратах и т.п.

Пользуясь данными о распределении времени пребывания, можно решать и другие прикладные задачи. Так, с помощью уравнений (II, 109а) или (II,107) можно найти расход жидкости через трубопровод, если обычные методы, описанные выше, нельзя применить.

При проведении химических, массообменных или тепловых процессов в аппаратах идеального вытеснения концентрации рабочих веществ (или температуры) непрерывно меняются от входа к выходу по длине (высоте) аппарата. В аппаратах идеального смешения происходит полное выравни­вание концентраций (или температур) по всему аппарату, причем в любой точке они равны значениям соответствующих величин на выходе потока.

Для обоих этих случаев методы расчета скоростей процессов и размеров соответствующих аппаратов при известных кинетических коэффициентах хорошо разработаны. Они будут подробно описаны в последующих главах. Значительно труднее описать и учесть реальное поле концентраций или температур при расчете аппаратов промежуточного типа.

Для описания действительной картины изменения концентраций (или температур) в этих аппаратах необходимо иметь какую-то количественную меру степени перемешивания, т.е. степени отклонения реальной гидро­динамической структуры потока от структуры, отвечающей идеальному вытеснению или идеальному смешению. Чтобы найти такую меру, выра­женную численными значениями какого-либо одного или нескольких пара­метров, обычно прибегают к описанию структуры потока при помощи той или иной упрощенной модели, или физической схемы, более или менее точно отражающей действительную физическую картину движения потока. Этой идеализированной физической модели отвечает математическая модель — уравнение или система уравнений, посредством которых расче­том определяется вид функции распределения времени пребывания. Далее сопоставляют реально полученный опытным путем (из кривых отклика) вид функции распределения с результатом расчета на основании выбран­ной идеальной модели при различных значениях ее параметра (или пара­метров). В результате сравнения устанавливают, соответствует ли с доста­точной степенью точности выбранная модель реальной гидродинамической структуре потока в аппарате данного типа, т.е. адекватна ли модель объекту. Затем находят те численные значения параметров модели, при которых совпадение опытной и расчетной функций распределения наи­лучшее. Указанные значения в дальнейшем применяют при расчете про­цесса в конкретном аппарате. Обобщая эти данные, получают уравнения для расчета значений параметров модели при разных гидродинамических условиях работы и размерах аппаратов данного типа.

Внастоящее время для описания структуры потоков в аппаратах про­межуточного типа наиболее широко используют ячеечную и диффузион­ную модели.

В соответствии с ячеечной моделью аппарат рассматривается как бы состоящим из ряда последовательно соединенных по ходу потока одинаковых ячеек, или каскада ячеек, в каждой из которых поток идеально перемешан.

Наиболее близко этой модели от­вечает поток в реальном каскаде аппа­ратов с мешалками (рис. II-30, а). Применение ячеечной модели дает хоро­шие результаты также для массообменных аппаратов ступенчатого типа, например для тарельчатых колонн, описанных в последующих главах, и для других аппаратов, секционированных по ходу потока.

Единственным параметром ячеечной модели является число п таких ячеек, на которые нужно мысленно разбить аппарат, чтобы полу­чить реально достигаемую в нем сте­пень перемешивания потока. Если число ячеек оказывается близким еди­нице, то движение потока в аппарате приближается к идеальному смеше­нию.

Функция распределения времени пребывания для ячеечной модели в частном случае п = 1 описывается уравнением (II,106 а). Используя ме­тод, аналогичный примененному при выводе этого уравнения, для любого значения п находят функцию распределения общего вида

(II,110)

Вид кривых отклика, соответствующих этой функции распределения при различных значениях п, показан на рис. II-30, б. С увеличением числа ячеек структура потока в аппарате все более отклоняется от идеального смешения и приближается к идеальному вытеснению. Идеальное вытесне­ние достигается при п  . Таким образом, аппарат идеального вытесне­ния можно представить как бесконечную последовательность ячеек иде­ального смешения.

В основу диффузионной модели положено допущение о том, что для математического описания процесса перемешивания потока может быть использовано уравнение, аналогичное уравнению диффузии в дви­жущейся гомогенной среде. Значит, эта модель исходят из приближенной аналогии между перемешиванием и диффузией. Согласно диффузионной модели, всякое отклонение распределения времени пребывания частиц потока от распределения при идеальном вытеснении, независимо от при­чины, вызвавшей это отклонение, считают следствием продольного перемешивания (вдоль оси потока), условно описываемого уравнением диф­фузии с некоторым фиктивным коэффициентом диффузии.

В соответствии с принятой аналогией, если в движущемся (например, по трубе) потоке окрасить тонкий поперечный слой жидкости; то краска будет размываться в обе стороны от движущегося окрашенного сечения. Как и в случае обычной молекулярной диффузии, размывание краски в этих направлениях обусловлено наличием градиента ее концентрации. Однако скорость такого размывания больше, чем в случае молекулярной диффузии. Поэтому для количественной характеристики скорости про­дольного перемешивания вместо коэффициента диффузии D, используе­мого в известных законах Фика, вводят некоторый фиктивный коэффициент диффузии Е, называемый также коэффи­циентом продольного перемешивания.

Диффузия в движущемся потоке описывается уравнением (X,19), подробно рассматриваемым в главе X. Записывая это уравнение в прило­жении к рассматриваемому случаю однонаправленной диффузии инди­катора (лишь вдоль оси х потока) и заменяя в нем коэффициент молеку­лярной диффузии D коэффициентом продольного перемешивания Е, получим

(II,111)

Решение уравнения (II,111) для случая мгновенного ввода индикатора во входящий в аппарат поток приводит к следующему выражению функ­ции распределения времени пребывания:

(II,112)

Здесь Ре’_м — безразмерный комплекс величин, выражаемый соотно­шением

(II,113)

где l — длина или высота аппарата.

Этот комплекс называют критерием Пекле для про­дольного перемешивания.

Такое название комплекс wl/E получил потому, что его выражение аналогично диф­фузионному критерию Пекле Ре’ = wl/D, применяемому при расчете процессов массопередачи, в котором величина D заменена на Е. Нередко во избежание путаницы комплекс wl/E называют также критерием Боденштейна и обозначают сим­волом Во.

Критерий Ре’_м является единственным параметром диффу­зионной модели. По его численному значению можно судить о структуре потока, определяя количественно ее отклонения от идеального вытеснения, при котором Ре’_м → , или от идеального смешения, кото­рому отвечает Ре’_м = 0. Построив, пользуясь уравнением (II,10), диффе­ренциальные функции распределения при различных значениях Ре’_м, можно убедиться, что вид соответствующих кривых меняется с изменением Ре’_м приблизительно так же, как при изменении п в случае применения ячеечной модели (рис, II-30, б).

Значение Ре’_м, как и п для ячеечной модели, зависит от конструкции и размеров аппарата и от гидродинамических условий в нем. Оно опреде­ляется также путем сопоставления опытных кривых отклика с рассчитан­ными по уравнению (II,112) для различных значений Ре’_м.

Диффузионную модель используют преимущественно для описания структуры потоков в аппаратах, не разделенных на ступени, например в массообменных аппаратах с непрерывным контактом фаз.

Когда значения Ре’_м или п достаточно велики (равны или больше десяти), расчеты на основе диффузионной и ячеечной моделей обычно дают близкие результаты; поэтому в таких условиях оказывается безраз­личным, какую из этих моделей применять.

Ячеечная и диффузионная модели, хотя и широко используются на практике, но не могут точно описать структуры потоков во всех реальных аппаратах. Поэтому кроме них разработаны другие модели; некоторые из них характеризуются не одним, а большим числом параметров. Такова, например, двухпараметрическая диффузионная модель, параметрами которой являются коэффициенты перемешивания в осевом и радиальном направлениях.

Источник