регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам

Нелинейные регрессии по оцениваемым параметрам

К данному классу регрессий относятся уравнения, в которых зависимая переменная нелинейно связана с параметрами. Примером таких нелинейных регрессий являются функции:

• степенная – ;

• показательная – ;

• экспоненциальная – .

Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с по­мощью соответствующих преобразований может быть при­ведена к линейному виду (например, логарифмированием и заменой переменных). Если же нелинейная модель внут­ренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции и для оценки её параметров используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особен­ностей применяемого итеративного подхода.

Примером нелинейной по параметрам регрессии внут­ренне линейной является степенная функция, которая ши­роко используется в эконометрических исследованиях при изучении спроса от цен: , где у — спрашиваемое количество; х — цена;

Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, т. к. включает параметры а и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логариф­мирование данного уравнения по основанию е приводит его к линейному виду .Заменив пе­ременные и параметры, получим линейную регрессию, оцен­ки параметров которой а и b могут быть найдены МНК.

Ши­рокое использование степенной функции связано это с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолко­вание, т. е. он является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %.

Коэффициент эластичности можно определять и при наличии других форм связи, но только для степенной функ­ции он представляет собой постоянную величину, равную па­раметру b.

По семи предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений ( Х, млн. руб. ).

1. Для характеристики Y от Х построить следующие модели:

·линейную (для сравнения с нелинейными),

· 2.Оценить каждую модель, определив:

·среднюю относительную ошибку,

· 3.Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

· 4.Рассчитать прогнозные значения результативного признака по лучшей модели, если объем капиталовложений составит 89,573 млн. руб.

· 5.Результаты расчетов отобразить на графике.

Решение:

1. Построение линейной модели парной регрессии

Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:

;

Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений и объемом выпуска продукции обратная, достаточно сильная.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: .

Таблица 3.5

t	y	x	y´x	x´x				2
13.43	180.36	-17.4	303.8	60.2	3.84	6.000
5.43	29.485	-13.4	180.36	-1.96	-3.500
1.43	2.0449	0.57	0.3249	50.3	1.74	3.346
-2.57	6.6049	-5.43	29.485	53.6	-5.56	-11.583
-0.57	0.3249	2.57	6.6049	49.2	0.84	1.680
-4.57	20.885	14.57	212.28	42.6	3.44	7.478
-12.6	18.57	344.84	40.4	-2.36	-6.211
И Итого	0.01	397.71	1077.7	-0.02	39.798
ср.знач	50.57	81.43	4033.14	6784.57	5.685
диспер	56.8

Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 3.5

Уравнение линейной регрессии имеет вид: .

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции уменьшится в среднем на 550 тыс. руб. Это свидетельствует о неэффективности работы предприятий, и необходимо принять меры для выяснения причин и устранения этого недостатка.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

.

Вариация результата (объема выпуска продукции) на 82,2 % объясняется вариацией фактора (объемом капиталовложений).

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью -критерия Фишера:

для a = 0,05,

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. .

Определим среднюю относительную ошибку:

В среднем расчетные значения ŷ для линейной модели отличаются от фактических значений на 5,685 %.

2.Построение степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной модели имеет вид: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Обозначим . Тогда уравнение примет вид: – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.6

1,8062	1,8062	3,2623	3,2623	61.294	2.706	4.23	7.322
1,7482	1,8325	3,2036	3,3581	58.066	-2.066	3.69	4.270
1,7160	1,9138	3,2841	3,6627	49.133	2.867	5.51	8.220
1,6812	1,8808	3,1621	3,5375	52.580	-4.580	9.54	20.976
1,6990	1,9243	3,2693	3,7029	48.088	1.912	3.82	3.657
1,6628	1,9823	3,2960	3,9294	42.686	3.314	7.20	10.982
1,5798	2,0000	3,1596	4,0000	41.159	-3.159	8.31	9.980
итог	11,8931	13,3399	22,6370	25,4528	0,51	42.32	65.407

Уравнение регрессии будет иметь вид :

.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

.

Получим уравнение степенной модели регрессии:

.

Определим индекс корреляции:

.

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной. Коэффициент детерминации: 0.836

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,6 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

;

для a = 0,05,

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. .

Средняя относительная ошибка

.

В среднем расчетные значения ŷ для степенной модели отличаются от фактических значений на 6,04 %.

3.Построение показательной функции

Уравнение показательной кривой: . Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: . Обозначим , , .

Получим линейное уравнение регрессии: .

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.7.

t
1,8062	115,60	0,1072	0,0115	-17,43	303,76	60,6	11,464	3,3859	5,290
1,7482	118,88	0,0492	0,0024	-13,43	180,33	3,9632	-1,991	3,555
1,7160	140,71	0,0170	0,0003	0,57	0,33	49,7	5,4221	2,3285	4,478
1,6812	127,77	-0,017	0,0003	-5,43	29,47	53,1	25,804	-5,08	10,583
1,6990	142,71	0,0000	0,0000	2,57	6,61	48,6	2,0031	1,4153	2,831
1,6628	159,62	-0,036	0,0013	14,57	212,33	42,5	11,933	3,4544	7,509
1,5798	157,98	-0,119	0,0142	18,57	344,90	40,7	7,3132	-2,704	7,117
иИтог	11,8931	963,28	0,0300	1077,7	67,903	0,8093	41,363
ср знч	50,57	1,6990	81,4	137,61	5,909

Уравнение будет иметь вид: Y=2,09-0,0048 . Перейдем к исходным переменным и , выполнив потенциирование данного уравнения:

.

Определим индекс корреляции

.

Связь между показателем и фактором можно считать достаточно сильной.

Вариация результата (объема выпуска продукции) на 82,8 % объясняется вариацией фактора (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

для a = 0,05, .

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. .

Средняя относительная ошибка:

В среднем расчетные значения ŷ для показательной функции отличаются от фактических на 5.909 %.

4. Построение гиперболической функции

Уравнение гиперболической функции: .

Произведем линеаризацию модели путем замены . В результате получим линейное уравнение .

Рассчитаем его параметры по данным таблицы 3.8

t
0,0156	1,0000	0,0002441	13,43	180,33	61,5	2,489	6,1954	3,889
0,0147	0,8235	0,0002163	5,43	29,47	58,2	-2,228	4,9637	3,978
0,0122	0,6341	0,0001487	1,43	2,04	49,3	2,740	7,5089	5,270
0,0132	0,6316	0,0001731	-2,57	6,61	52,7	-4,699	22,078	9,789
0,0119	0,5952	0,0001417	-0,57	0.32653	48,2	1,777	3,1591	3,555
0,0104	0,4792	0,0001085	-4,57	20,90	42,9	3,093	9,5648	6,723
0,0100	0,3800	0,0001000	-12,57	158,04	41,4	-3,419	11,69	8,997
иИтого	0,0880	4,5437	0,0011325	397,71	354,2	-0,246	65,159	42,202
ср знач	50,57	0,0126	0,6491	0,0001618	6,029

.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

.

Определим индекс корреляции

.

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,5 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

для a = 0,05, .

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. .

Средняя относительная ошибка

В среднем расчетные значения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 6,029 %.

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.

Таблица 3.9.

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но большее значение – критерия Фишера и большее значение коэффициента детерминации имеет гиперболическая модель. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

Показатель R 2 называется индексом детерминации. Он выражает долю факторной дисперсии, т. е. характеризует, какая часть общей вариации результативного признака у объясняется изучаемым фактором х.

Коэффициент детерминации используется для количественного определения характеристики, связывающей две переменные. Дает пропорцию общего изменения одной переменной (Y), которую можно объяснить изменением второй переменной (Х). Иногда R 2 =1, но при этом связь отсутствует, поскольку Х и Y связаны с третьей переменной (Х₂).Теоретическое корреляционное отношение: .

Индекс корреляции R определяется по формуле:

.

Источник