среднее арифметическое описывается при помощи всего двух параметров меры положения и меры рассеяния

МЕРЫ ПОЛОЖЕНИЯ И МЕРЫ РАССЕЯНИЯ ЧАСТОТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКА.

Ряды распределения описываются разными числовыми характеристиками, которые называются мерами. Меры – это числовые характеристики вариационного ряда.

Все меры делятся на три основные группы:

2. Меры рассеяния (разброса).

1. К мерам положения относятся различные средние значения.

Основные меры положения:

1. Мода Мо.

2. Медиана Ме.

3. Средняя арифметическая простая

4. Средняя арифметическая взвешенная

Более редко используются:

5. Средняя геометрическая.

6. Средняя гармоническая.

7. Средняя квадратичная.

8. Средняя кубическая.

Для нахождения медианы нужно:

1. Упорядочить (ранжировать) ряд в порядке возрастания числовых значений.

2. Найти номер медианы по формулам:

для нечетного числа вариантов (нечетного объема выборки) ;

для четного числа вариантов (четного объема выборки) .

Средняя арифметическая простая — величина, полученная суммированием числовых значений всех вариантов с последующим делением суммы на объем совокупности. Средняя арифметическая простая находится по формуле:

Средняя арифметическая взвешенная – величина, полученная суммированием произведений числовых значений вариантов на их частоты с последующим делением суммы на объем совокупности. Формула вычисления средней взвешенной:

Пример: Обследовано 10 семей с числом детей в семье от 1 до 3 человек. Среднюю арифметическую числа детей в семье вычисляем как среднюю взвешенную соответственно данным таблицы:

Меры рассеяния характеризуют разброс числовых значений вариантов в генеральной или выборочной совокупности относительно средних значений.

К мерам рассеяния относятся:

1. Вариационный размах R;

2. Индивидуальное отклонение d;

4. Стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение) σ, s ;

5. Коэффициент вариации V.

Основное свойство индивидуальных отклонений: сумма всех индивидуальных отклонений равна нулю.

Дисперсия генеральной совокупности обозначается σ 2 ( выборочной s 2 ) и вычисляется по формуле:

σ 2 = .

Стандартное отклонение генеральной совокупности обозначается символом σ ( выборки s ) и вычисляется по формуле:

Коэффициент вариации— это относительная мера рассеяния, равная отношению стандартного отклонения s к средней арифметической .

Коэффициент вариации обозначается символом V, вычисляется в долях единицы или в процентах по формулам:

.

Кроме вышеприведенных числовых характеристик вариационного ряда в статистике существуют и другие, но они в медицине практически не используются.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Источник

Описательные статистики

Упорядочим эти величины по возрастанию, иными словами, построим вариационный ряд:

Х₍₁₎ x более важны, чем другие. Мы присоединяем вес w_i к каждому из значений x_i в нашей выборке для то­го, чтобы учесть эту важность.

Например, предположим, что мы заинтересованы в определении средней продолжительности госпита­лизации в каком-либо районе и знаем средний реа­билитационный период больных в каждой больнице. Учитываем количество информации, в первом при­ближении принимая за вес каждого наблюдения число больных в больнице.

Взвешенное среднее и среднее арифметическое идентичны, если каждый вес равен единице.

Размах (интервал изменения)

Размах — это разность между максимальным и минимальным значениями переменной в наборе данных; этими двумя величинами обозначают их разность. Обратите внимание, что размах вводит в заблуждение, если одно из значений есть выброс (см. раздел 3).

Размах, полученный из процентилей

Что такое процентили

Предположим, что мы расположим наши данные упорядоченно от самой маленькой величины перемен­ной X и до самой большой величины. Величина X, до которой расположен 1% наблюдений (и выше которой расположены 99% наблюдений), называется первым процентилем.

Величина X, до которой находится 2% наблюдений, называется 2-м процентилем, и т. д.

Применение процентилей

Мы можем добиться такой формы описания рас­сеяния, на которую не повлияет выброс (аномальное значение), исключая экстремальные величины и определяя размах остающихся наблюдений.

Межквартильный размах — это разница между 1-м и 3-м квартилями, т.е. между 25-м и 75-м процентилями. В него входят центральные 50% наблюдений в упорядоченном наборе, где 25% наблюдений находятся ниже центральной точки и 25% — выше.

Интердецильный размах содержит в себе центральные 80% наблюдений, т. е. те наблю­дения, которые располагаются между 10-м и 90-м процентилями.

Мы часто используем размах, который содержит 95% наблюдений, т.е. он исключает 2,5% наблюдений снизу и 2,5% сверху. Указание такого интервала актуально, например, для осуществления диагностики болезни. Такой интервал называется референтный интервал, референтный размах или нормальный размах.

Дисперсия

Один из способов измерения рассеяния данных за­ключается в том, чтобы определить степень отклоне­ния каждого наблюдения от средней арифметической. Очевидно, что чем больше отклонение, тем больше изменчивость, вариабельность наблюдений.

Однако мы не можем использовать среднее этих отклонений как меру рассеяния, потому что положительные от­клонения компенсируют отрицательные отклонения (их сумма равна нулю). Чтобы решить эту проблему, мы возводим в квадрат каждое отклонение и находим среднее возведенных в квадрат отклонений; эта величина называется вариацией, или дисперсией.

В случае, если мы имеем дело не с генеральной совокупностью, а с выборкой, то вычисляется выборочная дисперсия:

Теоретически можно показать, что полу­чится более точная дисперсия по выборке, если разделить не на n, а на (n-1).

Единицы измерения (размерность) вариации — это квадрат единиц измерения первоначальных на­блюдений.

Например, если измерения производятся в килограммах, то единица измерения вариации будет килограмм в квадрате.

Среднеквадратическое отклонение, стандартное отклонение выборки

Среднеквадратическое отклоне­ние — это положительный квадратный корень из дисперсии.

Мы можем представить себе стандартное отклоне­ние как своего рода среднее отклонение наблюдений от среднего. Оно вычисляется в тех же единицах (размерностях), что и исходные данные.

Если разделить стандартное отклонение на сред­нее арифметическое и выразить результат в процен­тах, получится коэффициент вариации.

Он являет­ся мерой рассеяния, не зависит от единиц измерения (безразмерный), но имеет некоторые теоретические не­удобства и поэтому не очень одобряется статистиками.

Вариация в пределах субъектов и между субъектами

Если провести повторные измерения непрерывной переменной у исследуемого объекта, то можно увидеть ее изме­нения (внутрисубъектные изменения). Это можно объяснить тем, что объект не всегда может дать точные и те же самые ответы, и/или ошибкой, погрешностью измерения. Однако при измерениях у одного объекта вариация обычно меньше, чем вариация единичного измерения в группе (межсубъектные изменения).

Например, вместимость легкого 17-летнего мальчика составляет от 3,60 до 3,87 л, когда измерения повторяются не менее 10 раз; если провести однократное измерение у 10 мальчиков того же возраста, то объем будет между 2,98 и 4,33 л. Эти концепции важны в плане исследования.

Источник

Среднее арифметическое описывается при помощи всего двух параметров меры положения и меры рассеяния

В случае независимости событий (8) выглядит следующим образом.

Р (АиВиСи…иF)= Р (А) × Р (В) × Р (С) × … × Р (f).

Формула, которую привели выше, справедлива, если события А или В или С несовместимы. В случае их совместимости формула выглядит следующим образом:

Р(А ν В ν С)=Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АиВиС).

Р (АиВиС)= Р (А) × Р(В) × Р (С)

С учетом этого получим

Р (А ν В ν С)=Р (А) + Р (В) + Р (С) – Р (А) × Р (В) × Р (С).

Теперь, после некоторого ознакомления с арифметическими операциями над вероятностями, можно привести формулу полной вероятности

В формуле предполагается, что событие А может произойти только с одним из n несовместимых событий B₁….,B_n, то есть группа событий А и B₁, или А и B₂ и т. д. Любая группа из этого ряда равносильна появлению события А.

Пример 2. Пусть события D, Е, F независимые. Какова будет вероятность событий трех извлечений подряд небракованных деталей при условии, что выборка повторная.

Решение. При данном условии после извлечения каждый раз бракованной детали, а больше одной детали нельзя извлечь, количество бракованных деталей с каждым разом уменьшается на единицу. В третий раз будет извлечена последняя бракованная деталь.

5. Распределение случайных величин

Затрагивая вопрос о вероятности некоторого события, нельзя не говорить о закономерностях появления случайных величин.

Чтобы упростить ситуацию, эти величины делят на:

1) прерывные (дискретные) – например, количество некоторой продукции, не отвечающее установленным стандартам;

2) непрерывные – например, единицы той же продукции, которые имеют неодинаковые параметры, но эти параметры находятся в пределах границ предельно допустимого.

Зависимость между возможными значениями случайных величин и их вероятностями, выраженными конкретным способом, называется законом распределения случайных величин.

Для того, чтобы установить математическую форму этого закона, предположим, что дискретная случайная величина х может принимать значения х₁, x₂, x₃…, х_i…., x_k, и пусть каждому из этих значений соответствует вероятность P_x. Тогда ряд вероятностей, соответствующих значениям случайной величины х, будет иметь следующий вид P_x,P_x1,P_x2,…,P_xi,…,P_xk.

Очевидно, что вероятность P_x является некоторой функцией от переменной х и имеет вид: P_x = f(х), где x = x_i, i = 1, 2…, k.

Рассмотрим поведение этой функции для вышеприведенных двух видов случайных величин.

1. Случайная величина – дискретная (прерывная).

6. Статистика распределения случайных величин

Основные характеристики случайных величин.

1. Меры положения.

Таковыми называют (считают) точки, вокруг которых происходит колебание характеристики величин.

Сумма произведений эмпирических значений случайной величены x_i на соответствующие частности называется выборочным средним

– это статистическая характеристика, соответствующая параметрам, т. е. теоретическому анализу, называемая средним значением случайной величины или математическим ожиданием случайной величины.

Математическое ожидание обозначается как

или м.о.(х), и определяется по уже известному теоретическому распределению.

При прерывности случайной величины

где p(x) – функция, которая определяет вероятности p(x) для всех x_i случайной величины. При непрерывности случайной величины

где f(x) – плотность вероятности,

F(x) – функция распределения случайной величины.

Кроме вышеприведенных оперируют следующими мерами положения:

1) среднее гармоническое;

2) среднее логарифмическое;

3) скользящее среднее;

4) накопленное среднее.

Но эти меры используются не очень часто.

2. Меры рассеяния.

Если меры положения характеризовали точки, вокруг которых происходило колебание значений случайных величин, то меры рассеяния характеризуют группировку самих значений колеблющейся величины x или x_i

Подхарактеристика мер рассеяния:

1. Выборочное среднее абсолютное отклонение

– абсолютное отклонение наблюденного значения xi случайной величины от выборочного среднего.

2. Выборочная дисперсия S 2 ; она характеризует рассеяние или однородность случайной величины x_i

7. Выборочное среднеквадратичное отклонение

Эта характеристика пользуется наибольшей популярностью:

При n₁ = n₂ =. = n_k = 1, т. е. в случае несведения в разряды наблюденных значений x_i,

Это математическое ожидание представляет собой: если случайная величина прерывная, то

где p(x_k) – вероятность случайной величины х_k

Роль в теории вероятности среднего квадратичного отклонения наглядно показывает неравенство Чебы-шева, которое имеет вид:

где x – случайная величина;

х_о – ее математическое ожидание;.

f > 0 – некоторый численный коэффициент.

Если взять t = 3, то из (40) следует:

что означает вероятность отклонения случайной величины x от своего среднего значения на величину большую, чем 3δ. Причем полученный результат справедлив при любом теоретическом распределении.

Как разновидностью меры рассеяния в приборостроении, пользуются коэффициентом изменчивости – вариации.

3. Еще одной важной разновидностью меры рассеяния в приборостроении для статистического анализа и контроля является размах выборки W, его также называют широтой эмпирического распределения.

Как видно из формулы, размах выборки характеризует однородность наблюденных значений случайной величины хг В зависимости от знака W, можно заключить об отношении случайной величины к мере положения (конкретно, выборочной медиане), что и видно из следующей системы:

Источник

Мера рассеяния

Дисперсия и среднеквадратичное отклонение

Если математическое ожидание существует и центром распределения считать математическое ожидание, то очень удобным числовым параметром, который описывает степень разброса (рассеяния) от центра распределения, является дисперсия.

Дисперсия, это среднее значение квадратов отклонений случайной величины от её математического ожидания.

Или по другому, дисперсия, это второй центральный момент распределения. Поэтому формула дисперсии получается, если в формулу центрального момента подставить k=2.

Для дискретного распределения:

Для непрерывного распределения:

Дисперсия минимизирует средний квадрат отклонения случайной величины от ее центра. То есть, если решать задачу на минимальное суммарное отклонения средних квадратов от среднего значения, то минимум как раз и будет равен дисперсии.

Ещё одна полезная формула, которая выражает дисперсию через формулу для математического ожидания:

Одним из самых замечательных свойств дисперсии является её аддитивность, то есть дисперсии можно просто складывать друг с другом для случайных величин, которые статистически не зависят друг от друга. Это правило аддитивности не зависит от того, какие функции распределения имеют эти независимые величины, одинаковые или совершенно разные.

Недостатком дисперсии является то, что если функция плотности распределения убывает на бесконечности как 1/x 3 или ещё медленнее, то интеграл расходится и значит, дисперсия у такого распределения не существует.

Некоторое неудобство дисперсии связано с тем, что она имеет размерность квадрата случайной величины. Поэтому более удобной характеристикой является среднеквадратичное отклонение, которое является квадратным корнем из дисперсии.

В отличие от дисперсии, у среднеквадратичного отклонения нет свойства аддитивности.

Квантильное отклонение

На практике при анализе цен трейдерам чаще придется иметь дело с квантильным отклонением при анализе меры рассеяния. В отличие от дисперсии, квантильное отклонение всегда существует для любой функции плотности распределения.

Если вероятность того, что значение случайной величины x будет меньше значения X_0.05 с вероятностью 5%, то значение X_0.05 называют 5%-ная квантиль распределения.

Аналогично, если вероятность того, что значение случайной величины x будет меньше значения X_0.95 с вероятностью 95%, то значение X_0.95 называют 95%-ная квантиль распределения.

Исходя из этих определений квантилей распределения, получается, что медиана распределения X_0.50, это 50%-ная квантиль распределения.

Вместо чисел 5% (вероятность 0.05) и 95% (вероятность 0.95) можно взять любую другую пару чисел, симметричных относительно медианы (вероятность 0.50). Например, 10% и 90%, или 23% и 77%.

Интервал между X_P и X_(1-P) называется интерквантильный промежуток. Например, конкретно для P=0.05 интервал значений x между X_0.05 и X_0.95 называется интерквантильный промежуток с 90%-ной вероятностью.

Квантильное отклонение применяется для оценки меры рассеяния значений случайной величины. Когда указывается квантильное отклонение, то обязательно должна быть указано и доверительная вероятность этого отклонения. В нашем примере используется 90%-ная доверительная вероятность.

Связь квантильного и среднеквадратичного отклонений

Квантильные отклонения и среднеквадратичные отклонения, в общем случае, никак не связаны друг с другом. Но есть одно исключение. Это как раз квантильное отклонение с доверительным интервалом 90%.

Для очень многих самых часто используемых функций распределения выполняется примерное равенство:

Для других доверительных интервалов связь между d_(1-2P) и σ существенно зависит от конкретного вида функции распределения.

Поэтому, если закон распределения заранее неизвестен, как, например, для биржевых цен, то для оценки меры рассеяния следует использовать доверительный интервал 90%. С помощью последней формулы по найденному квантильному отклонению можно найти среднеквадратичное отклонение, не зная, по какому закону распределена случайная величина.

Источник

Меры положения и рассеяния кривой распределения

Кривая распределения плотностей вероятностей случайной величины характеризуется своим положением на оси абсцисс и рассеиванием случайной величины. Для оценки положения и рассеяния кривой распределения вводятся соответствующие критерии или меры.

К мерам положения относятся: мода, математическое ожидание и медиана случайной величины.

К мерам рассеяния относятся: стандартное отклонение, дисперсия и размах.

Функция распределения плотности вероятностей может иметь одно или несколько максимальных значений в разных местах области (рис. 1.4). Значение случайной величины X, при котором f(x)принимает максимальное (наиболее вероятное) значение в окрестности какого-либо значения случайной величины х, называется модой распределения (Mо).

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений .(1.5) Это определение справедливо для дискретных случайных величин. Для непрерывных величин математическое ожидание случайной величины X, имеющей плотность распределения f(х), вычисляется по формуле .(1.6) Статистической оценкой математического ожидания является среднее арифметическое значение случайной величины .(1.7) Математическое ожидание (среднее арифметическое значение) случайной величины называют часто центром рассеяния или центром группирования случайной величины. Математическое ожидание является оценкой истинного значения измеряемой величины. Медианой (Ме) случайной величины называется значение, для которого т.е. вероятность появления случайной величины меньшей, чем медиана, или большей, чем медиана, одинакова (рис.1.5). Геометрическая медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам . В случае симметричного одномо­дульного распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой, т.е. Так как величина Х является случайной, то фактические значения ее будут лежать как правее, так и левее среднего значения. Мерой рассеяния случайной величины Хоколо ее среднего значения служит стандартное (или среднее квадратическое) отклонение s . (1.8) Для непрерывной случайной величины s определяется по формуле . (1.9) Когда оценка стандартного отклонения осуществляется на основе статистических данных, ее называют выборочным средним квадратическим отклонением, обозначают буквой Sи определяют по формуле . (1.10) С целью экономии времени и уменьшения ошибок при подсчетах S, когда n велико, а хi – большие или нецелые числа, следует использовать тождество . (1.10¢) Другая мера рассеяния – дисперсия (дисперсия и означает рассеивание) характеризует разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия увеличивается с увеличением рассеяния результатов наблюдения. Дисперсия определяется по формуле , (1.11) , (1.11¢) где хi – непрерывная случайная величина. Дисперсия эмпирических данных вычисляется по формуле . (1.11») Дисперсия обладает следующими свойствами: · Д∙С = 0 для С = const (дисперсия неслучайной величины равна нулю); · Д (СХ) = С 2 ∙Дх – неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возведя ее в квадрат; · Дх = Мx(X 2 ) – (Мх) 2 – дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания; Последнее свойство рассмотрим более подробно на примере двух случайных величин X и Y. По определению . После раскрытия квадратных скобок и объединения каждой случайной величины со своим математическим ожиданием получим , , где . Величину, определяемую формулой (1.13), называют ковариацией. Она характеризует связь между случайными величинами X и Y. Для независимых случайных величин ковариация равна нулю. Ковариация является неудобной характеристикой, так как по ее величине трудно судить о степени (тесноте) связи. Поэтому была введена другая величина – коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле . (1.12) Коэффициент корреляции меняется в пределах от –1 до +1 и является характеристикой тесноты линейной связи между двумя случайными величинами. Если xи y независимы, то . Если абсолютное значение ρ(ХY) окажется больше 1, то совершенно ясно, что произошла ошибка и необходимо пересчитать результат. В случае сильной положительной корреляции достигается значение, близкое к +1, а при сильной отрицательной корреляции достигается значение, близкое к –1. Таким образом, когда |ρ(ХY)| близок к 1, это указывает на сильную корреляцию между X и Y, а когда |ρ(ХY)| близок к 0 – на слабую корреляцию. Переходя от случайных величин X и Y к их значениям xиy, коэффициент корреляции по результатам статистических испытаний можно вычислить по формуле , (1.12′) где ; ; ; n – число пар данных. Размах случайной величины R определяется как разность между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины .(1.13) Этот показатель характеризует широту разброса данных. Более точно колебаемость признака отражает коэффициент вариации (1.14) Источник ← среди мероприятий есть незарегистрированные сзв тд как исправить среднее арифметическое элементов массива php → Вам также понравится что значит переуступка долга по кредиту 13.07.202214.07.2022 admin 0 Что будет за нарушение надзора 12.07.202212.07.2022 admin 0 Microsoft sql server что это за программа 07.07.202207.07.2022 admin 0 Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.