требованием к уравнениям регрессии параметры которых можно найти при помощи мнк является

Множественная линейная регрессия. Оценка качества уравнения регрессии

Вы будете перенаправлены на Автор24

Множественная линейная регрессия

Множественная линейная регрессия – это статистическая модель, в которой число переменных составляет две и более.

Метод наименьших квадратов опирается на экспериментальные данные, которые могут содержать случайные отклонения. Знание параметров модели позволяет применять приближенные значения. Если величины уравнения рассчитаны, то разница между реальными и теоретическими значениями снижается.

Параметры множественной регрессии так же вычисляются с помощью метода наименьших квадратов. Ее отличительной особенностью является использование гиперплоскости. Уравнение множественной регрессии удобно тем, что увеличивает количество объясненных отклонений переменных. Результатом становится улучшение соответствия между данными модели. Добавление новых величин или параметров в исследование будет только увеличивать коэффициент его детерминации. Этот коэффициент показывает, насколько уравнение соответствует реальной действительности.

Готовые работы на аналогичную тему

Оценка качества уравнения множественной линейной регрессии

Исследование качества уравнения регрессии заключается в оценке его адекватности и точности. Анализ опирается на изучение следующих величин:

Коэффициент детерминации в уравнении множественной регрессии равен квадрату коэффициента корреляции между зависимой и независимой переменными. Индекс корреляции анализирует тесноту связи переменных. Если он используется для нелинейных уравнений, то применяется критерий Фишера. Множественный коэффициент корреляции применяется для исследования связей между случайной величиной и другими величинами. Средняя относительная ошибка помогает вычислить отклонение расчетных значений уравнения от фактических данных. Если отклонение не превышает 15%, то речь идет о хорошо подобранном уравнении регрессии.

Значимость уравнения проверяется по критерию Фишера. Далее ему присуждается критическое значение, которое сопоставляется с расчетными данными. Качество модели расценивается при помощи ряда остатков. Полученный коэффициент детерминации показывает зависимость величин друг от друга, а так же тесноту этой связи. Уравнение считается значимым в том случае, если значение критерия Фишера будет больше критического. Точность модели считается неудовлетворительной, если процент соответствия будет более 15%. Тогда модель рассматривается как неудовлетворительная, поэтому в дальнейшем она не используется.

Изучение графика остатков позволяет увидеть какие-либо зависимости, которые не были учтены в модели. Он показывает выбросы. Аномалии могут искажать конечный результат и качество анализа. Чтобы устранить выбросы, необходимо их удалить из данных исследования. Этот процесс называется цензурированием.

Таким образом, оценка качества модели регрессии проверяется качеством уравнения, проверкой его значимости, выполнением предпосылок.

Выбор оптимальной модели множественной регрессии

Исследование начинается с создания первоначальной модели множественной регрессии. Ее анализ необходим для последующего улучшения. Качество модели изучается с помощью коэффициентов, применяемых для парной регрессии. Среди них отмечают:

Скорректированный коэффициент детерминации обычно применяется для множественной регрессии. Он исключает или добавляет в уравнение переменные или наблюдения. Качество может определяться с помощью проверки на выполнение требований Маркова-Гаусса. Условия считаются выполненными, если математическое наблюдение остатков равно нулю для каждого значения. Дисперсия постоянна для каждого наблюдения. Системные связи между остатками отсутствуют. Зависимость между остатками и переменными так же отсутствует. Выявление соответствия требованиям Гаусса-Маркова позволяет применять метод наименьших квадратов. Полученная с его помощью модель является несмещенной, эффективной и состоятельной.

Следующий шаг – проверка модели с помощью критерия Стьюдента. Если в уравнении есть резко выделяющиеся наблюдения, то их последовательно исключают. Так же выявляются незначимые переменные, которые исключаются из модели в случае необходимости. Например, при изучении экономического поведения человека устанавливается зависимость между факторами, а так же формируется база статических показателей, которые позволяют проверить гипотезу.

Далее строится две нелинейных модели, которые учитывают квадраты двух наиболее значимых моделей и учитывают их логарифмы. Их сравнивают с линейными уравнениями, которые возникают на разных этапах проверки. Полученные модели сравниваются, из них выбирается наилучший вариант, который принимается за качественную модель.

Таким образом, оценка модели проводится для исключения незначимых событий, ошибочных наблюдений.

Источник

Задание № 4. Требованием к уравнениям регрессии, параметры которых можно найти при помощи МНК является:

Тест

Задание № 1

Требованием к уравнениям регрессии, параметры которых можно найти при помощи МНК является:

Выберите один из 4 вариантов ответа:

+1) линейность параметров

2) равенство нулю средних значений результативной переменной

3) нелинейность параметров

4) равенство нулю средних значений факторного признака

Задание № 2

Предпосылкой метода наименьших квадратов является то, что остатки …

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) не подчиняются закону больших чисел

+2) подчиняются закону нормального распределения

3) не подчиняются закону нормального распределения

4) подчиняются закону больших чисел

Задание № 3

Графическое изображение наблюдений на декартовой плоскости координат называется полем …

Выберите один из 4 вариантов ответа:

3) случайных воздействий

Задание № 4

В линейном уравнении парной регрессии коэффициентом регрессии является значение …

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) параметров и

2) параметра

3) переменной

+4) параметра

Источник

R — значит регрессия

Статистика в последнее время получила мощную PR поддержку со стороны более новых и шумных дисциплин — Машинного Обучения и Больших Данных. Тем, кто стремится оседлать эту волну необходимо подружится с уравнениями регрессии. Желательно при этом не только усвоить 2-3 приемчика и сдать экзамен, а уметь решать проблемы из повседневной жизни: найти зависимость между переменными, а в идеале — уметь отличить сигнал от шума.

Для этой цели мы будем использовать язык программирования и среду разработки R, который как нельзя лучше приспособлен к таким задачам. Заодно, проверим от чего зависят рейтинг Хабрапоста на статистике собственных статей.

Введение в регрессионный анализ

Основу регрессионного анализа составляет метод наименьших квадратов (МНК), в соответствии с которым в качестве уравнения регресии берется функция такая, что сумма квадратов разностей минимальна.

Карл Гаусс открыл, или точнее воссоздал, МНК в возрасте 18 лет, однако впервые результаты были опубликованы Лежандром в 1805 г. По непроверенным данным метод был известен еще в древнем Китае, откуда он перекочевал в Японию и только затем попал в Европу. Европейцы не стали делать из этого секрета и успешно запустили в производство, обнаружив с его помощью траекторию карликовой планеты Церес в 1801 г.

Вид функции , как правило, определен заранее, а с помощью МНК подбираются оптимальные значения неизвестных параметров. Метрикой рассеяния значений вокруг регрессии является дисперсия.

Линейная регрессия

Уравнения линейной регрессии можно записать в виде

В матричном виде это выгладит

Случайная величина может быть интерпретирована как сумма из двух слагаемых:

Ограничения линейной регрессии

Для того, чтобы использовать модель линейной регрессии необходимы некоторые допущения относительно распределения и свойств переменных.

Как обнаружить, что перечисленные выше условия не соблюдены? Ну, во первых довольно часто это видно невооруженным глазом на графике.

Неоднородность дисперсии

При возрастании дисперсии с ростом независимой переменной имеем график в форме воронки.

Нелинейную регрессии в некоторых случая также модно увидеть на графике довольно наглядно.

Тем не менее есть и вполне строгие формальные способы определить соблюдены ли условия линейной регрессии, или нарушены.

В этой формуле — коэффициент взаимной детерминации между и остальными факторами. Если хотя бы один из VIF-ов > 10, вполне резонно предположить наличие мультиколлинеарности.

Почему нам так важно соблюдение всех выше перечисленных условий? Все дело в Теореме Гаусса-Маркова, согласно которой оценка МНК является точной и эффективной лишь при соблюдении этих ограничений.

Как преодолеть эти ограничения

Нарушения одной или нескольких ограничений еще не приговор.

К сожалению, не все нарушения условий и дефекты линейной регрессии можно устранить с помощью натурального логарифма. Если имеет место автокорреляция возмущений к примеру, то лучше отступить на шаг назад и построить новую и лучшую модель.

Линейная регрессия плюсов на Хабре

Итак, довольно теоретического багажа и можно строить саму модель.
Мне давно было любопытно от чего зависит та самая зелененькая цифра, что указывает на рейтинг поста на Хабре. Собрав всю доступную статистику собственных постов, я решил прогнать ее через модель линейно регрессии.

Загружает данные из tsv файла.

Вопреки моим ожиданиям наибольшая отдача не от количества просмотров статьи, а от комментариев и публикаций в социальных сетях. Я также полагал, что число просмотров и комментариев будет иметь более сильную корреляцию, однако зависимость вполне умеренная — нет надобности исключать ни одну из независимых переменных.

В первой строке мы задаем параметры линейной регрессии. Строка points

. определяет зависимую переменную points и все остальные переменные в качестве регрессоров. Можно определить одну единственную независимую переменную через points

Перейдем теперь к расшифровке полученных результатов.

Можно попытаться несколько улучшить модель, сглаживая нелинейные факторы: комментарии и посты в социальных сетях. Заменим значения переменных fb и comm их степенями.

Проверим значения параметров линейной регрессии.

Проверим, соблюдены ли условия применимости модели линейной регрессии? Тест Дарбина-Уотсона проверяет наличие автокорреляции возмущений.

И напоследок проверка неоднородности дисперсии с помощью теста Бройша-Пагана.

В заключение

Конечно наша модель линейной регрессии рейтинга Хабра-топиков получилось не самой удачной. Нам удалось объяснить не более, чем половину вариативности данных. Факторы надо чинить, чтобы избавляться от неоднородной дисперсии, с автокорреляцией тоже непонятно. Вообще данных маловато для сколь-нибудь серьезной оценки.

Но с другой стороны, это и хорошо. Иначе любой наспех написанный тролль-пост на Хабре автоматически набирал бы высокий рейтинг, а это к счастью не так.

Источник

Оценка параметров линейных уравнений регрессии

-величины коэффициента корреляции

-величины коэффициента детерминации

-средней ошибки аппроксимации

#Метод наименьших квадратов не применим для …

+уравнений нелинейных по оцениваемым параметрам

-линейных уравнений множественной регрессии

-линейных уравнений парной регрессии

-полиномиальных уравнений множественной регрессии

#В основе метода наименьших квадратов лежит …

+минимизация суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений

-равенство нулю суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений

-максимизация суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений

-минимизация суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его средних значений

#Систему МНК, построенную для оценки параметров линейного уравнения множественной регрессии можно решить …

-методом первых разностей

-методом скользящего среднего

#В исходном соотношении МНК сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений …

-приравнивается к нулю

-приравнивается к системе нормальных уравнений

#Метод наименьших квадратов позволяет оценить _____________ уравнений регрессии

-параметры и переменные

-переменные и случайные величины

#Оценки параметров уравнений регрессии при помощи метода наименьших квадратов находятся на основании решения …

+решения системы нормальных уравнений

-решения двойственной задачи

-решения уравнения регрессии

-решения системы нормальных неравенств

#Оценки параметров линейного уравнения множественной регрессии можно найти при помощи метода …

+метода наименьших квадратов

-метода наибольших квадратов

-метода средних квадратов

-метода нормальных квадратов

#Метод наименьших квадратов применяется для оценки …

+параметров линейных уравнений регрессии

-качества линейных уравнений регрессии

-уравнений регрессии, нелинейных по параметрам

-качества уравнений, нелинейных по параметрам

#Система нормальных уравнений метода наименьших квадратов строится на основании …

+таблицы исходных данных

-предсказанных значений результативного признака

-отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений

-отклонений фактических значений объясняющей переменной от ее теоретических значений

#Требованием к уравнениям регрессии, параметры которых можно найти при помощи МНК является …

-равенство нулю средних значений результативной переменной

-равенство нулю средних значений факторного признака

#Несмещенность оценки характеризует …

+равенство нулю математического ожидания остатков

-наименьшую дисперсию остатков

-увеличение точности ее вычисления с увеличением объема выборки

-ее зависимость от объема выборки

#Если оценка параметра эффективна, то это означает …

+наименьшую дисперсию остатков

-равенство нулю математического ожидания остатков

-максимальную дисперсию остатков

-уменьшение точности с увеличением объема выборки

+увеличением ее точности с увеличением объема выборки

-независимостью от объема выборки значения математического ожидания остатков

-уменьшением ее точности с увеличением объема выборки

-зависимостью от объема выборки значения математического ожидания остатков

#Несмещенность оценки на практике означает …

+что при большом числе выборочных оцениваний остатки не будут накапливаться

-что найденное значение коэффициента регрессии нельзя рассматривать как среднее значение из возможного большого количества несмещенных оценок

-невозможность перехода от точечного оценивания к интервальному

-уменьшение точности с увеличением объема выборки

#Эффективность оценки на практике характеризуется …

+возможностью перехода от точечного оценивания к интервальному

-отсутствием накапливания значений остатков при большом числе выборочных оцениваний

-невозможностью перехода от точечного оценивания к интервальному

-уменьшением точности с увеличением объема выборки

#Свойствами оценок МНК являются …

+эффективность, состоятельность и несмещенность

-эффективность, состоятельность и смещенность

-эффективность, несостоятельность и смещенность

-эффективность, несостоятельность и несмещенность

#Увеличение точности оценок с увеличением объема выборки описывает свойство _______ оценки.

#Математическое ожидание остатков равно нулю, если оценки параметров обладают свойством …

#Минимальная дисперсия остатков характерна для оценок, обладающих свойством …

#Переход от точечного оценивания к интервальному возможен, если оценки являются …

+ эффективными и несмещенными

-эффективными и несостоятельными

-неэффективными и состоятельными

-состоятельными и смещенными

#При примени метода наименьших квадратов исследуются свойства …

+оценок параметров уравнения регрессии

-оценок переменных уравнения регрессии

-оценок случайных величин уравнения регрессии

-оценок переменных и параметров уравнения регрессии

+одинаковую дисперсию остатков при каждом значении фактора

-рост дисперсии остатков с увеличением значения фактора

-уменьшение дисперсии остаток с уменьшением значения фактора

-максимальную дисперсию остатков при средних значениях фактора

#Предпосылкой метода наименьших квадратов является то, что…

+остаточные величины имеют случайный характер

-остаточные величины имеют неслучайный характер

-при увеличении моделируемых значений результативного признака значение остатка увеличивается

-при уменьшении моделируемых значений результативного признака значение остатка уменьшается

+зависимость дисперсии остатков от значения фактора

-постоянство дисперсии остатков независимо от значения фактора

-независимость математического ожидания остатков от значения фактора

-зависимость математического ожидания остатков от значения фактора

#Предпосылкой метода наименьших квадратов является то, что остатки…

+подчиняются закону нормального распределения

-не подчиняются закону нормального распределения

-подчиняются закону больших чисел

-не подчиняются закону больших чисел

#Предпосылки метода наименьших квадратов исследуют поведение …

-параметров уравнения регрессии

-переменных уравнения регрессии

#Предпосылкой метода наименьших квадратов является …

+отсутствие автокорреляции в остатках

-присутствие автокорреляции в остатках

-отсутствие корреляции между результатом и фактором

-присутствие автокорреляции между результатом и фактором

#Предпосылкой метода наименьших квадратов не является условие …

+неслучайного характера остатков

-отсутствия автокорреляции в остатках

-случайного характера остатков

#Случайный характер остатков предполагает …

+независимость остатков от величины предсказанных по модели значений результативного признака

-зависимость остатков от величины предсказанных по модели значений результативного признака

-зависимость предсказанных по модели значений результативного признака от значений факторного признака

-независимость предсказанных по модели значений результативного признака от значений факторного признака

#Отсутствие автокорреляции в остатках предполагает, что значения ______ не зависят друг от друга

#Оценки параметров, найденные при помощи метода наименьших квадратов обладают свойствами эффективности, состоятельности и несмещенности, если предпосылки метода наименьших квадратов …

-можно не учитывать

#Если предпосылки метода наименьших квадратов нарушены, то …

+оценки параметров могут не обладать свойствами эффективности, состоятельности и несмещенности

-коэффициент регрессии является несущественным

-коэффициент корреляции является несущественным

-полученное уравнение статистически незначимо

#Обобщенный метод наименьших квадратов применяется в случае…

#Обобщенный метод наименьших квадратов используется для корректировки…

+гетероскедастичности остатков в уравнении регрессии

-автокорреляции между независимыми переменными

-параметров нелинейного уравнения регрессии

-точности определения коэффициента множественной корреляции

#Обобщенный метод наименьших квадратов подразумевает …

-линеаризацию уравнения регрессии

-двухэтапное применение метода наименьших квадратов

-переход от множественной регрессии к парной

#Обобщенный метод наименьших квадратов рекомендуется применять в случае …

-нормально распределенных остатков

-автокорреляции результативного признака

#При применении метода наименьших остатков уменьшить гетероскедастичность остатков удается путем …

-введения дополнительных факторов в модель

-введения дополнительных результатов в модель

#На основании преобразования переменных при помощи обобщенного метода наименьших квадратов получаем новое уравнение регрессии, которое представляет собой …

+взвешенную регрессию, в которой переменные взяты с весами

-нелинейную регрессию, в которой переменные взяты с весами

-взвешенную регрессию, в которой переменные взяты с весами

-нелинейную регрессию, в которой переменные взяты с весами

#Обобщенный метод наименьших квадратов не используется для моделей с _______ остатками

-автокоррелярованными и гетероскедастичными

#Что преобразуется при применении обобщенного метода наименьших квадратов?

+исходные уровни переменных

-дисперсия результативного признака

-дисперсия факторного признака

-стандартизованные коэффициенты регрессии

#Обобщенный метод наименьших квадратов отличается от обычного МНК тем, что при применении ОМНК…

+преобразуются исходные уровни переменных

-уменьшается количество наблюдений

-остатки приравниваются к нулю

-остатки не изменяются

#После применения обобщенного метода наименьших квадратов удается избежать ______ остатков

-равенства нулю суммы

#Метод оценки параметров моделей с гетероскедастичными остатками называется …методом наименьших квадратов

Источник