тригонометрические уравнения с параметром

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №48. Тригонометрические уравнения с параметром.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) Тригонометрическое уравнение с параметром;

2) Решение тригонометрического уравнения с параметром;

3) Значения параметра, при котором простейшее тригонометрическое неравенство имеет решение.

Если некоторое уравнение F(x, a)=0 требуется решить относительно переменной х, то а называется параметром, а это уравнение называется уравнением с параметром а относительно переменной х.

Амелькин,, В.В., Рабцевич В.Л., Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике – М.: «Асар», 1996. – 464 с.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Если некоторое уравнение F(x, a)=0 требуется решить относительно переменной х, то а называется параметром, то это уравнение называется уравнением с параметром а относительно переменной икс.

Простейшим примером уравнения с параметром является такое: .

Если требуется решить такое уравнение, то ответ мы должны записать так:

1) при |a|>1 уравнение решений не имеет

3) при 0 1 уравнение решений не имеет

2) при

).

2. Рассмотрим решение более сложных тригонометрических уравнений с параметрами.

Решите уравнение с переменной х и параметром а:

Его дискриминант:

Очевидно, что если , то есть , то вспомогательное уравнение и исходное уравнение решений не имеют.

Если , то вспомогательное уравнение имеет один корень: . Это удовлетворяет условию , поэтому при .

.

Если , то вспомогательное уравнение имеет два корня. Но для того чтобы исходное уравнение имело корни, нужно чтобы .

Так как вершина параболы находится в точке , то для того чтобы вспомогательное уравнение имело на отрезке [-1; 1] одно решение, нужно, чтобы выполнялось условие: ,

где .

То есть одно решение на отрезке [-1; 1] вспомогательное уравнение будет иметь при , причем это больший корень вспомогательного уравнения:

, , .

два решения на отрезке [-1; 1] вспомогательное уравнение будет иметь при

.

.

2) при .

3) при .

4) при .

Если в этом примере требуется найти наибольшее значение параметра, при котором уравнение имеет решение, то ответ будет 3. Если требуется найти, например, наименьшее целое решение, то ответ будет 0.

Решим относительно переменной x уравнение:

Преобразуем исходное уравнение:

Рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно . Введем новую переменную .

Рассмотрим вспомогательное уравнение.

.

Его дискриминант:

Видно, что это уравнение имеет решение только при a=0. При остальных значениях параметра уравнение решений не имеет.

Проверим, дает ли полученное решение вспомогательного уравнения решение исходного уравнения.

Если a=0,то .

Отсюда .

Ответ: 1) при ,

2) при решений нет.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. При каком наибольшем значении параметра уравнение имеет решение

Найдем его дискриминант:

Видно, что вспомогательное уравнение всегда имеет решение.

Но , поэтому нужно выяснить, при каком значении параметра t корни уравнения попадают в отрезок [0; 1].

Так как старший коэффициент этого уравнения положителен, то для того чтобы хотя бы один корень уравнения (функции f(p)) попал в отрезок [0; 1], нужно, чтобы выполнялось одно из неравенств: .

, . Наибольшее значение 0.

2. Найдите наименьшее положительно значение параметра, при котором решением неравенства является любое действительное число.

Неравенство всегда верно, то есть выполнено при любых значениях переменной. Значит, данное неравенство будет всегда верно, если , то есть , .

Наименьшее положительное значение параметра .

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №48. Тригонометрические уравнения с параметром.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) Тригонометрическое уравнение с параметром;

2) Решение тригонометрического уравнения с параметром;

3) Значения параметра, при котором простейшее тригонометрическое неравенство имеет решение.

Если некоторое уравнение F(x, a)=0 требуется решить относительно переменной х, то а называется параметром, а это уравнение называется уравнением с параметром а относительно переменной х.

Амелькин,, В.В., Рабцевич В.Л., Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике – М.: «Асар», 1996. – 464 с.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Если некоторое уравнение F(x, a)=0 требуется решить относительно переменной х, то а называется параметром, то это уравнение называется уравнением с параметром а относительно переменной икс.

Простейшим примером уравнения с параметром является такое: .

Если требуется решить такое уравнение, то ответ мы должны записать так:

1) при |a|>1 уравнение решений не имеет

3) при 0 1 уравнение решений не имеет

2) при

).

2. Рассмотрим решение более сложных тригонометрических уравнений с параметрами.

Решите уравнение с переменной х и параметром а:

Его дискриминант:

Очевидно, что если , то есть , то вспомогательное уравнение и исходное уравнение решений не имеют.

Если , то вспомогательное уравнение имеет один корень: . Это удовлетворяет условию , поэтому при .

.

Если , то вспомогательное уравнение имеет два корня. Но для того чтобы исходное уравнение имело корни, нужно чтобы .

Так как вершина параболы находится в точке , то для того чтобы вспомогательное уравнение имело на отрезке [-1; 1] одно решение, нужно, чтобы выполнялось условие: ,

где .

То есть одно решение на отрезке [-1; 1] вспомогательное уравнение будет иметь при , причем это больший корень вспомогательного уравнения:

, , .

два решения на отрезке [-1; 1] вспомогательное уравнение будет иметь при

.

.

2) при .

3) при .

4) при .

Если в этом примере требуется найти наибольшее значение параметра, при котором уравнение имеет решение, то ответ будет 3. Если требуется найти, например, наименьшее целое решение, то ответ будет 0.

Решим относительно переменной x уравнение:

Преобразуем исходное уравнение:

Рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно . Введем новую переменную .

Рассмотрим вспомогательное уравнение.

.

Его дискриминант:

Видно, что это уравнение имеет решение только при a=0. При остальных значениях параметра уравнение решений не имеет.

Проверим, дает ли полученное решение вспомогательного уравнения решение исходного уравнения.

Если a=0,то .

Отсюда .

Ответ: 1) при ,

2) при решений нет.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. При каком наибольшем значении параметра уравнение имеет решение

Найдем его дискриминант:

Видно, что вспомогательное уравнение всегда имеет решение.

Но , поэтому нужно выяснить, при каком значении параметра t корни уравнения попадают в отрезок [0; 1].

Так как старший коэффициент этого уравнения положителен, то для того чтобы хотя бы один корень уравнения (функции f(p)) попал в отрезок [0; 1], нужно, чтобы выполнялось одно из неравенств: .

, . Наибольшее значение 0.

2. Найдите наименьшее положительно значение параметра, при котором решением неравенства является любое действительное число.

Неравенство всегда верно, то есть выполнено при любых значениях переменной. Значит, данное неравенство будет всегда верно, если , то есть , .

Наименьшее положительное значение параметра .

Источник