чем меньше оптимальный параметр сглаживания тем точность измерения

Чем меньше оптимальный параметр сглаживания тем точность измерения

Приведено описание метода, рассмотрено простое экспоненциальное сглаживание, индексы качества подгонки.

Экспоненциальное сглаживание – это очень популярный метод прогнозирования многих временных рядов. Исторически метод был независимо открыт Броуном и Холтом. Броун служил на флоте США во время второй мировой войны, где занимался обнаружением подводных лодок и системами наведения. Позже он применил открытый им метод для прогнозирования спроса на запасные части. Свои идеи он описал в книге, вышедшей в свет в 1959 году. Исследования Холта были поддержаны Департаментом военно-морского флота США. Независимо друг от друга, Броун и Холт открыли экспоненциальное сглаживание для процессов с постоянным трендом, с линейным трендом и для рядов с сезонной составляющей.

Gardner (1985), предложил «единую» классификацию методов экспоненциального сглаживания. Превосходное введение в эти методы можно найти в книгах Makridakis, Wheelwright, and McGee (1983), Makridakis and Wheelwright (1989), Montgomery, Johnson, and Gardiner (1990).

Простое экспоненциальное сглаживание

Простая и прагматически ясная модель временного ряда имеет следующий вид: X_t = b + _t, где b – константа и (эпсилон) – случайная ошибка. Константа b относительно стабильна на каждом временном интервале, но может также медленно изменяться со временем. Один из интуитивно ясных способов выделения b состоит в том, чтобы использовать сглаживание скользящим средним, в котором последним наблюдениям приписываются большие веса, чем предпоследним, предпоследним большие веса, чем пред-предпоследним и т.д. Простое экспоненциальное именно так и устроено. Здесь более старым наблюдениям приписываются экспоненциально убывающие веса, при этом, в отличие от скользящего среднего, учитываются все предшествующие наблюдения ряда, а не те, что попали в определенное окно. Точная формула простого экспоненциального сглаживания имеет следующий вид:

S_t = *X_t + (1-)*S_t-1

Когда эта формула применяется рекурсивно, то каждое новое сглаженное значение (которое является также прогнозом) вычисляется как взвешенное среднее текущего наблюдения и сглаженного ряда. Очевидно, результат сглаживания зависит от параметра(альфа). Еслиравно 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Еслиравно 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значениямежду 0, 1 дают промежуточные результаты.

Эмпирические исследования Makridakis и др. (1982; Makridakis, 1983) показали, что весьма часто простое экспоненциальное сглаживание дает достаточно точный прогноз.

Выбор лучшего значения параметра(альфа)

Gardner (1985) обсуждает различные теоретические и эмпирические аргументы в пользу выбора определенного параметра сглаживания. Очевидно, из формулы, приведенной выше, следует, чтодолжно попадать в интервал между 0 (нулем) и 1 (хотя Brenner et al., 1968, для дальнейшего применения анализа АРПСС считают, что 0 Индексы качества подгонки

Самый прямой способ оценки прогноза, полученного на основе определенного значения— построить график наблюдаемых значений и прогнозов на один шаг вперед. Этот график включает в себя также остатки (отложенные на правой оси Y). Из графика ясно видно, на каких участках прогноз лучше или хуже.

Такая визуальная проверка точности прогноза часто дает наилучшие результаты. Имеются также другие меры ошибки, которые можно использовать для определения оптимального параметра(см. Makridakis, Wheelwright, and McGee, 1983):

Средняя ошибка. Средняя ошибка (СО) вычисляется простым усреднением ошибок на каждом шаге. Очевидным недостатком этой меры является то, что положительные и отрицательные ошибки аннулируют друг друга, поэтому она не является хорошим индикатором качества прогноза.

Средняя абсолютная ошибка. Средняя абсолютная ошибка (САО) вычисляется как среднее абсолютных ошибок. Если она равна 0 (нулю), то имеем совершенную подгонку (прогноз). В сравнении со средней квадратической ошибкой, эта мера «не придает слишком большого значения» выбросам.

Сумма квадратов ошибок (SSE), среднеквадратическая ошибка. Эти величины вычисляются как сумма (или среднее) квадратов ошибок. Это наиболее часто используемые индексы качества подгонки.

где X_t – наблюдаемое значение в момент времени t, и F_t – прогноз (сглаженное значение).

Средняя относительная ошибка (СОО). Это значение вычисляется как среднее относительных ошибок.

Средняя абсолютная относительная ошибка (САОО). Как и в случае с обычной средней ошибкой отрицательные и положительные относительные ошибки будут подавлять друг друга. Поэтому для оценки качества подгонки в целом (для всего ряда) лучше использовать среднюю абсолютную относительную ошибку. Часто эта мера более выразительная, чем среднеквадратическая ошибка. Например, знание того, что точность прогноза ±5%, полезно само по себе, в то время как значение 30.8 для средней квадратической ошибки не может быть так просто проинтерпретировано.

Автоматический поиск лучшего параметра. Для минимизации средней квадратической ошибки, средней абсолютной ошибки или средней абсолютной относительной ошибки используется квази-ньютоновская процедура (та же, что и в АРПСС). В большинстве случаев эта процедура более эффективна, чем обычный перебор на сетке (особенно, если параметров сглаживания несколько), и оптимальное значениеможно быстро найти.

Первое сглаженное значение S₀. Если вы взгляните снова на формулу простого экспоненциального сглаживания, то увидите, что следует иметь значение S₀ для вычисления первого сглаженного значения (прогноза). В зависимости от выбора параметра(в частности, еслиблизко к 0), начальное значение сглаженного процесса может оказать существенное воздействие на прогноз для многих последующих наблюдений. Как и в других рекомендациях по применению экспоненциального сглаживания, рекомендуется брать начальное значение, дающее наилучший прогноз. С другой стороны, влияние выбора уменьшается с длиной ряда и становится некритичным при большом числе наблюдений.

Сезонная и несезонная модели с трендом или без тренда

В дополнение к простому экспоненциальному сглаживанию, были предложены более сложные модели, включающие сезонную компоненту и трендом. Общая идея таких моделей состоит в том, что прогнозы вычисляются не только по предыдущим наблюдениям (как в простом экспоненциальном сглаживании), но и с некоторыми задержками, что позволяет независимо оценить тренд и сезонную составляющую. Gardner (1985) обсудил различные модели в терминах сезонности (отсутствует, аддитивная сезонность, мультипликативная) и тренда (отсутствует, линейный тренд, экспоненциальный, демпфированный).

Аддитивная и мультипликативная сезонность. Многие временные ряды имеют сезонные компоненты. Например, продажи игрушек имеют пики в ноябре, декабре и, возможно, летом, когда дети находятся на отдыхе. Эта периодичность имеет место каждый год. Однако относительный размер продаж может слегка изменяться из года в год. Таким образом, имеет смысл независимо экспоненциально сгладить сезонную компоненту с дополнительным параметром, обычно обозначаемым как(дельта). Сезонные компоненты, по природе своей, могут быть аддитивными или мультипликативными. Например, в течение декабря продажи определенного вида игрушек увеличиваются на 1 миллион долларов каждый год. Для того чтобы учесть сезонное колебание, вы можете добавить в прогноз на каждый декабрь 1 миллион долларов (сверх соответствующего годового среднего). В этом случае сезонность – аддитивная. Альтернативно, пусть в декабре продажи увеличились на 40%, т.е. в 1.4 раза. Тогда, если общие продажи малы, то абсолютное (в долларах) увеличение продаж в декабре тоже относительно мало (процент роста константа). Если в целом продажи большие, то абсолютное (в долларах) увеличение продаж будет пропорционально больше. Снова, в этом случае продажи увеличатся в определенное число раз, и сезонность будет мультипликативной (в данном случае мультипликативная сезонная составляющая была бы равна 1.4). На графике различие между двумя видами сезонности состоит в том, что в аддитивной модели сезонные флуктуации не зависят от значений ряда, тогда как в мультипликативной модели величина сезонных флуктуаций зависит от значений временного ряда.

Параметр сезонного сглаживания . В общем, прогноз на один шаг вперед вычисляется следующим образом (для моделей без тренда; для моделей с линейным и экспоненциальным трендом, тренд добавляется; см. ниже):

В этой формуле S_t обозначает (простое) экспоненциально сглаженное значение ряда в момент t, и I_t-p обозначает сглаженный сезонный фактор в момент t минус p (p – длина сезона). Таким образом, в сравнении с простым экспоненциальным сглаживанием, прогноз «улучшается» добавлением или умножением сезонной компоненты. Эта компонента оценивается независимо с помощью простого экспоненциального сглаживания следующим образом:

I_t = I_t-p +*(1-)*e_t

I_t = I_t-p +*(1-)*e_t/S_t

Обратите внимание, что предсказанная сезонная компонента в момент t вычисляется, как соответствующая компонента на последнем сезонном цикле плюс ошибка (e_t, наблюдаемое минус прогнозируемое значение в момент t). Ясно, что параметрпринимает значения между 0 и 1. Если он равен нулю, то сезонная составляющая на следующем цикле та же, что и на предыдущем. Еслиравен 1, то сезонная составляющая «максимально» меняется на каждом шаге из-за соответствующей ошибки (множитель (1-) не рассматривается из-за краткости введения). В большинстве случаев, когда сезонность присутствует, оптимальное значениележит между 0 и 1.

Параметры сглаживания(линейный и экспоненциальный тренд) и(демпфированный тренд). Аналогично сезонной компоненте компонента тренда включается в процесс экспоненциального сглаживания. Сглаживание ее производится в каждый момент времени независимо от других компонент с соответствующими параметрами. Еслиравно 0, то тренд постоянен для всех значений временного ряда (и для всех прогнозов). Еслиравно 1, то тренд «максимально» определяется ошибками наблюдений. Параметручитывает, как сильно изменяется тренд, т.е. как быстро он «демпфируется» или, наоборот, возрастает.

Источник

Выбор параметра сглаживания λ в методе RiskMetrics

Стандартная формула RiskMetrics для расчета VaR параметрическим методом с горизонтом прогнозирования в один день (t = 1) в случае единичного актива имеет вид (1):

На практике широко используется следующая аппроксимация формулы (1): Экспоненциально взвешенная волатильность (exponentially weighted moving average – EWMA) в методике RiskMetrics рассчитывается по формуле (2):

Рис. 1. Сравнение равномерно и экспоненциально взвешенной волатильности

Из рис. 1 видно, в чем состоят преимущества экспоненциального сглаживания волатильности: оно быстрее реагирует на шоковые изменения доходности (что особенно актуально для России) и в целом представляет собой хороший прогноз стандартного отклонения.

Между параметром сглаживания А и глубиной ретроспективы Т устанавливается зависимость. Для этого вводится переменная, называемая уровнем толерантности (tolerance level):

Таким образом, уровень толерантности представляет собой сумму весов данных, находящихся за пределами горизонта Т (табл. 1). Решая уравнение относительно Т, получаем:

Рис. 2. Зависимость рассчитанной по формуле (2) волатильности наблюдаемых доходностей от глубины ретроспективы

Так, например, для γL=0,01 и λ = 0,94 Т = 74.

Затем необходимо определить оптимальное значение параметра λ.

Считая математическое ожидание случайной величины е равным нулю, в качестве критерия выбора оптимального параметра λ примем минимум среднеквадратичной ошибки (root mean squared error– RMSE), определяемой следующим образом:

Путем варьирования параметра λ строится ряд значений RMSE(λ)i, затем определяется min RMSE((λ)i, и соответствующий этому значению параметр сглаживания λ считается оптимальным.

В данном методе важно определить оптимальную глубину ретроспективы. Как известно, для того чтобы оценка стандартного отклонения верно характеризовала генеральную совокупность, выборка должна обладать объемом не ниже некоторого уровня. Из рис. 2 следует, что этот объем должен быть не менее 40-50 наблюдений, иначе погрешность расчета волатильности будет слишком велика (т. е. волатильность может случайным образом оказаться как ниже, так и выше среднего уровня).

Однако оценка волатильности доходности финансовых активов имеет ряд особенностей, связанных с тем, что параметры распределения меняются со временем, в том числе и средняя волатильность (гетероскедастичность). Таким образом, накладывается ограничение на максимальный размер выборки (глубину ретроспективы).

Рассмотрим теперь важную проблему «недостающих данных», связанную, в частности, с определением оптимального параметра λ в модели EWMA. Под недостающими данными здесь понимается, например, отсутствие данных о ценах активов в так называемые «неторговые» дни (обычно выходные и праздничные дни).

Проблема недостающих данных заключается в том, что информация, накопившаяся за то время, пока торги не велись, с открытием торгов может привести к скачкообразным движениям цен активов, что, в свою очередь, может привести к существенному изменению формы (параметров) вероятностного распределения доходности активов, изменению (нарушению) корреляционных связей и т. д.

Обычно (когда неторговые периоды совпадают по продолжительности и календарно на взаимосвязанных рынках) этого не происходит, и эти «недостающие» данные никак не учитываются. Однако, учитывая современные условия, а именно все более тесную интеграцию финансовых рынков, данная проблема, скорее всего, неизбежна. Естественным образом встает вопрос о том, учитывать или не учитывать эти данные, что зависит от того, насколько значимыми стали изменения в поведении участников рынка.

Рассмотрим основные факторы, влияющие на масштаб накопившейся информации. Это в первую очередь несовпадение неторговых периодов по времени и продолжительности (как это было на Нью-Йоркской фондовой бирже, торги на которой не велись с 11 по 17 сентября 2001 г., в то время как на большинстве мировых финансовых рынков торги проводились). Любые крупные изменения (политические, экономические, социальные и т. д.), произошедшие в это время, повлияют на характер торгов в момент открытия рынка.

Рис. 3. Зависимость от величины ошибки прогноза RMSEusd от параметра λ

Рис. 4. Динамика RMSEusd за период 03.01.2001 по 19.03.2002

Рис. 5. Зависимость от величины ошибки прогноза RMSEusd от параметра λ после заполнения недостающих данных

Рис. 6. Динамика RMSEusd за период 03.01.2001 по 19.03.2002

Рис. 7. Зависимость параметра сглаживания от глубины ретроспективы

Для решения этой проблемы используются такие подходы, как метод максимального правдоподобия, множественный «броуновский мост» (multivariate Brownian bridge), линейная интерполяция и др. У каждого метода есть свои преимущества и недостатки, и выбор метода в каждом случае будет определяться конкретными условиями.

Проанализируем результаты применения метода линейной интерполяции на примере данных о курсе доллара США.

Рассмотрим два графика (рис. 3-4), на одном из которых изображена зависимость средней величины ошибки прогноза RMSEUSD от значения Л (значение λопт ≈ 0,99), а на втором – динамика RMSEUSD за последние два года. Заполнения недостающих данных не производилось.

На рис. 5-6 представлены те же зависимости, но уже после заполнения недостающих данных (традиционно нерабочие дни, первые числа января 2001 и 2002 гг.). После обработки данных оптимальное значение Л стало равным 0,92. Можно также заметить, что на порядок снизилось максимальное значение ошибки прогноза, наблюдавшееся в январе 2002 г., что привело к увеличению доли в ошибке прогноза остальных дней ретроспективы, для которых λ = 0,92 является оптимальным параметром.

Заметим, что при заполнении недостающих данных для диверсифицированного портфеля, существенное внимание следует уделить корреляционным связям в динамике активов.

Проведенные измерения оптимальных значений параметров сглаживания для некоторых активов российского финансового рынка (доллар США, евро, индекс РТС) позволяют построить график (рис. 7).

Под «возмущением» в данном случае понимается вызванное влиянием какого-либо фактора скачкообразное изменение текущей доходности актива, сопровождающееся, как правило, временным увеличением волатильности.

Рассмотрим три ключевые точки графика:

Значение параметра сглаживания λ в системе RiskMetrics равно 0,94 при уровне толерантности 1 %. Это значение параметра сглаживания считается пригодным для финансовых рынков развитых стран. Оптимальное значение данного параметра для рынка в целом было получено при помощи взвешивания индивидуальных параметров, при этом в качестве весов выступала точность прогнозирования волатильности (ошибка прогноза): чем выше точность, тем больший вес имеет параметр сглаживания данного актива.

Разброс значений точности прогнозирования волатильности активов российского финансового рынка ставит под сомнение целесообразность применения данного подхода в российских условиях. Поскольку наименее волатильные инструменты обладают наименьшей средней ошибкой прогноза, то они имеют наибольший вес в значении параметра λ для рынка в целом.

Для интегрального параметра λ было бы рациональнее использовать индивидуальные значения этого параметра с приданием им весов, пропорциональных объемам торгов по соответствующим инструментам или их долям в портфеле.

Источник

Чем меньше оптимальный параметр сглаживания тем точность измерения

Переменное скользящее среднее — это экспоненциальное скользящее среднее, в котором параметр сглаживания, определяемый в процентах регулируется автоматически, в зависимости от волатильности ценовых данных. Чем она выше, тем чувствительнее постоянная сглаживания используемая для расчета скользящего среднего. Чувствительность повышается за счет присваивания большего веса текущим данным. [c.202]

Экспертный выбор параметра сглаживания [c.59]

Г( — оценка тренда у — параметр сглаживания для оценки [c.55]

Определение параметра сглаживания имеет большое значение для функционирования модели (7.1). В работе [35] даны следующие рекомендации по выбору параметра сглаживания [c.151]

Следует отметить, что при рассмотрении метода экспоненциального сглаживания параметр сглаживания был выбран без использования процедуры оптимизации ошибки прогноза, минимум которой получается при наилучшем значении а. [c.155]

По данным за второй цикл построим модель прогноза. Подберем параметр сглаживания, дающий наименьшую ошибку прогноза. Пусть а = 0,2. [c.156]

Изменим параметр сглаживания. Произведем расчеты прогноза по формуле (7.1) и ошибки прогноза по формуле (7.2) для разных параметров сглаживания от 0,3 до 0,6. В табл. 7.6 представлены результаты расчетов. Как видно из табл. 7.6, наилучшее значение параметра сглаживания находится в пределах от 0,4 до 0,5, так как ошибка прогноза минимальна для этих параметров сглаживания. [c.156]

Фактическое значение спроса на 22-й день — 5 ед. Предыдущий интервальный прогноз оказался верным. Новый параметр сглаживания с уче- [c.157]

Как видно из табл. 7.7, только один раз прогнозное значение разошлось с фактическим. Это можно считать достаточно хорошим результатом прогнозирования, и с появлением новых данных можно использовать данную модель с учетом изменения параметров сглаживания. При большом количестве данных следует изменить начальные условия и проверить, насколько модель адаптируется к новым данным, еще раз. [c.158]

Параметры сглаживания а и /3 выбираются субъективно или путем минимизации ошибки прогноза. При больших значениях параметров будет иметь место более быстрый отклик на происходящие изменения. Чем больше параметр, тем большему сглаживанию подвергаются данные. И наоборот, если параметры сглаживания будут небольшие, то и реакция модели на изменения в данных будет слабее. Меньшие параметры делают структуру сглаженных значений менее ровной [59]. [c.177]

Повторим расчеты с новыми начальными условиями и теми же параметрами сглаживания а= 0,73 и /3 = 0,1. [c.179]

Параметры сглаживания должны соответствовать условиям [c.189]

Параметры сглаживания могут быть назначены прогнозистом, исходя из его предыдущего опыта прогнозирования, или определены путем минимизации ошибки прогнозирования. [c.190]

В каких случаях следует выбирать параметр сглаживания а около 1, когда — ближе к О [c.212]

Для метода экспоненциального сглаживания основным и наиболее трудным моментом является выбор параметра сглаживания а, начальных условий и степени прогнозирующего полинома. [c.174]

Параметр сглаживания а определяет оценки коэффициентов модели, а следовательно, результаты прогноза. [c.174]

В этом случае получаются следующие соотношения, связывающие дисперсию прогноза а и параметр сглаживания а [c.175]

Таким образом, использование формул (6.58), (6.59) приводит к противоречию при определении параметра сглаживания. В ряде случаев параметр а выбирают так, чтобы минимизировать ошибку прогноза, рассчитанного по ретроспективной информации. [c.175]

Параметр сглаживания 174 Плотность распределения 12 [c.426]

Подробнее о выборе параметра сглаживания см. п. 3.20. [c.252]

Источник