Что будет если сложить все натуральные числа

Натуральных чисел бесконечно много, но несмотря на это ученые знают, чему равна их сумма. Но почему она представляет собой такое странное число —-1/12?

Думаете, что если сложить все натуральные числа, то получится бесконечность? Индийский математик еще в начале века показал, что эта сумма будет равна-1/12. Погрузимся в дебри математики и разберемся, что не так с этим значением

Натуральные числа представляют собой целые положительные числа от единицы и до бесконечности. Сумма таких чисел представляет собой классический расходящийся ряд, бесконечная сумма которого должны быть равна бесконечности. Однако существуют способы присвоить сумме этого ряда конечное значение.

Считать сумму расходящихся рядов математики научились еще в XIX веке. Так, например, метод суммирования по Чезаро помог найти сумму знакочередующегося ряда Гранди, который представляет собой последовательность «1-1+1-1+1-. ». Эта сумма оказалась равна 1/2. Метод Абеля, разработанный позже, позволяет считать и более сложные ряды, такие как «1-2+3-4+. ». Согласно ему, сумма такого ряда будет равна 1/4.

Но ни один из этих методов не позволяет посчитать сумму ряда натуральных чисел. Хорошо, что для этого есть другой метод, который называется регуляризацией дзета-функции Римана. Дзета-функция Римана представляет собой функцию от комплексного переменного s, которая определяется рядом Дирихле. Значение дзета-функции от s равно бесконечной сумме ∑n-s, где суммирование происходит по n от 1 до бесконечности. Если мы возьмем значение дзета-функции от-1, значение членов ряда станет равным натуральным числам: 1-1 = 1, (1/2)-1 = 2, (1/3)-1 = 3. Дзета-функция от-1 в этом случае равна 1 + 2 +3. то есть сумме натурального ряда.

График мнимой и вещественной части дзета-функции можно увидеть на рисунке ниже. Используя соотношение между дзета-функцией Римана и эта-функцией Дирихле можно довольно легко вычислить значение первой. В результате получается, что дзета-функция Римана от-1 равна-1/12. Такое значение получается благодаря тому, что из плоскости вещественных чисел мы переходим в комплексную плоскость.

Если вы дочитали до этого момента, тогда для вас есть приятный бонус — интересный факт. На первый взгляд кажется, что это вычисление суммы ряда натуральных чисел довольно абстрактно и не несет никакой практической пользы. Но на самом деле сумма этого ряда фигурирует в теории струн и даже помогает описать эффект Казимира, заключающийся во взаимном притяжении проводящих незаряженных тел в вакууме под действием квантовых флуктуаций.

Источник

Суммирование методом Рамануджана: 1 + 2 + 3 + … + ∞ = −1/12?

«Что ты несёшь? Этого не может быть!»

В качестве эпиграфа я взял то, что сказала мне мама, узнав от меня об этой маленькой математической аномалии. И это именно аномалия. В конце концов, это противоречит основам логики. Как может сумма натуральных чисел равняться не только отрицательной величине, но ещё и отрицательной дроби? Что за дребедень?

Прежде чем начать: мне указали на то, что в данной статье слово «сумма» я использую в нетрадиционном смысле, ибо все ряды, о которых я говорю, не стремятся естественным образом к определённому числу. Так что речь идёт о другом типе сумм, а именно о суммировании методом Чезаро. Для всех, кто интересуется математикой: суммирование по Чезаро присваивает значения некоторым бесконечным суммам, которые не сходятся в обычном смысле. Согласно Википедии, «сумма Чезаро определяется как предел последовательности средних арифметических первых n частичных сумм ряда при n, стремящемся к бесконечности». Добавлю, что в данной статье используется понятие счётной бесконечности, то есть идёт речь о таком бесконечном множестве чисел, при котором, имея достаточно времени, можно сосчитать до любого числа множества. Это позволяет мне применять в уравнениях некоторые обычные математические свойства, такие как коммутативность (аксиома, которую я использую на протяжении всей статьи).

Сриниваса Рамануджан Айенгор (1887—1920), выдающийся индийский математик.

Для тех из вас, кто незнаком с рядом, известным как суммирование методом Рамануджана (Сриниваса Рамануджан (Srinivasa Ramanujan) — выдающийся индийский математик), объясняю: такое суммирование означает, что, складывая все натуральные числа, то есть 1, 2, 3, 4 и так далее, вплоть до бесконечности, вы получите результат −1/12. Ага, −0,08333333333.

Вы не верите мне? Читайте дальше, и узнаете, как я доказываю это путём доказательства истинности двух одинаково безумных утверждений:

1. 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 … = 1/2

2. 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 … = 1/4

Прежде всего, расскажу о главном — о волшебном преобразовании, без которого невозможны доказательства двух данных утверждений.

Возьмём ряд A, который представляет собой бесконечное повторение 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1. Я запишу это так:

A = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …

Теперь маленький трюк: вычту А из 1.

1 − A = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …)

Пока всё правильно? Настало время перейти к волшебству. Упростив правую часть уравнения, я получаю кое-что весьма странное:

1 − A = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 …

Не правда ли, что-то такое уже было? Подсказываю: это A. Да, в правой части уравнения оказался ряд, с которого мы начали. Теперь я могу заменить всю правую часть на букву A, немного поупражняться в применении алгебры средней школы — и опля!

Эта маленькая прелесть — ряд Гранди, названный в честь итальянского математика, философа и священника Гвидо Гранди (Guido Grandi). Вот и всё, что есть интересного в этом ряде, и, хотя лично для меня он самый замечательный, с ним не связано никаких крутых историй или открытий. Однако именно он позволяет построить доказательство для многих интересных вещей, включая очень важное для квантовой механики и даже для теории струн уравнение. Но об этом чуть позже. А пока перейдём к доказательству утверждения №2: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 … = 1/4.

Приступим к делу так же, как и выше. Пусть мы имеем ряд B: В = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 … Теперь с этим можно поиграть. Для начала вычтем B из A. По правилам математики мы получаем следующее:

A − B = (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …) − (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …)

A − B = (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …) − 1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 …

Затем слегка перемешаем элементы, чтобы получился ещё один интересный паттерн.

A − B = (1 − 1) + (−1 + 2) + (1 − 3) + (−1 + 4) + (1 − 5) + (−1 + 6) …

A − B = 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + 5 …

И снова мы пришли к ряду, с которого начали, а поскольку нам уже известно, что A = 1/2, мы, используя основы алгебры, можем завершить доказательство нашего второго умопомрачительного факта.

Вуаля! У данного уравнения нет эффектного названия, ибо известно оно давно, и за долгие годы многие математики сумели выполнить его доказательство, что, однако не помешало им считать это уравнение парадоксальным. Как бы то ни было, оно будоражило умы учёных и даже помогло Эйлеру более широко подойти к решению «базельской проблемы», а также привело к исследованию важных математических функций, таких как дзета-функция Римана.

А теперь вишенка на торте, которую вы так долго ждали, — гвоздь программы. Первые шаги похожи на те, которые мы делали раньше: возьмём ряд C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 …, а дальше, как вы, возможно, догадались, вычтем C из B.

B − C = (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …) — (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)

Поскольку математика по-прежнему безупречна, поменяем некоторые числа местами, чтобы получить кое-что знакомое, но, вероятно, не то, о чём вы подумали.

В − С = (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …) − 1 − 2 − 3 − 4 — 5 − 6 …

В − С = (1 − 1) + (−2 − 2) + (3 − 3) + (−4 − 4) + (5 − 5) + (−6 − 6) …

B − C = 0 − 4 + 0 − 8 + 0 − 12 …

Это не то, что вы ожидали, верно? Но сейчас вы не сможете удержаться от возгласа «Вау!», ибо я готов выполнить ещё один, последний трюк, который стоит того, чтобы им восхищаться. Возможно, вы заметили, что все числа с правой стороны кратны числу −4. Следовательно, мы можем вынести этот постоянный множитель за скобки — и вновь прийти к тому, с чего начали!

А поскольку, как мы выяснили ранее, B = 1/4, получаем наш волшебный результат:

1/−12 = C, или C = −1/12.

Теперь объясню, почему этот результат важен. Во-первых, он используется в теории струн. Увы, в её первоначальной версии (в теории бозонных струн), а не в версии Стивена Хокинга (Stephen Hawking). К сожалению, теория бозонных струн несколько устарела, и сегодня учёные предпочитают суперсимметричную теорию струн, но исходная теория всё ещё используется для понимания суперструн, которые являются неотъемлемыми элементами вышеупомянутой обновлённой теории струн.

Во-вторых, суммирование по методу Рамануджана оказало большое влияние на развитие общей физики, особенно при осмыслении явления, известного как эффект Казимира. Хендрик Казимир (Hendrik Casimir) предсказал, что две незаряженные проводящие пластины, помещённые в вакуум, будут притягиваться друг к другу из-за присутствия виртуальных частиц, порождаемых квантовыми флуктуациями. Моделируя количество энергии между пластинами, Казимир использовал то самое уравнение, истинность которого мы только что доказали. Вот почему этот результат такой важный.

Итак, вы познакомились с открытым в начале 1900-х годов суммированием по методу Рамануджана, которое, хоть и прошло сто лет, всё ещё играет важную роль при решении проблем во многих областях физики и которое, если заключать пари с несведущими людьми, всё ещё может приносить победу.

P.S. Если у вас не пропал интерес к безумному уравнению Рамануджана и вы хотите узнать больше, то у меня есть для вас ссылка на беседу с двумя физиками. Они пытаются объяснить данное уравнение и показать его полезность и значимость. Это красиво, коротко и очень интересно.

Из серии рассказов на математические темы «Канторовский рай» («Cantor’s Paradise»).

Источник

Вопрос ученому: — Я слышал, что сумма всех натуральных чисел равна −1/12. Это какой-то фокус, или это правда?

Ответ пресс-службы МФТИ — Да, такой результат можно получить при помощи приема, называемого разложением функции в ряд.

Вопрос, заданный читателем, достаточно сложный, и потому мы отвечаем на него не обычным для рубрики «Вопрос ученому» текстом на несколько абзацев, а некоторым сильно упрощенным подобием математической статьи.

В научных статьях по математике, где требуется доказать некоторую сложную теорему, рассказ разбивается на несколько частей, и в них могут поочередно доказываться разные вспомогательные утверждения. Мы предполагаем, что читатели знакомы с курсом математики в пределах девяти классов, поэтому заранее просим прощения у тех, кому рассказ покажется слишком простым — выпускники могут сразу обратиться к http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation.

Начнем с разговора о том, как можно сложить все натуральные числа. Натуральные числа — это числа, которые используются для счета цельных предметов — они все целые и неотрицательные. Именно натуральные числа учат дети в первую очередь: 1, 2, 3 и так далее. Сумма всех натуральных чисел будет выражением вида 1+2+3+. = и так до бесконечности.

Ряд натуральных чисел бесконечен, это легко доказать: ведь к сколь угодно большому числу всегда можно прибавить единицу. Или даже умножить это число само на себя, а то и вычислить его факториал — понятно, что получится еще большая величина, которая тоже будет натуральным числом.

Детально все операции с бесконечно большими величинами разбираются в курсе математического анализа, но сейчас для того, чтобы нас поняли еще не сдавшие данный курс, мы несколько упростим суть. Скажем, что бесконечность, к которой прибавили единицу, бесконечность, которую возвели в квадрат или факториал от бесконечности — это все тоже бесконечность. Можно считать, что бесконечность — это такой особый математический объект.

И по всем правилам математического анализа в рамках первого семестра сумма 1+2+3+. +бесконечность — тоже бесконечна. Это легко понять из предыдущего абзаца: если к бесконечности что-то прибавить, она все равно будет бесконечностью.

Однако в 1913 году блестящий индийский математик-самоучка Сриниваса Рамануджан Айенгор придумал способ сложить натуральные числа несколько иным образом. Несмотря на то, что Рамануджан не получал специального образования, его знания не были ограничены сегодняшним школьным курсом — математик знал про существование формулы Эйлера-Маклорена. Так как она играет важную роль в дальнейшем повествовании, о ней придется тоже рассказать подробнее.

Для начала запишем эту формулу:

Как можно видеть, она достаточно сложна. Часть читателей может пропустить этот раздел целиком, часть может прочитать соответствующие учебники или хотя бы статью в Википедии, а для оставшихся мы дадим краткий комментарий. Ключевую роль в формуле играет произвольная функция f(x), которая может быть почти чем угодно, лишь бы у нее нашлось достаточное число производных. Для тех, кто не знаком с этим математическим понятием (и все же решился прочитать написанное тут!), скажем еще проще — график функции не должен быть линией, которая резко ломается в какой-либо точке.

Производная функции, если предельно упростить ее смысл, является величиной, которая показывает то, насколько быстро растет или убывает функция. С геометрической точки зрения производная есть тангенс угла наклона касательной к графику.

Слева в формуле стоит сумма вида «значение f(x) в точке m + значение f(x) в точке m+1 + значение f(x) в точке m+2 и так до точки m+n». При этом числа m и n — натуральные, это надо подчеркнуть особо.

Справа же мы видим несколько слагаемых, и они кажутся весьма громоздкими. Первое (заканчивается на dx) — это интеграл функции от точки m до точки n. Рискуя навлечь на себя гнев всей кафедры математики за примитивность подхода к интегралам, скажем, что это площадь под кривой f(x) на графике от m до n; интегралы очень широко используются в самых разных науках.

На графике «по горизонтальной оси — время, по вертикальной — скорость» интеграл, то есть площадь под кривой, будет равен пройденному пути. На графике «ежемесячные платежи по вертикали, по горизонтали время» интегралом будет сумма, пришедшая на счет за все время.

Третье слагаемое — сумма от чисел Бернулли (B_2k), поделенных на факториал удвоенного значения числа k и умноженных на разность производных функции f(x) в точках n и m. Причем, что еще сильнее усложняет дело, тут не просто производная, а производная 2k-1 порядка. То есть все третье слагаемое выглядит так:

Число Бернулли B₂ («2» так как в формуле стоит 2k, и мы начинаем складывать с k=1) делим на факториал 2 (это пока просто двойка) и умножаем на разность производных первого порядка (2k-1 при k=1) функции f(x) в точках n и m

Число Бернулли B₄ («4» так как в формуле стоит 2k, а k теперь равно 2) делим на факториал 4 (1×2х3×4=24) и умножаем на разность производных третьего порядка (2k-1 при k=2) функции f(x) в точках n и m

Число Бернулли B₆ (см.выше) делим на факториал 6 (1×2х3×4х5×6=720) и умножаем на разность производных пятого порядка (2k-1 при k=3) функции f(x) в точках n и m

Суммирование продолжается вплоть до k=p. Числа k и p получаются некоторыми произвольными величинами, которые мы можем выбирать по-разному, вместе с m и n — натуральными числами, которыми ограничен рассматриваемый нами участок с функцией f(x). То есть в формуле целых четыре параметра, и это вкупе с произвольностью функции f(x) открывает большой простор для исследований.

Оставшееся скромное R, увы, тут не константа, а тоже довольно громоздкая конструкция, выражаемая через уже упомянутые выше числа Бернулли. Теперь самое время пояснить, что это такое, откуда взялось и почему вообще математики стали рассматривать столь сложные выражения.

Числа Бернулли и разложения в ряд

В математическом анализе есть такое ключевое понятие как разложение в ряд. Это значит, что можно взять какую-то функцию и написать ее не напрямую (например y = sin(x^2) + 1/ln(x) + 3x), а в виде бесконечной суммы множества однотипных слагаемых. Например, многие функции можно представить как сумму степенных функций, умноженных на некоторые коэффициенты — то есть сложной формы график сведется к комбинации линейной, квадратичной, кубической. и так далее — кривых.

В теории обработки электрических сигналов огромную роль играет так называемый ряд Фурье — любую кривую можно разложить в ряд из синусов и косинусов разного периода; такое разложение необходимо для преобразования сигнала с микрофона в последовательность нулей и единиц внутри, скажем, электронной схемы мобильного телефона. Разложения в ряд также позволяют рассматривать неэлементарные функции, а ряд важнейших физических уравнений при решении дает именно выражения в виде ряда, а не в виде какой-то конечной комбинации функций.

В XVII столетии математики стали вплотную заниматься теорией рядов. Несколько позже это позволило физикам эффективно рассчитывать процессы нагрева различных объектов и решать еще множество иных задач, которые мы здесь рассматривать не будем. Заметим лишь то, что в программе МФТИ, как и в математических курсах всех ведущих физических вузов, уравнениям с решениями в виде того или иного ряда посвящен как минимум один семестр.

Полиномы Бернулли позже нашли свое применение не только в уравнениях матфизики, но и в теории вероятностей. Это, в общем-то, предсказуемо (ведь ряд физических процессов — вроде броуновского движения или распада ядер — как раз и обусловлен разного рода случайностями), но все равно заслуживает отдельного упоминания.

Громоздкая формула Эйлера-Маклорена использовалась математиками для разных целей. Так как в ней, с одной стороны, стоит сумма значений функций в определенных точках, а с другой — есть и интегралы, и разложения в ряд, при помощи этой формулы можно (в зависимости от того, что нам известно) как взять сложный интеграл, так и определить сумму ряда.

Сриниваса Рамануджан придумал этой формуле иное применение. Он ее немного модифицировал и получил такое выражение:

В качестве функции f(x) он рассмотрел просто x — пусть f(x) = x, это вполне правомерное допущение. Но для этой функции первая производная равна просто единице, а вторая и все последующие — нулю: если все аккуратно подставить в указанное выше выражение и определить соответствующие числа Бернулли, то как раз и получится −1/12.

Это, разумеется, было воспринято самим индийским математиком как нечто из ряда вон выходящее. Поскольку он был не просто самоучкой, а талантливым самоучкой, он не стал всем рассказывать про поправшее основы математики открытие, а вместо этого написал письмо Годфри Харди, признанному эксперту в области как теории чисел, так и математического анализа. Письмо, кстати, содержало приписку, что Харди, вероятно, захочет указать автору на ближайшую психиатрическую лечебницу: однако итогом, конечно, стала не лечебница, а совместная работа.

Суммируя все сказанное выше, получим следующее: сумма всех натуральных чисел получается равной −1/12 при использовании специальной формулы, которая позволяет разложить произвольную функцию в некоторый ряд с коэффициентами, называемыми числами Бернулли. Однако это не значит, что 1+2+3+4 оказывается больше, чем 1+2+3+. и так до бесконечности. В данном случае мы имеем дело с парадоксом, который обусловлен тем, что разложение в ряд — это своего рода приближение и упрощение.

Можно привести пример намного более простого и наглядного математического парадокса, связанного с выражением чего-то одного через что-то другое. Возьмем лист бумаги в клеточку и нарисуем ступенчатую линию с шириной и высотой ступеньки в одну клетку. Длина такой линии, очевидно, равна удвоенному числу клеток — а вот длина спрямляющей «лесенку» диагонали равна числу клеток, умноженному на корень из двух. Если сделать лесенку очень мелкой, она все равно будет той же длины и практически не отличимая от диагонали ломаная линия окажется в корень из двух раз больше той самой диагонали! Как видите, для парадоксальных примеров писать длинные сложные формулы вовсе не обязательно.

Формула Эйлера-Маклорена, если не вдаваться в дебри математического анализа, является таким же приближением, как и ломаная линия вместо прямой. Используя это приближение можно получить те самые −1/12, однако это далеко не всегда бывает уместно и оправдано. В ряде задач теоретической физики подобные выкладки применяются для расчетов, но это тот самый передний край исследований, где еще рано говорить о корректном отображении реальности математическими абстракциями, а расхождения разных вычислений друг с другом — вполне обычное дело.

Так, оценки плотности энергии вакуума на основе квантовой теории поля и на основе астрофизических наблюдений различаются более чем на 120 порядков. То есть в 10^120 степени раз. Это одна из нерешенных задач современной физики; тут явно просвечивает пробел в наших знаниях о Вселенной. Или же проблема — в отсутствии подходящих математических методов для описания окружающего мира. Физики-теоретики совместно с математиками пытаются найти такие способы описать физические процессы, при которых не будет возникать расходящихся (уходящих в бесконечность) рядов, но это далеко не самая простая задача.

Источник

Сумма всех натуральных чисел: 1 + 2 + 3 + 4 +…

Сумма всех натуральных чисел может быть записана с использованием следующего числового ряда

Чему равна сумма этого бесконечного ряда? Перед тем, как читать дальше, дайте себе минуту на размышления. Если вы до этого не встречались с подобным рядом, а тема численных рядов в целом не слишком вам близка, то ответ на этот вопрос будет для вас большим сюрпризом.

Этот, на первый взгляд, совершенно противоречащий интуиции результат, тем не менее может быть строго доказан. Но прежде, чем говорить о доказательстве, нужно сделать отступление и вспомнить основные понятия.

Начнём с того, что «классической» суммой ряда называется предел частичных сумм ряда, если он существует и конечен. Подробности можно найти в википедии и соответствующей литературе. Если конечный предел не существует, то ряд называется расходящимся.

Например, частичная сумма первых k членов числового ряда 1 + 2 + 3 + 4 +… записывается следующим образом

Нетрудно понять, что эта сумма неограниченно растёт при стремлении k к бесконечности. Следовательно, исходный ряд является расходящимся и, строго говоря, не имеет суммы. Существует, однако, множество способов присвоить конечное значение расходящимся рядам.

Ряд 1+2+3+4+… далеко не единственный из расходящихся рядов. Возьмём, например, ряд Гранди

Здесь важно отметить, что методы суммирования не являются трюками, которые придумали математики, чтобы как-то совладать с расходящимися рядами. Если вы примените суммирование по Чезаро или метод Абеля к сходящемуся ряду, то ответ, который дают эти методы, равен классической сумме сходящегося ряда.

Где является эта-функцией Дирихле

Интересно, что этот результат находит своё применение в физике. Например, в теории струн. Обратимся к стр. 22 книги Joseph Polchinski «String Theory»:

Если для кого-то теория струн не является убедительным примером в силу отсутствия доказательств множества следствий этой теории, то можно также упомянуть, что похожие методы фигурируют в квантовой теории поля при попытке рассчитать эффект Казимира.

Чтобы два раза не ходить, ещё пара интересных примеров с дзета-функцией

Для тех, кто захочет получить больше информации по теме отмечу, что написать данную заметку я решил после перевода соответствующей статьи на википедии, где в разделе «Ссылки» вы сможете найти массу дополнительного материала, в основном на английском языке.

Источник