что такое эквивалентные параметры колебательной системы

Для уменьшения величины модовой дисперсии применяют многомодовые градиентные световоды (рис. 10.17), в которых показа­тель преломления сердцевины изменяется вдоль радиальной коор­динаты r по нелинейному закону. Траектории лучей в неоднородной среде сердцевины являются криволинейными.

Рис. 10.17. Ход лучей и распределение показателя преломления в градиент­ном многомодовом ВС

На рис. 10.17 пока­зан ход лучей и распределение показателя преломления в градиентном многомодовом ВС. Траектории лучей, пересекающих ось сердцевины под большими углами, имеют большую длину, однако они проходят в области сердцевины, где показатель преломле­ния меньше, а фазовая скорость волн выше. Это приводит к выравниванию времен распространения различных мод в ВС, что существенно снижает величину модовой дисперсии. Лучшие об­разцы градиентных многомодовых ВС имеют коэффициент широ-кополосности более 1,2. 1,5 ГГц • км.

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

11.1. Резонансные линии. Их свойства

Колебательные системы являются одними из наиболее распро­страненных элементов электронных схем. В частотном диапазоне, где длины электромагнитных волн намного превосходят линейные размеры элементов электронных схем, применяются колебав тельные системы с сосредоточенными параметрами. Они реализу­ются в виде колебательных контуров, представляющих последовательное или параллельное соединение сосредоточенных индуктивностей, емкостей и сопротивлений. Колебательный процесс в контуре представляет непрерывный, периодический обмен энер­гией между электрическим полем, сосредоточенным в конденса­торе, и магнитным полем катушки индуктивности.

С повышением частоты уменьшается длина волны и соответ­ственно должны уменьшаться размеры элементов колебательных систем с сосредоточенными параметрами. На частотах выше не­скольких сотен мегагерц они становятся настолько малыми, что возникают серьезные трудности при их изготовлении и примене­нии. Кроме того, с ростом частоты в сосредоточенных элементах увеличиваются тепловые потери (за счет скин-эффекта) и потери на излучение. Поэтому на достаточно высоких частотах (на деци­метровых и более коротких волнах) применяют преимущественно колебательные системы из элементов с распределенными парамет­рами. Характерными примерами таких систем являются короткие отрезки длинных линий, называемые резонансными линиями, и полые резонаторы, образованные замкнутыми металлическими оболочками.

Резонансными линиями называются короткие отрезки длинных линий, которые используются в качестве колебательных контуров с распределенными параметрами. Достоинствами резонансных ли­ний являются высокие электрические показатели, эксплуатацион­ная надежность и простота конструкции. Применяются они в ос­новном на дециметровых и сантиметровых волнах, так как в мет­ровом диапазоне они приобретают недопустимо большие размеры.

Основанием для использования отрезков длинной линии в ка­честве колебательных систем является характер зависимости вход­ного сопротивления линии от ее длины в режиме стоячих волн. Входное сопротивление идеальной разомкнутой линии, длина ко­торой равна четному числу четвертей длины волны, согласно вы­ражению (9.15) и рис. 9.16 равно бесконечности. При небольшом укорочении линии или при понижении частоты ее реактивное вход­ное сопротивление приобретает индуктивный характер, а при не­значительном увеличении длины линии или частоты — емкостной характер. Поведение линии такой длины с изменением частоты аналогично поведению параллельного колебательного контура.

Если длина разомкнутой линии равна нечетному числу четвер­тей длины волны, то ее входное сопротивление становится рав­ным нулю. Поведение такой линии при незначительном измене­нии частоты аналогично поведению последовательного колеба­тельного контура (см. рис. 9.15).

Зависимость входного сопротивления от длины идеальной короткозамкнутой линии имеет тот же характер, что и для разомкну­той линии, но отличается сдвигом на четверть длины волны (см. рис. 9.18, а). Поэтому короткозамкнутая линия с изменением час­тоты ведет себя как параллельный контур при длине, равной нечетному числу четвертей длины волны, и как последовательный контур — при длине, равной четному числу четвертей длины волны.

Отмеченные свойства отрезков линий широко используются в электронных схемах для дециметровых и сантиметровых волн. Так, линии с длиной, кратной четверти длины волны, используются в качестве колебательных контуров и согласующих трансформато­ров. Отрезки линий с длиной, не кратной четверти длины волны, применяются в качестве реактивных сопротивлений.

Входное сопротивление разомкнутой и короткозамкнутой ли­нии с потерями имеет конечные по величине активную и реак­тивную составляющие (см. рис. 9.16 и 9.18, б). В этом случае пове­дение указанных отрезков длинной линии эквивалентно поведе­нию реальных колебательных контуров с потерями.

Резонансные линии, соответствующие последовательному или параллельному колебательному контуру, принято характеризовать эквивалентными параметрами этого контура, к которым относят­ся резонансные частоты, характеристическое сопротивление, ре­зонансное сопротивление и добротность. Эти параметры позволя­ют проводить расчеты электронных схем, в составе которых ис­пользуются резонансные линии, точно так же, как и с примене­нием колебательных контуров.

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Источник

Рассмотрим эквивалентные параметры резонансных линий, соответствующих параллельному колебательному контуру.

Резонансные частоты. На длине l разомкнутой и короткозамк­нутой резонансных линий, эквивалентных параллельному коле­бательному контуру, должно укладываться соответственно четное и нечетное число четвертей длины волны. Так как в режиме сто­ячих волн входное сопротивление длинной линии является пери­одической функцией частоты, то установленные условия эквива­лентности для обоих типов резонансных линий могут быть одно­временно выполнены для бесконечного значения частот, кото­рые называются резонансными. Такая многочастотность резонанс­ных линий в отличие от колебательных контуров является их ха­рактерной особенностью и недостатком.

При практическом использовании линий в схемах к их входу почти всегда присоединена конструктивная емкость предшествую­щего каскада, а на выходе линии часто включаются реактивные подстроечные элементы — конденсаторы и катушки индуктивнос­ти. В этом случае происходит изменение расположения стоячих волн вдоль линии (см. пример для разомкнутой линии на рис. 9.20), что сопровождается изменением резонансных частот. Включение ин­дуктивности в конце короткозамкнутой линии повышает резонан­сную частоту, что эквивалентно укорочению линии. Включение емкости приводит к понижению частоты и эквивалентно удлине­нию короткозамкнутой линии, что часто используется для настройки линии в резонанс при помощи конденсатора переменной емкости.

Увеличение чисел т и п приводит к росту емкости соответствую­щего эквивалентного контура. Так как это увеличивает запас элек­трической энергии в контуре, то его добротность также повышается.

Резонансное сопротивление колебательного контура определяет его добротность и, следовательно, частотно-избирательные свой­ства. Этот параметр характеризует реальные контуры с потерями.

Известно, что входное сопротивление линии при резонансе является активным и определяется имеющимися в ней потерями.

Причинами потерь в реальных резонансных линиях являются: сопротивление проводников линии; сопротивление проводников соединяющих линию с элементами схем; сопротивление короткозамыкающих мостиков; потери в контактах; потери в диэлектриках и потери на излучение. Достаточно точно можно рассчитать лишь тепловые потери в проводниках конструктивных элементов линии. Остальные виды потерь оцениваются качественно или измеряются. Например, определим резонансное сопротивление, обусловленное потерями в проводниках самой линии.

В резонансных линиях вследствие их малой длины полные потери электромагнитной энергии очень малы. В этом приближении! резонансное сопротивление эквивалентного контура для разомкнутой линии имеет вид R_экв.хх= 8W 2 (mR₀λ₀), где R₀ — погонное активное сопротивление линии.

Резонансное сопротивление разомкнутой линии на основном виде колебаний при т = 2 достигает максимального значения R_{экв.хх.max} = 4W 2 /R₀λ_0k.

Из приведенных соотношений видно, что максимальное зна­чение резонансного сопротивления короткозамкнутой линии в 2 раза больше, чем разомкнутой.

Для обоих типов ненагруженных линий с учетом выражений для их эквивалентных емкостей и резонансных сопротивлений (обусловленных только потерями в проводниках линии) получа­ется одно и то же выражение для добротности эквивалентного параллельного контура: Q_экв = 2πW/ R₀λ₀.

Добротность резонансной линии может быть повышена за счет изменения ее эквивалентной емкости С_экв, которая увеличивается с ростом длины соответствующей резонансной линии, т.е. с увеличением чисел т и п. Поэтому для повышения добротности при­меняют линии с длиной в несколько четвертей волны.

11.2. Двухпроводные резонансные линии

В качестве резонансных линий используют короткозамкнутые отрезки воздушных двухпроводных линий. По сравнению с разом­кнутыми линиями они имеют более жесткую конструкцию, меньшую резонансную длину для основного типа колебаний и более высокое резонансное сопротивление.

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Источник

3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического регулирования. 3.5 Колебательное звено

Колебательное звено является наиболее интересным случаем из всех типовых звеньев, во-первых, за счет “сильной похожести” по своим динамическим свойствам на более сложные реальные САУ САР, во-вторых, близкой идентичности переходных процессов в звене к аналогичным в реальных САР, и, в-третьих, существенной зависимости динамических свойств от величины параметра звена.

Выведем формулу колебательного звена на примере электрического колебательного контура, который изучают в курсе школьной физики. Пример такого контура приведен на рисунке 3.5.1

Рисунок 3.5.1 Модель электического колебательного контура

Электрическая цепь содержит источник напряжения и последовательно соединённые индуктивность, сопротивление, конденсатор.

Входное ступенчатое воздействие xt, формирующее внешнюю Э.Д.С в цепи, подключено к блоку «источнику напряжения» хt = Uвхt.

Согласно второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, сумма Э.Д.С равна сумме напряжения на резистивных элементах контура.

— ЭДС индукции на катушке, направленопротивизменениятока;

— падение напряжении на сопротивлении.

Поскольку в замкнутом контуре сила тока одинакова на всех элементах, перепишем уравнения, выразив силу тока через напряжение на конденсаторе. Сила тока в цепи равна изменению заряда конденсатора:

где:

— заряд кондесатора.

Тогда сила тока в цепи связана с напряжение на конденсаторе соотношением:

После замены силы тока, ее выражением через получим следующие выражение:

Заменив и получим уравнение колебательного звена:

Уравнение динамики звена описывается уравнением, аналогичным рассмотренном в предыдущем разделе (апериодическое звено второго порядка):

причем , т.е.

Учитывая, что , удобнее представить уравнение динамики в другой форме, а именно:

Введем новые параметры: и , где — параметр (коэффициент) затухания (демпфирования).

Подставляя новые параметры в (3.5.1):

Перейдем к изображениям: и уравнение динамики в изображениях Лапласа:

Передаточная функции колебательного звена:

Еще раз подчеркнем, что параметр (коэффициент) затухания (демпфирования) , причем при 1″ alt=»\beta > 1″ src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/88a/1d4/1e3/88a1d41e3070af8864f76fc755c23f06.svg»/>свойства колебательного звена совпадают с аналогичными свойствами соответствующего апериодического звена 2-го порядка, а при звено выражается в консервативное, в котором могут существовать незатухающие гармонические колебания.

Выражение для АФЧХ получается после подстановки в (3.5.3) значения :

Домножим числитель и знаменатель формулы 3.5.4 на компексно сопряженное выражения для знаменателя :

Выражения для вещественной и мнимой частей принимают вид:

Амплитуда АФЧХ

Сдвиг фазы

Анализ формул (3.5.5 − 3.5.8) показывает, что:

Одной из главных особенностей АФЧХ является возможность существования экстремума в зависимости A(ω). Выполним исследование на экстремум:

Очевидно что, для того, что бы выражение равнялось нулю необходиом равенство нлую следующего выражения:

Отсюда вырражение для экстермума:

Очевидно, что существует если

Если , то заивисмость имеет экстремум.

Если \frac<\sqrt<2>><2>» alt=»\beta >\frac<\sqrt<2>><2>» src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/6c8/fba/8d5/6c8fba8d5ad46b794c1ab808b9b3a662.svg»/>, экстремума в заивсимости нет.

Вычислим максимальное значение , под ставим выражение для 3.5.10 в формулу 3.5.7, получим:

Анализ вышеприведенных соотношений показывает, что при график имеет горб, который при уменьшении растет и при , что означает разрыв в зависимости .

Частоту ω_м будем отождествлять с тем значением частоты входного гармонического воздействия, при которой имеет место максимальное значение амплитуды выходного сигнала.

Поскольку , то очевидна роль постоянных времени :

– ‘раскачивает’ колебания, а − ‘демпфирует’ их. Рассмотрим соответствующие графики:

Рисунок 3.5.2 АЧХ колебательного звена Рисунок 3.5.3 ФЧХ колебательного звена

Данные графики аналогичны для случаев резонансов в теоретической механике, физике, электротехнике и т.д.

Величину принято называть частотой свободных колебаний и обозначать ω₀.

Рассмотрим колебательное звено в котором β = 0. Очевидно, что в данном звене при ступечатом воздействии устанавливаются незатухающие колебания, а само звено вырождается в консервативное. При этом согласно формуле 3.5.10 выражение экстремума для такого звена:

Величину принято называть частотой свободных колебаний и обозначать ω₀.

Подставляя различные значения ω в формулу (3.5.5) или (3.5.6) построим годограф АФЧХ на комплексной плоскости:

Рисунок 3.5.4 АФЧХ колебательного звена Рисунок 3.5.5 Годограф АФЧХ консервативного звена

Построение ЛАХ ≡Lm(ω) не может быть сделано так же просто, как для предыдущих позиционных звеньев, т.е. она не сводится к комбинации отрезков прямых.

Будем использовать для построения графика ЛАХ нормированную (безразмерную) частоту , где — частота свободных колебаний, имеющим место в консервативном звене со следующим уравнением динамики:

Решим данное уравнение динамики, используя корни характеристического уравнения :

Введя новую переменную в выражение для Lm(ω) = 20 lg (А(ω)):

Таким образом мы получаем выражение, которое не зависит от Т. Такая форма представления позволяет ‘свести’ различные ЛАХ при различных Т к автомодельному (‘универсальному’) виду графиков.

На рисунке ниже представлен график Lm(ω) в форме (3.5.12), построенный фактически в логарифмических координатах, причем коэффициент усиления K=1.

Рисунок 3.5.6 ЛАХ колебательного звена

Подчеркнем, что при такой форме представления все ЛАХ при различных T₁и T₂ можно “собирать вместе”.

Величина H_m (см. рис. 3.5.6) называется превышением:

при ω=ω_m (эта формула работает для ярко выраженных горбов).

Вычислим переходную функцию звена h(t):

Для вычисления переходной функции воспользуемся формулой Хэвисайда сначала найдем полюса

По формуле Хэвисайда

Разберем отдельно каждый предел:

Для вычисления 2-го и 3-го предела в формуле Хэвисайда более удобно использовать новые переменные m и n:

Тогда корни выраженные через переменные m и n будут записаны как:

Разложим квадратный трех член в скобках в занаментели на множетели и использованием корней :

тогда 2-й предел в фомуле Хевисайда можно записать как:

домножая на комплексно сопряженное число числитель и знаменатель получим значение второго предела:

Анологично 3-й предел в формуле Хевисайда можно записать как:

домножая на комплексно сопряженное число , числитель и знаменатель получим значение третьего предела:

Отдельно сложим второе и третье слогаемое в формуле Хевисайда:

подставляя значения n и m:

и собирая все слагаемые формулы 3.5.15 получаем:

Введем новую переменную и перепишем формулу для переходной функции:

Величина называется частотой собственной колебаний при .

Таким образом в описании колебательного звена появилось три “новых” частоты

— частота свободных колебаний;

— частота, соответствующая максимальной амплитуде;

— частота собственных колебаний.

Причем

Рассмотрим предельные случаи для β (т.е. β = 1 и β = 0):

Если , то :

Рисунок 3.5.6 Переходная функция консервативного звена

Если , то , т.е. собственных колебаний в звене нет, процесс без колебательный. В этом случае возникают трудности со вторым слагаемым в круглых скобках формулы (3.5.16).

Раскрываем неопределенность типа :

эта формула соответствует также аналогичной формуле для апериодического звена 2-го порядка при D = 0 (совпадающие полюса).

Рисунок 3.5.8 Переходная функция колебательного звена (при β = 1) Рисунок 3.5.9 Переходная функция колебательного звена (при 0

Если , то

Дифференцируя во времени формулы (3.5.16 − 3.5.18), найдем соответствующие весовые функции для крайних значений (w(t)):

Если

Рисунок 3.5.10 Весовая функция колебательного звена при β = 0.

Если

Рисунок 3.5.11 Весовая функция колебательного звена при β = 1.

Если

Рисунок 3.5.12 Весовая функция колебательного звена при 0

Примерами колебательного звена можно считать:

R − C − L – цепь см. начало статьи;

Упругие механические передачи;

Управляемый двигатель постоянного тока (при некоторых условиях).

Пример

В качестве примера для исследования колебательного звена возьмем электрический колебательный контур, который был рассмотрен в начале статьи и сравним его с моделью колебательного звена. Модель контура представлена на рисунке 3.5.13:

Рисунок 3.5.13 Модель колебательного контура

Схема модели содержит в себе:

модель электрического контура в виде электрической схемы;

модель контура в виде колебательного звена.

Параметры электрической схемы задаются в виде общих сигналов проекта. См. рис. 3.5.14:

Рисунок 3.5.14 Общие сигналы проекта. Рисунок 3.5.15. Вычисление параметров для колебательного звена.

В общем скрипте проекта выполняется вычисление постоянной времени T и коэффициента демпфирования

Для сравнения модели в виде электрической схемы и модели в виде колебательного звена, выполним моделирование ступенчатого возрастания напряжения, с 0 до 1 В.

Рисунок 3.5.16. Графики напряжений источника и на конденсаторе.

Выполним гармонический анализ данной модели, аналогично тому, как мы это делали для модели демпфера и камеры смешения реактора демпфера.

Рисунок 3.5.17 Сравнение модели контура и колебательного звена

На графике рис. 3.5.16 видно возникновение колебательного процесса и его затухание с течением времени. График на рис. 3.5.17 показывает практически полное совпадение модели в виде электрической схемы и модели в виде колебательного звена:

Выполним гармонический анализ данной модели, аналогично тому, как мы это делали для модели демпфера и камеры смешения реактора демпфера (см. разделы 3.3 Апериодическое звено 1-го порядка. и 3.1 Амплитудно-фазовая частотная характеристика). Расчетная схема для такого анализа приведена на рисунке 3.5.18.

Рисунок 3.5.18. Частотный анализ электрического контура

Результаты анализа представлены на рисунке 3.5.19

Рисунок 3.5.19 Результаты гармонического анализа.

Результаты моделирования показывают практическое совпадение теоретических значений частоты, при которой достигается максимальная амплитуда сигнала, и значений, полученных в результате моделирования электрической схемы: Теоретическое значение = 111,75 Гц Полученное моделированием = 112,2 Гц

Для исследования влияния параметров модели добавим на схему управляющие элементы, которые буду менять сопротивление резистора и емкость конденсатора во время расчёта.

Рисунок 3.5.20 Модель с изменяемыми параметрами контура.

Также выведем на схему значения коэффициента демпфирования с помощью текста и стрелочного прибора. Чтобы можно было отслеживать влияние параметров цепи на процесс, заменим ступенчатое воздействие на меандр. Схема модели примет вид, как это представлено на рисунке 3.5.20

Чтобы данная конфигурация заработала, необходимо добавить в скрипт программы код, который заберёт значения с ползунков и передаст их в параметры модели (см. рис 3.5.21)

Рисунок 3.5.21. Скрипт изменения параметров модели

Данная модель позволяет изменить сопротивление резистора и емкость конденсатора, и оценить влияние этого изменения на переходной процесс. Подобное изменение мы делали в предыдущем примере, где изменение силы терпения в механическом демпфере выполнялось автоматически, и апериодическое звено второго порядка превращалось в колебательное. В текущем примере мы можем «вручную», с помощью ползунков, изменить параметры цепи и получить из колебательного звена апериодическое звено второго порядка.

Например, при положении ползунков, изображенном на рисунке 3.5.22, колебательный контур превращается в апериодическое звено второго порядка (см. рис. 3.5.23.)

Рисунок 3.5.22. Настройки контура для устранения колебаний Рисунок 3.5.23. Графики изменения переходных процессов в контуре при изменении R и С.

При увеличении сопротивления резистора и емкости кондесатора происходит увеличение коэффициента демпфирования, и когда Если 1 \Rightarrow » alt=»\beta >1 \Rightarrow » src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/3cc/2a4/cc7/3cc2a4cc7489acadbe3822fa87e3ca8c.svg»/> колебательное звено превращается в апериодическое 2-го порядка. (см. график на рис 3.5.23.

Поскольку мы рассматриваем общую тему частотных характеристик, доработаем наш виртуальный стенд с контуром так, чтобы можно было «вручную» исследовать частотные воздействия на контур.

Заменим в качестве источника блок «меандр», на блок «синусоида» и добавим ползунок, изменяющий частоту этого источника, а также добавим на схему текстовые надписи, отображающие частоты максимальной амплитуды, частоты собственных колебаний и частоты свободных колебаний. Расчетная схема будет выглядеть как на рисунке 3.5.25

Рисунок 3.5.24 Схема колебательного контура с настройками частоты источника.

Добавляем в скрипт необходимый код, обеспечивающий расчет частот максимальной амплитуды, собственных колебаний и свободных колебаний, а также код для изменения частоты источника напряжения. Данный код скрипта приведен на рисунке 3.5.25

Рисунок 3.5.24 Скрипт для управления и отображения частоты.

Данная модель позволяет независимо настраивать параметры цепи и частоту источника напряжения.

В частности, можно убедится, что при различных настройках колебательного контура максимальная амплитуда колебаний напряжения достигается тогда, когда частота источника совпадает с частотой максимальной амплитуды, рассчитанной по формуле 3.5.10 см.скрипт на рис. 3.5.24.

Видео с управлением данным контуром можно посмотреть по ссылке.

А, например, на следующем графике изображено изменение напряжения на конденсаторе при повышении частоты источника от 0 до 300 Гц с шагом 1 Гц – 1 сек.

Примеры проектов для самостоятельного изучения можно взять по ссылке здесь.

Источник