что значит найти угол между диагоналями

Геометрические фигуры. Прямоугольник. Формулы.

Диагонали прямоугольника.

Диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину.

Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.

Длина диагонали прямоугольника можно вычислить по теореме Пифагора. И она равняется квадратному корню из суммы квадратов длины и ширины.

Формулы для вычисления длины диагонали прямоугольника:

1. Формула диагонали прямоугольника через 2 стороны прямоугольника (по теореме Пифагора):

2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и сторону:

3. Формула диагонали прямоугольника через периметр и сторону:

4. Формула диагонали прямоугольника через радиус окружности (описанной):

5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр окружности (описанной):

6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны противолежащей этому углу:

7. Формула диагонали прямоугольника через косинус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны, которая прилегает к этому углу:

8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:

Признаки прямоугольника.

— Если диагонали его имеют одинаковую длину.

— Если квадрат диагонали параллелограмма равняется сумме квадратов смежных сторон.

— Если углы параллелограмма имеют одинаковую величину.

Стороны прямоугольника.

Формулы для определения длин сторон прямоугольника:

1. Формула стороны прямоугольника (длина и ширина прямоугольника) через диагональ и еще одну сторону:

2. Формула стороны прямоугольника (длина и ширина прямоугольника) через площадь и еще одну сторону:

3. Формула стороны прямоугольника (длина и ширина прямоугольника) через периметр и еще одну сторону:

4. Формула стороны прямоугольника (длина и ширина прямоугольника) через диаметр и угол α:

5. Формула стороны прямоугольника (длина и ширина прямоугольника) через диаметр и угол β:

Окружность, описанная вокруг прямоугольника.

Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника:

1. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через 2-е стороны:

2. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через периметр квадрата и сторону:

3. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через площадь квадрата:

4. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диагональ квадрата:

5. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диаметр окружности (описанной):

6. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны противолежащей этому углу:

7. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через косинус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны у этого угла:

8. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:

Угол между стороной и диагональю прямоугольника.

Формулы для определения угла между стороной и диагональю прямоугольника:

1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:

2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:

Угол между диагоналями прямоугольника.

Формулы для определения угла меж диагоналей прямоугольника:

1. Формула определения угла меж диагоналей прямоугольника через угол между стороной и диагональю:

2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ:

Источник

Угол между диагоналями прямоугольника

Как связаны угол между диагоналями прямоугольника и угол между диагональю прямоугольника и его стороной?

Острый угол между диагоналями прямоугольника равен φ. Найти угол между диагональю прямоугольника и его большей стороной.

I способ

1) ∠DOC=180º-∠AOD=180º-φ (как смежные).

2) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

II способ

Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей.

∠ACD — вписанный угол, ∠AOD — соответствующий ему центральный угол. Следовательно,

Задача 2. (обратная к задаче 1)

Угол между диагональю прямоугольника и его большей стороной равен α. Найти меньший угол между диагоналями прямоугольника.

1) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

(так как OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).

Вывод: острый угол между диагоналями прямоугольника в два раза больше угла между диагональю прямоугольника и его большей стороной.

Источник

Найти угол между диагоналями параллелограмма

Свойства углов между диагоналями параллелограмма:

1. Противоположные углы равны

2. Косинус тупого угла, всегда имеет отрицательное значение: cos β

Формулы косинуса острого и тупого углов между диагоналями, через стороны и диагонали (по теореме косинусов):

Формула синуса острого и тупого углов через площадь (S) и диагонали:

Формулы соотношения острого и тупого углов между диагоналями:

Для определения величины угла в градусах или радианах, используем функции arccos и arcsin

Источник

Угол между диагоналями «α» прямоугольника

Свойства

Зная угол между диагоналями, можем найти оба угла пересечения диагонали со стороной. Если построить перпендикуляр из точки пересечения диагоналей в сторону – полуось симметрии прямоугольника, то мы получим прямоугольный треугольник, подобный тому, который образует диагональ со сторонами. Из этого треугольника видно, что углы, образованные сторонами и диагональю, в два раза меньше, чем углы при пересечении диагоналей. (рис. 56.2, 56.3) α=γ/2 β=δ/2

При этом можно использовать свойство вертикальных углов, которое говорит о том, что острый и тупой угол в сумме дают 180 градусов, для того чтобы найти второй центральный угол. m(

Или из прямоугольного треугольника с диагональю и сторонами найти сначала угол α и затем вычесть его из 90 градусов. m(

Теперь имея угол, между стороной и диагональю, и саму диагональ, можно найти стороны, используя прямоугольный треугольник. (рис. 56.1) Отношение противолежащего катета – стороны к гипотенузе – диагонали является синусом угла α, следовательно, сторона прямоугольника равна произведению синуса на диагональ. Вторая сторона будет равна тогда произведению косинуса угла α на диагональ, так как она является прилежащей углу. b=d sin⁡(α/2) a=d cos⁡(α/2)

Те же самые формулы в обратном порядке можно использовать для угла β: a=d sin⁡β b=d cos⁡β

Если необходимо найти периметр и площадь прямоугольника, следует подставить в формулы вместо сторон выведенные выражения. P=2(a+b)=2(d sin⁡β+ d cos⁡β )=2d(sin⁡β+ cos⁡β) P=2d(sin⁡α+ cos⁡α) S=ab=d sin⁡β* d cos⁡β=d^2 sin⁡β cos⁡β S=d^2 sin⁡α cos⁡α

Для того чтобы найти радиус окружности, которую можно описать вокруг прямоугольника, нужно разделить его диагональ на два, так как она совпадает с диаметром. (рис.56.3) R=d/2

Источник