Уравнение называется алгебраическим, если его можно представить в виде:
Формула (1.1) – каноническая форма записи алгебраического уравнения. Если уравнение f(x)=0 не удается привести к виду (1.1) заменой переменных, то уравнение называется трансцендентным.
Известно, что уравнение (1.1) имеет ровно n корней – вещественных или комплексных. Если n =1, 2, 3 [и иногда 4 (биквадратное уравнение], то существуют точные методы решения уравнения (1.1). Если же n >4 или уравнение – трансцендентное, то таких методов не существует, и решение уравнения ищут приближенными методами. Всюду при дальнейшем изложении будем предполагать, что f(x) – непрерывная функция. Методы, которые мы рассмотрим, пригодны для поиска некратных (то есть изолированных) корней.
1.1 Отделение корня
Решение уравнения состоит из двух этапов: 1 – отделение корня, 2 – его уточнение.
Корень можно отделить аналитически и графически.
Графический метод отделения корня
1.2 Уточнение корня методом деления отрезка пополам
Самый простой метод, пригодный для любых непрерывных функций – метод деления отрезка пополам.
Будем предполагать, что уравнение (1.1) имеет лишь изолированные корни, то есть для каждого корня существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.
Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:
1. Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f ( x ), в каждом из которых содержится только один корень уравнения (1).
2. Уточнение корней до заданной точности.
Отделение корней можно проводить графически и аналитически.
с точностью ε = 0,0001. Отделим корень графически. Для этого преобразуем уравнение к виду
и построим графики функций (рис. 4):
Из рисунка видно, что абсцисса точки пересечения этих графиков принадлежит отрезку [0; 1].
Отделить (локализовать) корни – это значит выделить из области допустимых значений функции y=f(x) отрезки, в каждом из которых содержится единственный корень.
Для функции общего вида не существует универсальных методов решения задачи локализации корней. Отделить корни уравнения f(x)=0 можно разными способами. Рассмотрим некоторые из них.
1) Табулирование функции. Строится таблица значений функции у=f(x) на некотором отрезке xÎ[a, b]. Если окажется, что для соседних значений аргумента значения функции имеют разные знаки, то хотя бы один корень уравнения 2.1 может находиться между ними.
2) Графический метод. Если удается построить график функции y=f(x), то можно определить количество и расположение нулей функции, выделяя те промежутки оси Х, где график y=f(x) пересекает ось Х.
Если построение графика y=f(x) затруднительно, тоисходное уравнение f(x)=0 заменяется эквивалентным ему уравнениемj(x)=y(x) и строятся графики функций у1=j(x) и у2=y(x). Искомый корень является абсциссой точки пересечения графиков этих функций.
3) Исходя из физического смысла задачи.
4) Убедиться в том, что на данном отрезке xÎ[a, b] (например, грубо определенном графическим способом) действительно имеется единственный корень уравнения (2.1), можно аналитическим способом, в основе которого лежит известная теорема математического анализа [3]:
Теорема 2.1. Если непрерывная на отрезке [a, b] функция y=f(x) принимает на концах его противоположные знаки, т.е. f(a)f(b) х – 2х 2 = 0, (2.2)
т.е. выяснить, сколько корней имеет это уравнение, и найти интервалы, в которых находятся по единственному корню.
Способ1. Составим таблицу значений функции f(x)=4 – е х – 2х 2 на промежутке [–3, 1] (табулирование функции).
Из таблицы видно, что на отрезках [–2,–1] и [0,1] существуют, по крайней мере, по одному корню уравнения (2.2).
Построим графики функций у=j(x) и у=y(x) (рис. 2.2). Они пересекаются в двух точках, абсциссы которых х * 1 и х * 2 являются решениями уравнения j (x)=y (x), т.е. решением уравнения (2.2).
Рис. 2.2. Графический способ отделения корней
n Пример 2.2. Локализовать корни уравнения
которое получается при решении задачи устойчивости стержня (рис.2.3), где
При решении задач устойчивости нас обычно интересует наименьшее значение критической нагрузки, т.е. надо найти наименьший положительный корень уравнения (2.3).
Таблица 2.2
х
f(x)=х-tg(x)
0,000
0,5
–0,046
–0,557
1,5
–12,601
4,185
2,5
3,247
3,143
3,5
3,125
2,842
4,5
–0,137
Рис.2.3. К зада-че устойчи-вости стержня
5
Рис.2.4. Локализация корней уравнения х–tg(x)=0
Если при решении данной задачи отделение корней производить на основании таблицы табулирования (табл.2.2), то можно допустить ошибку, предположив, что корень уравнения находится на отрезке [1.5, 2], где функция меняет знак.
В действительности, на этом участке функция f(x)=х–tg(x) терпит разрыв (т.е. не выполняются условия теоремы 2.1) и это хорошо видно на рис.2.4.
Таким образом, искомый корень уравнения находится на отрезке [4, 4.5], где выполняются условия теоремы 2.1.
Реферат: Отделение корней. Графический и аналитический методы отделения корней
Название: Отделение корней. Графический и аналитический методы отделения корней Раздел: Рефераты по информатике Тип: реферат Добавлен 11:03:33 16 июня 2011 Похожие работы Просмотров: 2994 Комментариев: 22 Оценило: 8 человек Средний балл: 4.5 Оценка: 5 Скачать
Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Владимирский государственный университет
Кафедра автоматизации технологических процессов
по предмету: “ Моделирование систем”
на тему: ”Отделение корней. Графический и аналитический методыотделения корней”
Содержание
1. Отделение корней. 3
2. Графический метод. 4
3. Аналитический метод (табличный или шаговый). 5
4. Метод половинного деления (Дихотомии). 9
1. Отделение корней
В общем случае отделение корней уравнения f(x)=0 базируется на
известной теореме, утверждающей, что если непрерывная функция f(x) на
Для уравнения видим, что Обнаружив, что устанавливаем факт наличия единственного корня, и остается лишь найти его (как говорится, за немногим стало дело).
Если предварительный анализ функции затруднителен, можно “пойти в лобовую атаку”. При уверенности в том, что все корни различны, выбираем некоторый диапазон возможного существования корней (никаких универсальных рецептов!) и производим “прогулку” по этому интервалу с некоторым шагом, вычисляя значения f(x) и фиксируя перемены знаков. При выборе шага приходится брать его по возможности большим для минимизации объема вычислений, но достаточно малым, чтобы не пропустить перемену знаков.
Этот метод основан на построении графика функции y=f(x). Если построить график данной функции, то искомым отрезком [a,b], содержащим корень уравнения (1), будет отрезок оси абсцисс, содержащий точку пересечения графика с этой осью. Иногда выгоднее функцию f(x) представить в виде разности двух более простых функций, т.е. и строить графики функций и . Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет являться корнем уравнения (1), а отрезок на оси абсцисс которому принадлежит данный корень, будет являться интервалом изоляции. Этот метод отделения корней хорошо работает только в том случае, если исходное уравнение не имеет близких корней. Данный метод дает тем точнее результат, чем мельче берется сетка по оси Ох.
Пример. Графически решить уравнение .
Решение. Запишем исходное уравнение в виде: , т.е. и .
Таким образом, корни данного уравнения могут быть найдены как абсциссы точек пересечения кривых и .
Теперь построим графики функций и определим интервал изоляции корня.
Из рис.1 видно, что корень находится на отрезке [1,2]. В качестве приближенного значения этого корня можно взять значение х=1.5. Если взять шаг по оси Ох меньше, то и значение корня можно получить более точное.
Для отделения корней полезно помнить следующие известные теоремы:
1) если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b], т.е. f(a)f(b) 0, значит корня на отрезке [0;0.5] нет.
f(0.5)f(1) 0, значит корня на отрезке [0.5;0.75] нет.
ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ. УТОЧНЕНИЕ КОРНЕЙ МЕТОДОМ ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ (МЕТОД ДИХОТОМИИ)
Предположим теперь, что найден отрезок [a, b] такой, что
функцияF(x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе с производной первого порядка;
значения F(x) на концах отрезка имеют разные знаки (F(a)F(b) . lgx = 1. (3)
Решение. Уравнение (3) перепишем в виде равенства lg x=.
Рис. 1 – Графическое отделение корней (пример 1)
Убедимся, что отрезок [2, 3] содержит один и только один корень уравнения (3).
Найдем первую производную функции:
Следовательно, первая производная сохраняют свой знак на отрезке, а на концах отрезка функция F(x) принимает значения разных знаков, значит отрезок [2, 3] – отрезок изоляции искомого корня ξ.
Другим, не менее распространенным методом отделения корней является метод производных. Этот метод основан на том, что между любыми двумя нулями функции содержится, по крайней мере, один нуль ее производной. Отсюда следует, что нули функции естественно искать на интервалах, порождаемых нулями производной. Метод заключается в том, что ищут и приравнивают к нулю производную функции F'(х), а затем на отрезках определяют знак функции F(х), где хi– корни уравнения F'(х)= 0. Таким образом, всю числовую ось разбивают на интервалы. Отметим, что описанный метод называют еще методом экстремумов функции.
Пример 2. Отделить методом производных корни уравнения:
Решение. Найдем производную F'(х) и приравняем ее нулю.
Составим приблизительную схему знаков функции F(х):
Следовательно, уравнение (4) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах (– ∞, –2), (–2, 0) и (0, + ∞). Возьмем для пробы три дополнительные точки х = – 3, х = – 1, х = 1 и составим следующую схему знаков F(x):
Чтобы погрешность с каждым шагом не увеличивалась, а очередной корень определялся с высокой степенью точности, следует уточнение корня производить по функции F(х), а не по функции g(х). Это особенно важно, когда удалено много (больше половины) корней.
На практике предполагаемые корни уточняют различными специальными вычислительными методами. Одним из них является метод дихотомии (бисекции, половинного деления), относящийся к итерационным. Он состоит в построении последовательности вложенных отрезков, на концах которых F(х) имеет разные знаки. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Этот процесс построения последовательности вложенных отрезков позволяет найти нуль функции (F(х) = 0)с любой заданной точностью.
Метод дихотомии – простой и надежный метод поиска простого корня уравнения F(х) = 0. Он сходится для любых непрерывных функций F(х), в том числе и недифференцируемых.
проблема определения отрезка, на котором функция меняет свой знак (как правило, это отдельная вычислительная задача, наиболее сложная и трудоемкая часть решения);
если корней на выделенном отрезке несколько, то нельзя заранее сказать, к какому из них сойдется процесс;
не применим к корням четной кратности;
для корней нечетной, но высокой кратности метод неустойчив, дает большие ошибки;
медленно сходится. Для достижения ε необходимо выполнить итераций, т.е. для получения 3 верных цифр (ε = 0.0005) надо выполнить около 10 итераций, если первоначальный отрезок имеет единичную длину.
Программа, по которой можно уточнить корни методом дихотомии, построена по алгоритму, приведенному ниже (см. рис. 2).
Рис. 2 Блок-схема метода дихотомии
Решение. Первый этап – графическое отделение корней. Графическим методом (см. рис. 3) находится отрезок, на котором расположен один из корней данного уравнения [1.8; 2.2]; (второй корень тривиальный, х = 0 находится легко).
Рис. 3 Графическое отделение корней (пример 3)
Второй этап – уточнение отделенного корня методом дихотомии до заданной точности ε. Для того чтобы уточнить корень, изолированный на отрезке [1.8; 2.2], с указанной точностью используем процедуру bisect.
Формальные параметры процедуры BISECT.Входные:A, B (тип real) – определяют длину отрезка; EPS (тип real) – определяет заданную точность вычислений; IT (тип integer) – определяет наибольшее разрешенное количество итераций (для избежания зацикливания процесса в случае неправильного определения отрезка изоляции). Выходные:X (тип real) – в нем содержится искомый корень сравнения; K (тип integer) – в него заносится количество выполненных итераций; FLAG (тип integer) – определяет способ выхода из процедуры, если FLAG=1, то заданная точность вычислений EPSне достигнута за разрешенное количество итераций IT.
Перед началом работы программы определяют func(Х) – процедуру-функцию, по которой вычисляют значения F(х). Тип функции должен быть вещественным.
Паскаль-программа и результаты расчета в среде Pascal ABC приведены на рисунках 4 и 5.
Рис. 4 Паскаль-программа уточнения корня методом дихотомии
Рис. 5 Результаты уточнения корня методом дихотомии в среде PascalABC
Вариант алгоритма метода дихотомии может быть реализован в среде математического пакета Mathcad (см. рис. 6). Достоинством пакета является возможность графического отделения корней и оценка значений первой и второй производных на интервале изоляции.
Таблица 2.2
х
Министерство образования и науки РФ
видим, что 
Обнаружив, что 
устанавливаем факт наличия единственного корня, и остается лишь найти его (как говорится, за немногим стало дело).
и строить графики функций 
и 
. Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет являться корнем уравнения (1), а отрезок на оси абсцисс которому принадлежит данный корень, будет являться интервалом изоляции. Этот метод отделения корней хорошо работает только в том случае, если исходное уравнение не имеет близких корней. Данный метод дает тем точнее результат, чем мельче берется сетка по оси Ох.
.
, т.е. 
и 
.
и 
.
