что значит умножить многочлен на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Что такое многочлен?

Многочленом называется алгебраическое выражение, представляющее сумму нескольких одночленов. В свою очередь, одночлены, составляющие многочлен, называются членами многочлена.

Примеры многочленов: a – 3b 2 + c; 2x + 6y; 6 – 3ac

Любой многочлен состоит из нескольких одночленов.

Так, например, многочлен 2a 2 b + 4ac – 6xy + 8 состоит из следующих одночленов:

По правилу знаков любой многочлен можно представить как сумму одночленов:

2a 2 b + 4ac – 6xy + 8 = 2a 2 b + 4ac + (-6xy) + 8

Как умножить многочлен на многочлен?

Для операции умножения многочлена на многочлен необходимо:

Рассмотрим правило на конкретном примере.

Следует произвести умножение многочленов: (6y – 2b) * (4 – 3y).

(6y – 2b) * (4 – 3y) = 6y * 4 + 6y * (-3y) – 2b * 4 + (-2b) * (-3y) = 24y – 18y 1+1 – 8b + 6by = 24y – 18y 2 – 8b + 6by

Результатом умножения многочлена на многочлен так же всегда будет многочлен.

Примеры перемножения многочленов:

Если требуется перемножить более двух многочленов? Какие правила следует помнить при выполнении этой операции?

Умножение более двух многочленов

Для операции перемножения более двух многочленов необходимо:

Рассмотрим правило на конкретном примере.

Следует произвести умножение трех многочленов:

(a – 2) (3a + 1) (4a – 3) = (a · 3a + a · 1 – 2 · 3a – 2 · 1) ( 4a − 3) =

= (3a 1+1 + a – 6a – 2) (4a – 3) = (3a 2 – 5a – 2) (4a – 3)

(3a 2 – 5a – 2) (4a – 3) = 3a 2 · 4a – 3a 2 · 3 – 5a · 4a + 5a · 3 – 2 · 4a + 2 · 3 =

= 12a 2+1 – 9a 2 – 20a 2 + 15a – 8a + 6 =

= 12a 3 – 29a 2 + 7a + 6

Подробнее с этой темой вы сможете ознакомиться в учебнике Алгебра. 7 класс.

Источник

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно:

Рассмотрим пример умножения многочлена на многочлен.

Умножим последовательно первый одночлен « 6x » из первой скобки на оба одночлена второй скобки.

Затем умножим второй одночлен « −2a » первой скобки на оба одночлена второй скобки. Умножать одночлены будем по правилам умножения одночленов.

Не забывайте при умножении одночленов использовать правило знаков.

Результат умножения многочлена на многочлен будет всегда многочленом.

Примеры умножения многочлена на многочлен

Как умножить 3 многочлена

Чтобы умножить 3 или более многочленов нужно:

Другими словами, умножать несколько многочленов нужно последовательно. Рассмотрим пример умножения трёх многочленов.

Сначала умножим первый многочлен на второй, и их результат запишем в скобках.

Теперь перемножим получившийся многочлен и третий многочлен. Не забудем после умножения привести подобные одночлены.

Источник

Умножение многочлена на многочлен

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение многочлена

Прежде чем мы расскажем, как умножить один многочлен на другой многочлен, разберемся в основных понятиях.

Одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней.

Многочлен— алгебраическое выражение, которое представляет из себя сумму или разность нескольких одночленов.

Стандартный вид многочлена — представление многочлена в виде суммы одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных одночленов.

Как привести многочлен к стандартному виду:

Вспомним, как умножать многочлен на одночлен, двучлен на двучлен, трехчлен на трехчлен:

(a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd.

(a + b + c) * (x + y) = ax + bx + cx + ay + by + cy.

(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc.

Эти правила можно описать так: чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждый член первого умножить на каждый член второго многочлена. Затем полученные произведения сложить и привести результат к многочлену стандартного вида, если это возможно.

Правило умножения многочлена на многочлен

Рассмотрим пример, а после решения сформулируем правило умножения многочлена на многочлен:

Правило умножения многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и все полученные произведения сложить.

Алгоритм умножения многочлена на многочлен:

Рассмотрим пример умножения многочлена на многочлен:
(6x – 2a) * (4 – 3x).

Ответ: (6x – 2a) * (4 – 3x) = 24x – 18x 2 – 8a + 6ax.

Рассмотрим пример умножения трех многочленов:
(x – 2) * (3x + 1) * (4x – 3).

Ответ: (x – 2) * (3x + 1) * (4x – 3) = 12x 3 – 29x 2 + 7x + 6.

Теперь мы знаем все из темы умножения многочлена на многочлен. Осталось отточить на практике новый навык и ловить хорошие и отличные отметки на контрольных.

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Примеры умножения многочлена на многочлен

Рассмотрим еще несколько примеров, чтобы закрепить пройденный материал.

Пример 1. Выполнить умножение многочленов:
2 − 3x и x 2 − 7x + 1.

Запишем произведение: (2 − 3x)(x 2 − 7x + 1).

Из полученных выражений составим сумму: 2x 2 + 2(−7x) + 2*1 − 3xx 2 − 3x(−7x) − 3x*1.

Чтобы убедиться, что мы все сделали правильно, посчитаем количество членов в полученной сумме. Их шесть. Так и должно быть, так как исходные многочлены состоят из 2 и 3 членов: 2 * 3 = 6.

Осталось полученную сумму преобразовать в многочлен стандартного вида:

Пример 2. Найти произведение трех многочленов:
x 2 + xy − 1, x + y и 2y − 3.

Запишем их произведение: (x 2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3).

Умножим первые два многочлена:

(x 2 + xy − 1)(x + y) = x 2 x + x 2 y + xyx + xyy − 1x − 1y = x 3 + 2x 2 y + xy 2 − x − y.

Таким образом: (x 2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3) = (x 3 + 2x 2 y + xy 2 − x − y)(2y − 3).

Снова выполним умножение двух многочленов:

(x 3 + 2x 2 y + xy 2 − x − y)(2y − 3) = x 3 2y + x 3 (−3) + 2x 2 y 2 y + 2x 2 y(−3) + xy 2 2y + xy 2 (−3) − x 2 y − x(−3) − y 2 y − y(−3) = 2x 3 y − 3x 3 + 4x 2 y 2 − 6x 2 y + 2xy 3 − 3xy 2 − 2xy + 3x − 2y 2 + 3y.

Ответ: (x 2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3) = 2x 3 y − 3x 3 + 4x 2 y 2 − 6x 2 y + 2xy 3 − 3xy 2 − 2xy + 3x − 2y 2 + 3y.

Источник

Правила перемножения многочленов между собой

Что такое многочлен

Начать изучение темы умножения многочленов стоит с разбора основных терминов и их особенностей, которые также пригодятся при делении.

Одночленом называют произведение, компонентами которого являются числа, переменные и степени.

Многочлен является выражением в алгебре, составленным в форме суммы или разности нескольких одночленов.

2 x + 4 x y 2 + x + 2 x y 2

В действительности, многочлен всегда состоит из суммы одночленов. К примеру:

3 x − 5 y − 2 x = 3 x + ( − 5 y ) + ( − 2 x )

В связи с этим, при совершении самостоятельных действий с многочленами учитывают знаки одночленов, которые входят в состав сложного выражения.

Члены многочлена — одночлены, которые входят в состав этого многочлена.

Двучлен — многочлен, состоящий из пары членов.

Трехчлен — многочлен, состоящий из трех членов.

Свободный член многочлена — обычное число без буквенной части, которое входит в состав многочлена.

3 x + 5 y + z + 7 — многочлен, где 7 — свободный член.

В качестве многочленов можно представить любые выражения с числами.

Стандартный вид многочлена является представлением многочлена, как суммы из одночленов стандартного вида, в которой отсутствуют подобные одночлены.

Алгоритм приведения многочлена в стандартный вид:

Подобные слагаемые, входящие в состав многочлена, носят название подобных членов многочлена. Под приведением подобных слагаемых, из которых состоит многочлен, понимают приведение подобных членов этого многочлена, обладающих по определению идентичной буквенной составляющей.

В качестве тренировки попробуем привести многочлен к стандартному виду:

2 x + 4 x y 2 + x − x y 2

2 x + 4 x y 2 + x − x y 2 = 3 x + 3 x y 2

В полученном выражении отсутствуют подобные члены. Таким образом, удалось получить многочлен стандартного вида:

Многочлены характеризуются определенной степенью. Сформулируем алгоритм. В процессе определения степени одночлена выполняют следующие действия:

Степень многочлена стандартного вида — максимальная из имеющихся степеней одночленов, которые входят в состав данного многочлена.

В некоторых заданиях необходимо сначала привести к стандартному виду одночлены, а затем многочлен, из которых он состоит. К примеру, имеется многочлен:

3 x x 4 + 3 x x 3 − 5 x 2 x 3 − 5 x 2 2 x

На первом этапе следует привести к стандартному виду одночлены:

3 x x 4 + 3 x x 3 − 5 x 2 x 3 − 5 2 2 x = 3 x 5 + 3 x 4 − 5 x 5 – 5 x 3

Полученный многочлен допустимо записать в стандартном виде с помощью приведения его подобных членов в уравнении:

3 x x 4 + 3 x x 3 − 5 x 2 x 3 − 5 2 2 x = 3 x 5 + 3 x 4 − 5 x 5 – 5 x 3 = − 2 x 5 + 3 x 4 − 5 x 3

Требуется привести многочлен к стандартному виду:

3 a b + 4 c c + a b + 3 c 2

На первом шаге приведем второй одночлен к стандартному виду. Получим:

3 a b + 4 c c + a b + 3 c 2 = 3 a b + 4 c 2 + a b + 3 c 2

Затем следует выполнить приведение подобных членов:

3 a b + 4 c 2 + a b + 3 c 2 = 4 a b + 7 c 2

В результате можно записать многочлен в стандартном виде:

Особенности умножения многочлена на многочлен

Существуют принципы, согласно которым выполняют умножение одночленов, двучленов и трехчленов:

Умножение многочленов предполагает умножение каждого члена, который входит в состав одного многочлена, на каждый член из членов, принадлежащих второму многочлену. Далее полученные результаты необходимо суммировать и привести полученное выражение к многочлену стандартного вида при наличии такой возможности.

Рассмотрим правило на практическом примере:

Согласно алгоритму, требуется каждый из членов первого многочлена ( х + 3 ) перемножить со всеми членами, входящими в состав второго многочлена. Целесообразно обратиться в процессе вычислений к распределительному закону умножения:

( x + 3 ) ( y + 4 ) = x y + 3 y

Затем найдем произведение ( х + 3 ) и 4. Поступим аналогично с предыдущим расчетом:

Выполним вычисления, продолжая расчеты в начальном выражении:

( x + 3 ) ( y + 4 ) = x y + 3 y + 4 x + 12

Разберем второй способ выполнения умножения многочленов. В процессе попробуем каждый их членов одного многочлена перемножить с другим многочленом полностью, а затем, суммировать полученные выражения:

( x + 3 ) ( y + 4 ) = x ( y + 4 ) + 3 ( y + 4 )

Результат преобразований выглядит, как произведение одночлена и многочлена. Вычислим:

( x + 3 ) ( y + 4 ) = x ( y + 4 ) + 3 ( y + 4 ) = x y + 4 x + 3 y + 12

Результат получился такой же, как в решении задачи первым способом. Отличается лишь порядок, в котором расположены члены.

У арифметической операции умножения многочлена на многочлен имеется геометрический смысл. Представим себе некий прямоугольник с длиной а и шириной b:

Найти площадь этой геометрической фигуры можно путем умножения его сторон:

При увеличении сторон прямоугольника на х и у получим:

После того как стороны достроены, следует выделить цветом полученные прямоугольники:

Далее определим площадь для нового прямоугольника. Целесообразно рассчитать площадь каждого маленького прямоугольника и суммировать полученные результаты:

a b + x b + a y + x y

Данное выражение аналогично расчету площади прямоугольника, когда длину умножают на ширину:

В результате получилось справедливое равенство:

( a + x ) ( b + y ) = a b + x b + a y + x y

Рассмотрим пример, в котором стороны прямоугольника имеют числовые значения. Предположим, что длина геометрической фигуры составляет 6 см, ширина равна 3 см. В дальнейшем увеличим длину прямоугольника на 2 см, а к ширине прибавим 1 см.

После построения дополнительных прямоугольников выделим их цветом для наглядности:

Общая площадь прямоугольника составит:

6 × 3 + 2 × 3 + 6 × 1 + 2 × 1 = 32

( 6 + 2 ) ( 3 + 1 ) = 6 × 3 + 2 × 3 + 6 × 1 + 2 × 1 = 18 + 6 + 6 + 2 = 32

Если пересчитать по клеточкам на рисунке, то получим 32 квадратных сантиметра:

Правило и алгоритм умножения многочлена на многочлен

Вывести правило, согласно которому умножают многочлены, можно с помощью наглядного примера. Представим, что необходимо перемножить пару многочленов:

Умножим многочлен на одночлен:

Заменим обратно х на многочлен и выполним преобразования:

a ( c + d ) + b ( c + d ) = a c + a d + b c + b d

Таким образом, получилась формула, по которой умножают один многочлен на другой многочлен:

( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d

Заметим, что результатом произведения многочленов в любом случае является многочлен.

При умножении одного многочлена на другой многочлен следует каждый из членов первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена, а полученные результаты суммировать.

Стандартный алгоритм умножения многочлена на многочлен:

Примеры решения задач по алгебре для 7 класса

Умножить многочлен a + b на многочлен c + d.

Дополним многочлены скобками и составим произведение:

Перемножим члены многочленов, согласно правилу:

( a + b ) ( c + d ) = a c + b c + a d + b d

Ответ: a c + b c + a d + b d

Найти произведение многочленов:

Перемножим члены многочленов:

( − x − 2 y ) ( x + 2 y 2 ) = − x 2 − 2 x y − 2 x y 2 − 4 y 3

( − x − 2 y ) ( x + 2 y 2 ) = − x 2

( − x − 2 y ) ( x + 2 y 2 ) = − x 2 − 2 x y − 2 x y 2

( − x − 2 y ) ( x + 2 y 2 ) = − x 2 − 2 x y − 2 x y 2 − 4 y 3

Ответ: − x 2 − 2 x y − 2 x y 2 − 4 y 3

Требуется умножить многочлены:

( 4 a 2 + 2 a b − b 2 ) ( 2 a − b )

Найдем произведение каждого члена первого многочлена и каждого члена второго многочлена:

( 4 a 2 + 2 a b − b 2 ) ( 2 a − b ) = 8 a 3 + 4 a 2 b − 2 a b 2 − 4 a 2 b – 2 a b 2 + b 3

Приведем подобные слагаемые:

( 4 a 2 + 2 a b − b 2 ) ( 2 a − b ) = 8 a 3 − 4 a b 2 + b 3

Ответ: 8 a 3 − 4 a b 2 + b 3

Нужно умножить многочлены:

Воспользуемся сочетательным законом умножения. Согласно этому правилу, выражение, включающееся в себя несколько сомножителей, вычисляется в любом порядке. Применительно к нашей задаче, получим:

− 1 ( a + b ) ( с − d ) = − 1 ( a c + b c − a d − b d )

− 1 ( a + b ) ( с − d ) = − 1 ( a c + b c − a d − b d ) = − a c − b c + a d + b d

− 1 ( a + b ) ( с − d ) = ( − a − b ) ( с − d ) = − a c − b c + a d + b d

Ответ: − a c − b c + a d + b d

Нужно найти произведение многочленов:

x 2 ( x + 5 ) ( x − 3 ) = x 2 ( x 2 + 5 x – 3 x – 15 ) = x 4 + 5 x 3 – 3 x 3 – 15 x 2 = x 4 + 2 x 3 – 15 x 2

Источник

Умножение многочлена на многочлен: правило, примеры

Одним из действий с многочленами является умножение многочлена на многочлен. В данной статье рассмотрим правило такого умножения и применим его при решении задач.

Правило умножения многочлена на многочлен

Зададим два многочлена a + b и c + d и выполним их умножение.

Рассуждения, которые мы привели выше, дают возможность сделать важные выводы:

Теперь можем сформулировать правило умножения многочленов:

Для осуществления умножения многочлена на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и найти сумму полученных произведений.

Примеры умножения многочлена на многочлен

В практическом решении задач нахождение произведения многочленов раскладывается на несколько последовательных действий:

Решение

Последним действием преобразуем записанную сумму в многочлен стандартного вида: 2 · x 2 + 2 · ( − 7 · x ) + 2 · 1 − 3 · x · x 2 − 3 · x · ( − 7 · x ) − 3 · x · 1 = = 2 · x 2 − 14 · x + 2 − 3 · x 3 + 21 · x 2 − 3 · x = = ( 2 · x 2 + 21 · x 2 ) + ( − 14 · x − 3 · x ) + 2 − 3 · x 3 = 23 · x 2 − 17 · x + 2 − 3 · x 3

Кратко без пояснений решение будет выглядеть так:

( 2 − 3 · x ) · ( x 2 − 7 · x + 1 ) = 2 · x 2 + 2 · ( − 7 · x ) + 2 · 1 − 3 · x · x 2 − 3 · x · ( − 7 · x ) − 3 · x · 1 = = 2 · x 2 − 14 · x + 2 − 3 · x 3 + 21 · x 2 − 3 · x = = ( 2 · x 2 + 21 · x 2 ) + ( − 14 · x − 3 · x ) + 2 − 3 · x 3 = 23 · x 2 − 17 · x + 2 − 3 · x 3

Уточним, что, когда исходные многочлены заданы в нестандартном виде, перед тем, как найти их произведение, желательно привести их к стандартному виду. Результат, конечно, будет тот же, но решение станет удобнее и короче.

Решение

Один из заданных многочленов записан в нестандартном виде. Исправим это, приведя его к стандартному виду:

Теперь найдем искомое произведение:

Напоследок проясним ситуацию, в которой есть необходимость перемножить три и более многочленов. В этом случае нахождение произведения сводится к последовательному перемножению многочленов по два: т.е. сначала перемножаются первые два многочлена; полученный результат умножается на третий многочлен; итог этого умножения – на четвертый многочлен и так далее.

Решение

Найдем результат этого умножения:

Ответ:

( x 2 + x · y − 1 ) · ( x + y ) · ( 2 · y − 3 ) = 2 · x 3 · y − 3 · x 3 + 4 · x 2 · y 2 − 6 · x 2 · y + + 2 · x · y 3 − 3 · x · y 2 − 2 · x · y + 3 · x − 2 · y 2 + 3 · y

Источник