какие значения может принимать функция принадлежности

Виды функций принадлежности

Нечеткое множество, заданное в виде функции, записывается в формульном виде (формула описывает функцию принадлежности). Множество значений функции должно соответствовать единичному отрезку, значения аргумента должны охватывать всю предметную область X.

Рассмотрим нечеткие множества с функцией принадлежности треугольного и трапециевидного типа.

Треугольная функция принадлежности определяется на предметной области X = = [ai,a₂], на концах этого отрезка р(х) = 0. Максимальное значение (ц <х) =1) достигается в точке а, а ^ а ^ а₂. Треугольную функцию принадлежности в виде формулы можно записать как

где ai, а и «2 некоторые числа.

Треугольные функции принадлежности используются для определения термов «среднее значение», «скорее равно», «находится в интервале», «подобен объекту» и пр. График треугольной функции принадлежности, определяемой формулой (7.4), приведен на рис. 7.4.

Рис. 7.4. Треугольная функция принадлежности

Трапециевидная функция, принадлежности определяется на предметной области X = [ai,a₂], на концах этого отрезка р(х) = 0. Максимальное значение (fi(x) = 1) достигается на отрезке [а, 6], а ^ а ^ b ^ а₂. Трапециевидную функцию принадлежности в виде формулы можно записать следующим образом:

Трапециевидные функции принадлежности используются для определения термов, аналогичных треугольной функции. График трапециевидной функции принадлежности, определяемой формулой (7.5), приведен на рис. 7.5.

Рис. 7.5. Трапециевидная функция принадлежности

Изменяя значения входящих в формулы (7.4) и (7.5) параметров, можно гибко изменять вид функции принадлежности нечеткого множества, подстраивая его под конкретные условия. Например, можно приблизительно описать нечеткое множество,

В ряде задач может потребоваться рассматривать функции принадлежности, задаваемых отдельными отрезками [кусочно-линейными функциями). Совместное использование различных функций принадлежности позволяет описать лингвистические переменные.

Пример 7.3. Рассмотрим лингвистическую переменную Xi = «Объем продаж». Она может быть задана терм-множеством Xi = <низкий; средний; высокий).Возможные нелегкие множества, соответствующие термам, представлены на рис. 7.6.

Рис. 7.6. Представление лингвистической переменной «объем продаж»

Добавляя термы и задавая для них нечеткие множества, можно достаточно гибко описать лингвистическую переменную X?

Несмотря на довольно простую аналитическую форму задания треугольные и трапециевидные функции имеют недостатки, наиболее существенным из которых является скачкообразное изменение значений в некоторых точках (нарушение непрерывности). Для устранения этого недостатка часто используют гладкие кривые. Типичными примерами таких кривых являются гауссова и сигмоидальная функции.

и имеет колоколообразную форму (рис. 7.7).

Рис. 7.7. Гауссова функция принадлежности

Параметры а и b определяют вид функции. Значение Ь является наиболее характерным значением рассматриваемой величины и может быть получено от эксперта. Параметр а получается из формулы (7.6) при известном значении Ь и критическом значении Xf., понимаемым как точка, в которой р(х) = 0,5, т.е. эксперт не может однозначно определить, преобладает ли признак или нет. В этом случае формула (7.6) имеет вид

Пример 7.4. Эксперт посчитал, что объем продаж в количестве 7 000 единиц товара является наиболее характерным значением для понятия «средние продажи». В то же время он затруднился сказать, являются ли продажи 6300 единиц средними или низкими. Определить параметры гауссовой функции, описывающей нечеткое множество «средние продажи».

т.е. гауссова функция имеет вид

Трапециевидные функции принадлежности используются для определения термов «в пределах от и до», «около», «примерно равно» и т.д.

Сигмоидальная функция задается следующим образом:

Источник

Функция принадлежности

Связанные понятия

Квазианалити́ческие фу́нкции в математическом анализе — класс функций, которые, нестрого говоря, можно полностью реконструировать по их значениям на небольшом участке (например, на границе области). Такое свойство значительно облегчает решение дифференциальных уравнений и исследование других задач анализа. Поскольку это свойство выполняется для аналитических функций (см. Комплексный анализ), то класс квазианалитических функций содержит класс обычных аналитических функций и может рассматриваться как.

Упоминания в литературе

Связанные понятия (продолжение)

В математике и теоретической физике функциональная производная является обобщением производной по направлению. Разница заключается в том, что для последней дифференцирование производится в направлении какого-нибудь вектора, а для первой речь идёт о функции. Оба эти понятия можно рассматривать как обобщение обычного дифференциального исчисления.

В теории множеств и смежных с ней областях математики под универсумом фон Неймана (обозначается V), или иерархией множеств по фон Нейману, понимается класс, образованный наследственными фундированными множествами. Такая совокупность, формализуемая теорией множеств Цермело-Френкеля (ZFC) часто используется в качестве интерпретации или обоснования ZFC-аксиом.

Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи и класс гармонических функций.

При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты, называемые иррациональными числами. В результате пополнения ими множества рациональных чисел, мы получаем множество вещественных чисел.

Функторы Ext — производные функторы функтора Hom. Они впервые появились в гомологической алгебре, где они играют центральную роль, например, в теореме об универсальных коэффициентах, но теперь они используются во многих разных областях математики.

В теории категорий, понятие элемента (или точки) обобщает обычное понятие элемента множества на объект произвольной категории. Иногда оно позволяет переформулировать свойства морфизмов (например, свойство мономорфизма), которые обычно описываются при помощи универсальных свойств в более привычных терминах действия отображения на элементах. Этот подход к теории категорий (и особенно его использование в лемме Йонеды) был предложен Гротендиком.

В общей алгебре супердействительные числа представляют собой расширение класса вещественных чисел, введенное Г. Делзом и У. Вудиным как обобщение гиперреальных чисел, преимущественно для задач нестандартного анализа, теории моделей, а также изучения банаховых алгебр. Множество супердействительных чисел является подмножеством множества сюрреальных чисел.

Источник

Нечёткая математика. Основы нечётких множеств

Излишнее стремление к точности стало оказывать действие, сводящее на нет теорию управления и теорию систем, так как оно приводит к тому, что исследования в этой области сосредоточиваются на тех и только тех проблемах, которые поддаются точному решению. Многие классы важных проблем, в которых данные, цели и ограничения являются слишком сложными или плохо определенными для того, чтобы допустить точный математический анализ, оставались и остаются в стороне лишь по той причине, что они не поддаются математической трактовке. Л. Заде

Определение и характеристики

В мире очень многое не делится только на белое и чёрное, на правду и истину, … Человек использует множество нечётких понятий для оценки и сравнения физических величин, состояний объектов и систем на приближенном, качественном уровне. Так, любой из нас способен оценить величину температуры за окном, не прибегая к помощи термометра, а руководствуясь лишь собственными ощущениями и шкалой приближенных оценок (“достаточно пасмурно, чтобы взять зонт”).

Но качественная оценка не обладает свойством аддитивности, присущим привычным нам числам; т. е. мы не можем определить результат операций для приближенных оценок (“небольшая сумма денег” + “небольшая сумма денег”), в отличие от, к примеру, натуральных чисел (2 + 2). Не можем определить потому, что качественная оценка сильно зависит от лица, принимающего решение, контекста и смысла, вкладываемого в конкретном случае.

Однако, в мире имеется достаточно величин, которые мы не в состоянии по тем или иным причинам точно оценить: степень порядка в комнате, «престижность» автомобиля, красота человека, “схожесть» вещей, … Но работать с ними как с привычными числами хочется хотя бы для задач автоматизации.

Формализация таких оценок может основываться на теории нечётких множеств. Понятие нечёткого множества появилось в 1964 году благодаря американскому учёному азербайджанского происхождения Лютфи Заде.

Начнём рассмотрение его теории с базовых понятий.

Нечётким множеством (размытым множеством) в универсальном множестве (универсуме) U называется совокупность пар вида , где , а
— функция принадлежности нечёткого множества , . Нечёткое множество можно записать также в виде .

Для любого элемента U функция принадлежности определяет степень принадлежности (степень принятия) данного элемента u к множеству(-ом) . Так как функция принадлежности практически исчерпывает понятие нечёткого множества, очень часто эти два понятия отождествляют. Поэтому можно встретить как кто-либо определяет нечёткое множество лишь задав функцию принадлежности.

Одной из трактовок является вероятностная трактовка (не принимаемая Л. Заде), по которой значение функции для данного элемента – вероятность его нахождения в этом множестве. Другой – степень чёткости элемента из множества U на множестве . Вообще говоря, трактовка исходит из задачи, которая решается методами нечёткой математики.

Привычные нам чёткие множества, в которых функция принадлежности имеет вид , являются таким образом частным случаем нечётких множеств.

Как принято, можно задать несколькими способами:

Непрерывная функция принадлежности элементов множества действительных чисел к нечёткому множеству чисел “примерно ноль”.

.

Рассмотрим основные понятия и характеристики нечётких множеств.

Чёткое значение множества – значение, степень принятия которого равна 1. На показанном примере чётким значением является только число 0.

Высотой нечёткого множества является величина .

Нечёткое множество нормально, если его высота равна 1, иначе оно субнормально. Каждое нечёткое множество возможно нормализовать – поделить значение функции принадлежности для каждого элемента на высоту множества.

Очевидно, что, если для каждого элемента универсального множества его функция принадлежности к А равна 0, то такое множество называется пустым.

Нечёткое множество унимодально, если функция принадлежности равняется 1 лишь для одного элемента.

На картинке 2 ограничивает область 0, x \subseteq X \right\>»/> – носитель множества . Обычно в литературе носитель нечёткого множества обозначается как или .

Функция принадлежности относится к классу с конечным носителем, если существует такой элемент x, для которого ; с бесконечным – когда существует .

Операции над нечёткими множествами

Все сравнения и операции, проводимые над нечёткими множествами, определяются через действия над их функциями принадлежности. Также необходимо несколько оговорок:

Для всех операций и сравнений мы будем иметь в виду: — нечёткие множества на U, все . Итак, начнём.

Равны два множества тогда и только тогда, когда .

Множество включено в другое тогда и только тогда, когда для любого x.

Объединение множеств такое, что . Объединение соответствует союзу ИЛИ и обозначается короче, как . (t–конорма или s–норма)

Пересечение множеств такое, что . Пересечение соответствует союзу И и обозначается короче, как . (t-норма)

Следующие соотношения доказываются графически:

Существует несколько способов определения базовых операций пересечения и объединения. К примеру, для операции пересечения иногда используют алгебраическое произведение функций принадлежности, их среднее геометрическое и несколько иных. Выбор того или иного подхода зависит от конкретной задачи, когда использование операций min и max приводит к неадекватности модели реальной ситуации.

Разность множеств такая, что .

Разность называется дополнением нечёткого множества и обозначается . Из определения разности множеств следует, что .

Введённые операции совпадают с аналогичными для чётких множеств. Далее читатель может сам попробовать доказать соотношения, сходные с законами де Моргана, и найти те, которые в общем случае не выполняются (например, ). Рассмотрим специфичные для нечётких множеств:

α-разбиение нечёткого множества. Множеством α-уровня нечёткого множества называется чёткое множество , для элементов которого .

Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество разложимо по его множествам уровня в виде , M — область значений функции принадлежности.

Возведение в степень такое, что . Наиболее употребительны частные случаи:

Замена концентрирования и растяжения оценочными выражениями имеет больше смысла при использовании лингвистических переменных.

Алгебраическое произведение .

Граничное произведение .

Драстическое произведение .

Алгебраическая сумма .

Граничная сумма .

Драстическая сумма .

Лямбда-сумма – среднее A и B с весами λ и (1 — λ) (или выпуклое линейное объединение первого порядка A и B). .

Между произведением, суммой и λ-суммой справедливо соотношение:

Каким образом можно построить функцию принятия?

Функция принадлежности должна быть задана вне самой теории нечёткой математики и, следовательно, её адекватность не может быть проверена средствами непосредственно самой теории. Это мешает применению нечёткой теории множеств для решения прикладных задач. Исходя из природы субъективных оценок, построение функции может выполняться лишь по экспертным оценкам (эксперта называют также лицом, принимающим решение ЛПР). Выделяют 2 группы методов построения – прямые и косвенные.

Прямые определяются тем, что ЛПР непосредственно задаёт правила определения значения функции принадлежности. Они, как правило, используются для описания понятий, которые характеризуются измеряемыми параметрами и в которых шанс ошибок и искажений незначителен. Группа включает в себя такие методы как: частотный, метод парных соотношений.

В косвенных методах экспертная информация является только исходной для дальнейшей обработки, значения функции выбираются таким образом, чтобы удовлетворить заранее сформулированным условиям. Например, на основе стандартного набора графиков.

Вообще говоря, функция принятия может иметь какой угодно вид, учитывая, конечно, некоторые ограничения, такие как:

Источник

Какие значения может принимать функция принадлежности

В работе [66] рассмотрены и исследованы различные способы получения функций принадлежности. Введена единая математическая форма представления различных способов определения функций принадлежности. Для описания нечетких множеств предложено применять сплайн-представление, в результате чего оказалось возможным выявить вклад того или иного источника информации в конечное решение.

При использовании в качестве дополнительной переменной параметра времени t имеется возможность прогнозировать изменение функций принадлежности во времени и на их основе планировать ввод новых производственных мощностей и проведение различных ремонтных работ [134].

В работе [314] для построения функций принадлежности на основе объективной информации и данных замеров предлагаются специальные блоки для выделения свойств (» property extractor «), например, с использованием детерминированного замера х * [314]

. (4.1)

В качестве берется установившееся (или среднее) значение параметра х, а величины и выбираются с учетом особенностей функции принадлежности и наилучших результатов по распознаванию сигналов (или управлению) в серии экспериментов [314].

Преимущества применения устройств, непосредственно построенных на элементах с многозначной логикой обсуждаются в работах [282, 284]. Отмечается перспективность использования многозначной логики для реализации регуляторов, устройств и систем с нечеткой логикой, которая может быть весьма полезной при создании систем принятия решений в условиях не полностью определенных данных.

В работе [336] предлагается реализация механизма нечеткого вывода на СБИС для возможности принятия решений при наличии неопределенных и приблизительных рассуждений. Проект устройства вывода основан на нечеткой арифметике и ориентирован на поддержку неопределенных знаний и способствует извлечению знаний человека-эксперта и имитации его процесса рассуждений. Быстродействие устройства около 80 тыс. ФЛИПС (нечетких логических выводов в секунду).

В Японии создан специальный Международный институт инженерных исследований по нечеткой логике ( Laboratory for international Fuzzy Engineering Research ). Основной задачей этого института является создание компьютера для приложений области нечеткой логики. Оцениваемый в 37 млн. долл. шестилетний бюджет института финансируется примерно 40 компаниями, среди которых Hitachi, Toshiba, Toyota.

Вопросы приближения функций принадлежности и нечетких отношений и выбора среди функций принадлежности, согласованных с заданным отношением, такой, которая наилучшим образом приближает предъявленную, рассмотрены в [106].

Например, цель G вида «дебит скважины должен быть близок к 1,2 млн.м куб./сут» или ограничение С «дебит должен быть больше 0,8 млн.м куб./сут» могут быть представлены соответственно следующим образом:

; (4.2)

; (4.3)

В общем случае эти лингвистические ограничения могут быть представлены в виде (рис.4.1).

В теории нечетких множеств отсутствуют различия между целями и ограничениями, заданными на множестве альтернатив Х, так как и цели, и ограничения представляются в виде функций принадлежности.

(4.4)

В качестве четкого решения по дебиту скважины может быть принято решение q *=1,36 млн.м 3 /сут., при котором функция принадлежности для нечеткого решения достигает максимального значения (рис.2.5).

Рис.4.2.Нечеткое решение по выбору дебита скважины с учетом нечетких цели G и ограничения С.

С помощью функции принадлежности можно адекватно отразить мнение одного или нескольких экспертов. Это связано с неспособностью человека формулировать свое количественное впечатление в виде одиночного числа [179].

Пусть эксперт в качестве оптимального дебита скважины называет дебит 1,5 млн.м куб./сут. Но это не значит, что величины незначительно отличающиеся от него будут совершенно неприемлемыми, т.е. степени принадлежности и будут незначительно отличаться от . Результат экспертного опроса может задаваться в виде таблицы или непрерывной функции.

Источник