какие значения может принимать парный коэффициент корреляции

Парные, частные коэффициенты корреляции, совокупные коэффициенты множественной корреляции и детерминации. Понятие и связь между ними

Если факторные признаки различны по своей сущности и/или имеют различные единицы измерения, то коэффициенты регрессии при разных факторах являются несопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с результатом, позволяющими ранжировать факторы.

К ним относят: частные коэффициенты эластичности, в-коэффициенты, частные коэффициенты корреляции.

Парные коэффициенты корреляции. Для измерения тесноты связи между двумя из рассматриваемых переменных (без учета их взаимодействия с другими переменными) применяются парные коэффициенты корреляции.

Методика расчета таких коэффициентов и их интерпретации аналогичны линейному коэффициенту корреляции в случае однофакторной связи.

— среднее квадратическое отклонение результативного признака.

Коэффициент частной корреляции измеряет тесноту линейной связи между отдельным фактором и результатом при устранении воздействия прочих факторов модели. Для качественной оценки тесноты связи можно использовать следующую классификацию:

Для расчета частных коэффициентов корреляции могут быть использованы парные коэффициенты корреляции.

Для случая зависимости Y от двух факторов можно вычислить 2 коэффициента частной корреляции:

(2-ой фактор фиксирован);

(1-ый фактор фиксирован).

Это коэффициенты частной корреляции 1-ого порядка (порядок определяется числом факторов, влияние которых на результат устраняется).

При малых значениях нет смысла вводить в уравнение m-ый фактор, т.к. качество уравнения регрессии при его введении возрастет незначительно (т.е. теоретический коэффициент детерминации увеличится незначительно).

Совокупный коэффициент множественной корреляции или индекс множественной корреляции определяет тесноту совместного влияния факторов на результат:

где остаточная дисперсия;

Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат; при значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

При трех переменных для двух факторного уравнения регрессии данная формула совокупного коэффициента множественной корреляции легко приводится к следующему виду:

Чем R ближе к единице, тем совокупное влияние изучаемых показателей x₁ и x₂ на результативный фактор y больше (корреляционная связь более интенсивная).

Связь: Частный коэффициент корреляции в отличие от коэффициента (полного) парной корреляции между явлениями показывает тесноту связи после устранения изменений, обусловленных влиянием третьего явления на оба коррелируемых признака (из значений корреляционных признаков вычитаются линейные оценки в связи с третьим признаком).

Также из приведенных ранее формул частных коэффициентов корреляции видна связь этих показателей с совокупным коэффициентом корреляции. Зная частные коэффициенты корреляции (последовательно первого, второго и более высокого порядка), можно определить совокупный коэффициент корреляции по формуле:

Источник

Корреляция и коэффициент корреляции

Корреляция — степень связи между 2-мя или несколькими независимыми явлениями.

Корреляция бывает положительной и отрицательной.

Положительная корреляция (прямая) возникает при одновременном изменении 2-х переменных величин в одинаковых направлениях (в положительном или отрицательном). Например, взаимосвязь между количеством пользователей, приходящих на сайт из поисковой выдачи и нагрузкой на сервер: чем больше пользователей, тем больше нагрузка.

Корреляция отрицательна (обратная), если изменение одной величины приводит противоположному изменению другой. Например, с увеличением налоговой нагрузки на компании уменьшается их прибыль. Чем больше налогов, тем меньше денег на развитие.

Типичные виды корреляции

Эффективность корреляции как статистического инструмента заключается в возможности выражения связи между двумя переменными при помощи коэффициента корреляции.

При значении КК равным 1, следует понимать, что при каждом изменении 1-й переменной происходит эквивалентное изменение 2-й переменной в том же направлении.

Положительная корреляция концентраций этанола в синовии и крови

Отрицательная корреляция между показателями результатов в беге на 100 м с барьерами и прыжками в длину

Интерпретация значений коэффициента корреляции

Значение	Интерпретация
до 0,2	Очень слабая
до 0,5	Слабая
до 0,7	Средняя
до 0,9	Высокая
свыше 0,9	Очень высокая корреляция

Данный метод обработки статистической информации популярен в экономических, технических, социальных и других науках в виду простоты подсчета КК, простотой интерпретации результатов и отсутствия необходимости владения математикой на высоком уровне.

Корреляционная зависимость отражает только взаимосвязь между переменными и не говорит о причинно-следственных связях: положительная или отрицательная корреляция между 2-мя переменными не обязательно означает, что изменение одной переменной вызывает изменение другой.

Например, есть положительная корреляция между увеличением зарплаты менеджеров по продажам и качеством работы с клиентами (повышения качества обслуживания, работа с возражениями, знание положительных качеств продукта в сравнении с конкурентами) при соответствующей мотивации персонала. Увеличившийся объем продаж, а следовательно и зарплата менеджеров, вовсе не означает что менеджеры улучшили качество работы с клиентами. Вполне вероятно, что случайно поступили крупные заказы и были отгружены или отдел маркетинга увеличил рекламный бюджет или произошло еще что-то.

Возможно существует некая третья переменная, влияющая на причину наличия или отсутствия корреляции.

Коэффициент корреляции не рассчитывается:

Источник

Парные, частные коэффициенты корреляции, совокупные коэффициенты множественной корреляции и детерминации. Понятие и связь между ними

Если факторные признаки различны по своей сущности и/или имеют различные единицы измерения, то коэффициенты регрессии при разных факторах являются несопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с результатом, позволяющими ранжировать факторы.

К ним относят: частные коэффициенты эластичности, в-коэффициенты, частные коэффициенты корреляции.

Парные коэффициенты корреляции. Для измерения тесноты связи между двумя из рассматриваемых переменных (без учета их взаимодействия с другими переменными) применяются парные коэффициенты корреляции.

Методика расчета таких коэффициентов и их интерпретации аналогичны линейному коэффициенту корреляции в случае однофакторной связи.

— среднее квадратическое отклонение результативного признака.

Коэффициент частной корреляции измеряет тесноту линейной связи между отдельным фактором и результатом при устранении воздействия прочих факторов модели. Для качественной оценки тесноты связи можно использовать следующую классификацию:

Для расчета частных коэффициентов корреляции могут быть использованы парные коэффициенты корреляции.

Для случая зависимости Y от двух факторов можно вычислить 2 коэффициента частной корреляции:

(2-ой фактор фиксирован);

(1-ый фактор фиксирован).

Это коэффициенты частной корреляции 1-ого порядка (порядок определяется числом факторов, влияние которых на результат устраняется).

При малых значениях нет смысла вводить в уравнение m-ый фактор, т.к. качество уравнения регрессии при его введении возрастет незначительно (т.е. теоретический коэффициент детерминации увеличится незначительно).

Совокупный коэффициент множественной корреляции или индекс множественной корреляции определяет тесноту совместного влияния факторов на результат:

где остаточная дисперсия;

Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат; при значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

При трех переменных для двух факторного уравнения регрессии данная формула совокупного коэффициента множественной корреляции легко приводится к следующему виду:

Чем R ближе к единице, тем совокупное влияние изучаемых показателей x₁ и x₂ на результативный фактор y больше (корреляционная связь более интенсивная).

Связь: Частный коэффициент корреляции в отличие от коэффициента (полного) парной корреляции между явлениями показывает тесноту связи после устранения изменений, обусловленных влиянием третьего явления на оба коррелируемых признака (из значений корреляционных признаков вычитаются линейные оценки в связи с третьим признаком).

Также из приведенных ранее формул частных коэффициентов корреляции видна связь этих показателей с совокупным коэффициентом корреляции. Зная частные коэффициенты корреляции (последовательно первого, второго и более высокого порядка), можно определить совокупный коэффициент корреляции по формуле:

Источник

Основы анализа данных

Корреляционный анализ

Коэффициент корреляции Пирсона

Показатель тесноты связи между двумя признаками определяется по формуле линейного коэффициента корреляции :

Варианты связи, характеризующие наличие или отсутствие линейной связи между признаками:

В качестве примера возьмем набор данных А (таблица 8.1). Необходимо определить наличие линейной связи между признаками x и y.

Для графического представления связи двух переменных использована система координат с осями, соответствующими переменным x и y. Построенный график, называемый диаграммой рассеивания, показан на рис. 8.2. Данная диаграмма показывает, что низкие значения переменной x соответствуют низким значениям переменной y, высокие значения переменной x соответствуют высоким значениям переменной y. Этот пример демонстрирует наличие явной связи.

Таким образом, мы можем установить зависимость между переменными x и y. Рассчитаем коэффициент корреляции Пирсона между двумя массивами (x и y) при помощи функции MS Excel ПИРСОН(массив1;массив2). В результате получаем значение коэффициент корреляции равный 0,998364, т.е. связь между переменными x и y является весьма высокой. Используя пакет анализа MS Excel и инструмент анализа «Корреляция», можем построить корреляционную матрицу.

Любая зависимость между переменными обладает двумя важными свойствами: величиной и надежностью. Чем сильнее зависимость между двумя переменными, тем больше величина зависимости и тем легче предсказать значение одной переменной по значению другой переменной. Величину зависимости легче измерить, чем надежность.

Надежность зависимости не менее важна, чем ее величина. Это свойство связано с представительностью исследуемой выборки. Надежность зависимости характеризует, насколько вероятно, что эта зависимость будет снова найдена на других данных.

С ростом величины зависимости переменных ее надежность обычно возрастает.

Источник

Пример нахождения коэффициента корреляции

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Уравнение множественной регрессии

Значимость коэффициента корреляции

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии

Доверительные интервалы для зависимой переменной

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X = 7
(122.4;132.11)
Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии

Статистическая значимость коэффициента регрессии подтверждается (18.63>2.228).

Fkp = 4.96. Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим (см. критерий Фишера).

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 2y 2x·yy(x)(y_i— y ) 2(y-y(x)) 268.522.394692.25501.311533.7229.0663.4944.4475.729.245730.49854.982213.4727.951.251.6752.732.922777.291083.731734.8831.496.562.0460.233.523624.041123.592017.930.341010.1462.330.983881.29959.761930.0530.010.390.9448.337.172332.891381.611795.3132.1746.42556.532.123192.251031.691814.7830.913.11.4765.931.764342.811008.72092.9829.461.975.356.228.483158.44811.111600.5830.953.536.1151.123.172611.21536.851183.9931.7451.6773.4263.232.193994.241036.22034.4129.873.365.37660.6333.9440337.210329.5219952.07333.94191.71175.9

Значимость линейного коэффициента корреляции Пирсона.

Интервальная оценка для линейного коэффициента корреляции Пирсона

Доверительный интервал для коэффициента корреляции

Источник