ранг матрицы с параметром лямбда
Ранг матрицы
Метод окаймляющих миноров
Задача 1. Найти ранг матрицы
методом окаймляющих миноров.
Решение. Метод окаймляющих миноров позволяет найти минорный ранг матрицы.
Получается, что все окаймляющие миноры четвертого порядка равны нулю, а минор третьего порядка 
ненулевой, поэтому ранг матрицы равен 3.
Задача 2. Определить ранг матрицы
при различных значениях 
.
Решение. Решим задачу с помощью метода окаймляющих миноров.
По правилу треугольника получаем, что 
; 
.
Таким образом, 
при всех значениях , являющихся решением системы 
Очевидно, что единственным решением этой системы является 
, поэтому
Метод элементарных преобразований
Какие преобразования матриц называются элементарными, можно прочитать в определении 3.
Задача 3. Найти ранг матрицы
методом элементарных преобразований.
Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду.
Подтверждение
Если не ошиблась
Вот теперь попытайтесь сделать вывод
А если 3 подставите?
Уже подставил. Теперь задача в том, чтобы доказать то, что не при 3 ранг равен 3.
Не при 3-х одно из чисел уж точно не равно нулю.
Не надо говорить «о 3 ранге»
Правильно говорить «ранг, равный 3»
Зачем Вам определители при таком способе?
Какие могут быть дальнейшие преобразования? Ведь матрица уже приведена к ступенчатому виду.
А зачем определители, если вы начали приводить к ступенчатому виду? Тогда уж размышлять о размерности пространства решений однородной системы линейных уравнений.
Чтобы доказать, что ни одна строка при не обнулится при дальнейших преобразованиях, нужно вычислить два определителя, верно?
Как правило такие утверждения бывают неверными. Во-первых, при доказательстве некоторые утверждения принимаются за истинные, поэтому доказательство существенно зависит от того, какие это утверждения. Во-вторых, даже если круг истинных утверждений определен, чаще всего можно привести множество различных доказательств.
А, понял. Забыл, что если матрица приведена к ступенчатому виду, то это уже значит, что ранг матрицы вычислен. Мне показалось, что это ещё нужно проверять, вычисляя определители. В этом я ошибался.
вы умеете это доказывать?
В это я пока не углублялся. Думаю, для меня это слишком сложно, но можно поискать доказательство и попытаться в нём разобраться.
Всем спасибо за помощь. Попробую когда-нибудь решить №614.
А что ж тут пить доказывать.
Рассмотрим все линейные комбинации столбцов. (Линейная комбинация это набор коэффициентов, которые стоят перед столбцами. Типа, если коэффициенты совпадают, то это одна и та же линейная комбинация, хотя столбцы могут меняться.)
Некоторые линейные комбинации равны нулевому вектору, некоторые не равны. Возьмем те, которые равны. Максимальное число ненулевых коэффициентов у таких линейных комбинаций и есть ранг матрицы минус один. Это следствие определения ранга (столбцов).
Теперь доказываем, что при элементарном преобразовании строк ненулевая линейная комбинация не становится нулевой, а нулевая не становится ненулевой.
Виноват.
Максимальное число ненулевых коэффициентов у таких линейных комбинаций и есть ранг матрицы минус один.
Лучше взять ненулевые линейные комбинации. Среди них есть линейные комбинации с минимальным числом ненулевых коэффициентов. Это число и есть ранг матрицы.
Как бы то ни было, здесь надо исключить тривиальный случай, когда все столбцы нулевые и, следовательно, все линейные комбинации равны нулю. В этом случае утверждение задачи очевидно, ранг равен нулю и не меняется при элементарных преобразованиях.
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Понятие ранга возникает естественным образом при решении систем линейных уравнений.
Пример. Решить систему уравнений
Пример. Решить систему уравнений
Это искомое число и будет называться рангом. На самом деле, поставленная задача тут же усложняется: во-первых, интересует какие именно уравнения можно из системы выбросить, а какие нельзя, и, во-вторых, сколькими параметрами можно описать множество решений этой системы — если это множество бесконечно (как было в предыдущем примере). Оказывается, на оба эти вопроса тоже помогает ответить понятие ранга — как некоторой целочисленной характеристики системы уравнений.
К тому же понятию можно подойти с другой стороны.
Пример. Рассмотрим систему из последнего примера и перепишем ее в виде:
Это искомое число тоже будет называться рангом. Единство в названии разных объектов оказывается оправданным: это два подхода к одному и тому же понятию (в приведенных выше решениях примера именно так и оказалось — число существенных уравнений системы совпало с числом существенных переменных).
Для доказательства этого факта обратим сначала внимание на то обстоятельство, что мы, фактически действовали над коэффициентами системы уравнений, привлекая переменные только на самом последнем этапе. Так, в первом решении мы действовали только над строками матрицы коэффициентов, а во втором решении — только над ее столбцами.
Ранг системы строк (столбцов)
Эта теорема позволяет дать другое определение ранга.
Теорема 5. Любую линейно независимую подсистему
Пример. Найти какой-нибудь базис системы строк
$$A_1=(5,2,-3,1),\ A_2=(4,1,-2,3),\ A_3=(1,1,-1,-2),\ A_4=(3,4,-1,2)$$ и все строки системы, не входящие в этот базис, выразить через базисные.
Установим теперь, какие действия над системой не изменяют ее ранга.
Теорема 6. Если систему дополнить рядом, линейно выражающимся через ряды системы, то ранг системы не изменится. Точно так же ранг системы не меняется при удалении ряда, линейно выражающегося через остальные ряды системы.
Результат последней теоремы можно усилить, введя следующее определение.
Элементарными преобразованиями системы рядов называются следующие
Теорема 7. Элементарные преобразования не меняют ранга системы рядов.
Ранг матрицы
Метод окаймляющих миноров
Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы
Ранг матрицы равен рангу системы ее строк (и рангу системы ее столбцов).
Пример. Вычислить ранг матрицы
Найти ранги матриц
Ответ.
Метод элементарных преобразований
Этот метод основан на последней теореме из ☞ ПУНКТА: элементарные преобразования системы строк матрицы не изменяют ее ранга. Поэтому имеет смысл преобразовать исходную систему к такому виду, для которого величина ранга будет очевидна.
Найти ранги матриц по методу элементарных преобразований:
Матрицы ранга 1
Пример.
Пример. Представить матрицу
Подсказка ☞ ЗДЕСЬ.
Применение для решения систем линейных уравнений
Теорема [Кронекер, Капелли]. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы совпадает с рангом ее расширенной матрицы:
Более подробно изложено ☞ ЗДЕСЬ
Неравенства для ранга
Найти ранг матрицы: способы и примеры
Понятие ранга матрицы
Определение. Рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых строк, рассматриваемых как векторы.
Теорема 1 о ранге матрицы. Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы.
Понятие минора мы уже разбирали на уроке по определителям, а сейчас обобщим его. Возьмём в матрице сколько-то строк и сколько-то столбцов, причём это «сколько-то» должно быть меньше числа строк и стобцов матрицы, а для строк и столбцов это «сколько-то» должно быть одним и тем же числом. Тогда на пересечении скольки-то строк и скольки-то столбцов окажется матрица меньшего порядка, чем наша исходная матрица. Определитель это матрицы и будет минором k-го порядка, если упомянутое «сколько-то» (число строк и столбцов) обозначим через k.
Определение. Минор (r+1)-го порядка, внутри которого лежит выбранный минор r-го порядка, называется называется окаймляющим для данного минора.
Наиболее часто используются два способа отыскания ранга матрицы. Это способ окаймляющих миноров и способ элементарных преобразований (методом Гаусса).
При способе окаймляющих миноров используется следующая теорема.
Теорема 2 о ранге матрицы. Если из элементов матрицы можно составить минор r-го порядка, не равный нулю, то ранг матрицы равен r.
При способе элементарных преобразований используется следующее свойство:
— если путём элементарных преобразований получена трапециевидная матрица, эквивалентная исходной, то рангом этой матрицы является число строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.
Отыскание ранга матрицы способом окаймляющих миноров
Окаймляющим минором называется минор большего порядка по отношению к данному, если этот минорм большего порядка содержит в себе данный минор.
Например, дана матрица
.
,
окаймляющими будут такие миноры:
.
Алгоритм нахождения ранга матрицы следующий.
1. Находим не равные нулю миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы будет равен единице ( r =1 ).
2. Если существует хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, то составляем окаймляющие миноры третьего порядка. Если все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум ( r =2 ).
3. Если хотя бы один из окаймляющих миноров третьего порядка не равен нулю, то составляем окаймляющие его миноры. Если все окаймляющие миноры четвёртого порядка равны нулю, то ранг матрицы равен трём ( r =2 ).
4. Продолжаем так, пока позволяет размер матрицы.
Пример 1. Найти ранг матрицы
.
Решение. Минор второго порядка 
.
Окаймляем его. Окаймляющих миноров будет четыре:
,
,
,
.
Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг данной матрицы равен двум ( r =2 ).
Пример 2. Найти ранг матрицы
.
Решение. Ранг данной матрицы равен 1, так как все миноры второго порядка этой матрицы равны нулю (в этом, как и в случаях окаймляющих миноров в двух следующих примерах, дорогим студентам предлагается убедиться самостоятельно, возможно, используя правила вычисления определителей), а среди миноров первого порядка, то есть среди элементов матрицы, есть не равные нулю.
Пример 3. Найти ранг матрицы
.
Решение. Минор второго порядка этой матрицы 
, в все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю. Следовательно, ранг данной матрицы равен двум.
Пример 4. Найти ранг матрицы
.
Решение. Ранг данной матрицы равен 3, так как единственный минор третьего порядка этой матрицы равен 3.
Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)
Уже на примере 1 видно, что задача определения ранга матрицы способом окаймляющих миноров требует вычисления большого числа определителей. Существует, однако, способ, позволяющий свести объём вычислений к минимуму. Этот способ основан на использовании элементарных преобразований матриц и ещё называется также методом Гаусса.
Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются следующие операции:
1) умножение какой-либо строки или какого либо столбца матрицы на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элементам какой-либо строки или какого-либо столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число;
3) перемена местами двух строк или столбцов матрицы;
4) удаление «нулевых» строк, то есть таких, все элементы которых равны нулю;
5) удаление всех пропорциональных строк, кроме одной.
Тогда ранг полученной матрицы будет равен числу строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.
Пример 5. Найти ранг матрицы
.
.
Вычитая из четвёртой строки третью, а затем переставив местами вторую и третью строки, получаем матрицу
.
Получили трапециевидную матрицу. Ранг полученной матрицы равен трём (r=3), так как после вычёркивания последней строки, полностью состоящей из нулей, в ней останется три строки.
Желающие могут проверить это решение способом окаймляющих миноров (минор третьего порядка, находящийся в левом верхнем углу, не равен нулю, а все миноры четвёртого порядка равны нулю).
Найти ранг матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 6. Найти ранг матрицы
.
Пример 7. Найти ранг матрицы
.