решить уравнение при всех значениях параметра а

Уравнения с параметром

Разделы: Математика

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

если а = 5, то х = = ;

Дидактический материал

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

х = –

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

a =

a =

х =

х = – = –

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

6

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 0

4а(а – 4) 0

а(а – 4)) 0

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2 ) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 ₃2 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log₃а, или х 2 – хlog₃а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 ₃2 – 4 > 0, или |log₃а| > 2.

Если log₃а > 2, то а > 9, а если log₃а 9.

Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

а – положительное число.

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

х = у

Если а = 0, то –

2у + 1 = 0 2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).

Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а₀; 2), где а₀ 2

а₀ =

Источник

Исследование уравнений/неравенств при всех значениях параметра

Исследовать уравнение/неравенство при всех значениях параметра – это значит указать, при каких значениях параметра какое именно решение имеет данное уравнение/неравенство.

Т.к. \(a^2 \geqslant 0 \Rightarrow D>0\) при любых значениях параметра.

Рассмотрим два случая:

\(a=0\Rightarrow\) один корень

\(a\ne 0 \Rightarrow\) два корня.

Данное уравнение равносильно системе:

Рассмотрим два случая:

Тогда вся система равносильна \( \begin x\geqslant 2\\ x=2 \end \Leftrightarrow x=2\)

\(a\in(-\infty;-1) \Rightarrow x=-2a\\ a=-1 \Rightarrow x=2\\ a\in(-1;+\infty) \Rightarrow x\in\<-2a;\frac3\>\)

Как показывает статистика, нахождение решения задач с параметром многие выпускники считают наиболее трудным при подготовке в ЕГЭ 2019 по математике. С чем это связано? Дело в том, что зачастую задачи с параметром требуют применения исследовательских методов решения, т. е. при вычислении правильного ответа понадобится не просто применять формулы, но и находить те параметрические значения, при которых выполнено определенное условие для корней. При этом сами корни порой искать вовсе не требуется.

Тем не менее справляться с решением заданий с параметрами должны все учащиеся, которые готовятся к сдаче ЕГЭ. Подобные задачи встречаются в аттестационном испытании регулярно. Образовательный портал «Школково» поможет вам восполнить пробелы в знаниях и научиться быстро находить решение заданий с параметром в ЕГЭ по математике. Наши специалисты подготовили и в доступной форме изложили весь базовый теоретический и практический материал по данной теме. С порталом «Школково» решение задач на подбор параметра будет даваться вам легко и не повлечет никаких затруднений.

Основные моменты

Важно понять, что единого алгоритма решения задач на подбор параметра попросту не существует. Способы нахождения правильного ответа могут быть различными. Решить математическую задачу с параметром в ЕГЭ — значит, найти, чему равна переменная при определенном значении параметра. Если исходное уравнение и неравенство можно упростить, это необходимо сделать в первую очередь. В некоторых задачах для этого можно использовать стандартные методы решения, как в случае, если бы параметр представлял собой обычное число.

Вы уже успели ознакомиться с теоретическим материалом по данной теме? Для окончательного усвоения информации при подготовке к ЕГЭ по математике рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий с параметром; для каждого упражнения мы представили полный разбор решения и правильный ответ. В соответствующем разделе вы найдете как простые, так и более сложные задачи. Попрактиковаться в решении упражнений с параметрами, построенных по примеру заданий в ЕГЭ, учащиеся могут в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.

Источник