способы оценивания параметров линейной регрессии тест

Оценка результатов линейной регрессии

Введение

Модель линейной регрессии

Итак, у нас есть данные, состоящие из k наблюдений величин Y и Xi и мы хотим оценить коэффициенты. Стандартным методом для нахождения оценок коэффициентов является метод наименьших квадратов. И аналитическое решение, которое можно получить, применив этот метод, выглядит так:

где b с крышкой — оценка вектора коэффициентов, y — вектор значений зависимой величины, а X — матрица размера k x n+1 (n — количество предикторов, k — количество наблюдений), у которой первый столбец состоит из единиц, второй — значения первого предиктора, третий — второго и так далее, а строки соответствуют имеющимся наблюдениям.

Функция summary.lm() и оценка получившихся результатов

Теперь рассмотрим пример построения модели линейной регрессии в языке R:

Таблица gala содержит некоторые данные о 30 Галапагосских островах. Мы будем рассматривать модель, где Species — количество разных видов растений на острове линейно зависит от нескольких других переменных.

Рассмотрим вывод функции summary.lm().
Сначала идет строка, которая напоминает, как строилась модель.
Затем идет информация о распределении остатков: минимум, первая квартиль, медиана, третья квартиль, максимум. В этом месте было бы полезно не только посмотреть на некоторые квантили остатков, но и проверить их на нормальность, например тестом Шапиро-Уилка.
Далее — самое интересное — информация о коэффициентах. Здесь потребуется немного теории.
Сначала выпишем следующий результат:

при этом сигма в квадрате с крышкой является несмещенной оценкой для реальной сигмы в квадрате. Здесь b — реальный вектор коэффициентов, а эпсилон с крышкой — вектор остатков, если в качестве коэффициентов взять оценки, полученные методом наименьших квадратов. То есть при предположении, что ошибки распределены нормально, вектор коэффициентов тоже будет распределен нормально вокруг реального значения, а его дисперсию можно несмещенно оценить. Это значит, что можно проверять гипотезу на равенство коэффициентов нулю, а следовательно проверять значимость предикторов, то есть действительно ли величина Xi сильно влияет на качество построенной модели.
Для проверки этой гипотезы нам понадобится следующая статистика, имеющая распределение Стьюдента в том случае, если реальное значение коэффициента bi равно 0:

где
— стандартная ошибка оценки коэффициента, а t(k-n-1) — распределение Стьюдента с k-n-1 степенями свободы.

Теперь все готово для продолжения разбора вывода функции summary.lm().
Итак, далее идут оценки коэффициентов, полученные методом наименьших квадратов, их стандартные ошибки, значения t-статистики и p-значения для нее. Обычно p-значение сравнивается с каким-нибудь достаточно малым заранее выбранным порогом, например 0.05 или 0.01. И если значение p-статистики оказывается меньше порога, то гипотеза отвергается, если же больше, ничего конкретного, к сожалению, сказать нельзя. Напомню, что в данном случае, так как распределение Стьюдента симметричное относительно 0, то p-значение будет равно 1-F(|t|)+F(-|t|), где F — функция распределения Стьюдента с k-n-1 степенями свободы. Также, R любезно обозначает звездочками значимые коэффициенты, для которых p-значение достаточно мало. То есть, те коэффициенты, которые с очень малой вероятностью равны 0. В строке Signif. codes как раз содержится расшифровка звездочек: если их три, то p-значение от 0 до 0.001, если две, то оно от 0.001 до 0.01 и так далее. Если никаких значков нет, то р-значение больше 0.1.

В нашем примере можно с большой уверенностью сказать, что предикторы Elevation и Adjacent действительно с большой вероятностью влияют на величину Species, а вот про остальные предикторы ничего определенного сказать нельзя. Обычно, в таких случаях предикторы убирают по одному и смотрят, насколько изменяются другие показатели модели, например BIC или Adjusted R-squared, который будет разобран далее.

Значение Residual standart error соответствует просто оценке сигмы с крышкой, а степени свободы вычисляются как k-n-1.

А теперь самая важные статистики, на которые в первую очередь стоит смотреть: R-squared и Adjusted R-squared:

где Yi — реальные значения Y в каждом наблюдении, Yi с крышкой — значения, предсказанные моделью, Y с чертой — среднее по всем реальным значениям Yi.

Начнем со статистики R-квадрат или, как ее иногда называют, коэффициента детерминации. Она показывает, насколько условная дисперсия модели отличается от дисперсии реальных значений Y. Если этот коэффициент близок к 1, то условная дисперсия модели достаточно мала и весьма вероятно, что модель неплохо описывает данные. Если же коэффициент R-квадрат сильно меньше, например, меньше 0.5, то, с большой долей уверенности модель не отражает реальное положение вещей.

Однако, у статистики R-квадрат есть один серьезный недостаток: при увеличении числа предикторов эта статистика может только возрастать. Поэтому, может показаться, что модель с большим количеством предикторов лучше, чем модель с меньшим, даже если все новые предикторы никак не влияют на зависимую переменную. Тут можно вспомнить про принцип бритвы Оккама. Следуя ему, по возможности, стоит избавляться от лишних предикторов в модели, поскольку она становится более простой и понятной. Для этих целей была придумана статистика скорректированный R-квадрат. Она представляет собой обычный R-квадрат, но со штрафом за большое количество предикторов. Основная идея: если новые независимые переменные дают большой вклад в качество модели, значение этой статистики растет, если нет — то наоборот уменьшается.

Для примера рассмотрим ту же модель, что и раньше, но теперь вместо пяти предикторов оставим два:

Как можно увидеть, значение статистики R-квадрат снизилось, однако значение скорректированного R-квадрат даже немного возросло.

Теперь проверим гипотезу о равенстве нулю всех коэффициентов при предикторах. То есть, гипотезу о том, зависит ли вообще величина Y от величин Xi линейно. Для этого можно использовать следующую статистику, которая, если гипотеза о равенстве нулю всех коэффициентов верна, имеет распределение Фишера c n и k-n-1 степенями свободы:

Значение F-статистики и p-значение для нее находятся в последней строке вывода функции summary.lm().

Заключение

В этой статье были описаны стандартные методы оценки значимости коэффициентов и некоторые критерии оценки качества построенной линейной модели. К сожалению, я не касался вопроса рассмотрения распределения остатков и проверки его на нормальность, поскольку это увеличило бы статью еще вдвое, хотя это и достаточно важный элемент проверки адекватности модели.
Очень надеюсь что мне удалось немного расширить стандартное представление о линейной регрессии, как об алгоритме который просто оценивает некоторый вид зависимости, и показать, как можно оценить его результаты.

Источник

Тест по эконометрике с ответами бесплатно

1)Под эконометрикой в широком смысле слова понимается:

а)совокупность теоретических результатов

б)совокупность различного рода экономических исследований, проводимых с использованием математических методов

в)самостоятельна я научная дисциплина

г)применение статистических методов

а)приближенное описание объекта моделирования, выраженное с помощью математической символики

б)модель, содержащая элементы случайности

в)вероятностно-с татистическая модель

г)описание экономического объекта

3)Экономико-мате матическая модель-это:

а)модель, описывающая механизм функционирования экономики

б)математическое описание экономического объекта или процесса с целью их исследования и управления ими

г)модель реального явления

4)Вероятностная модель- это:

в)математическая модель реального явления, содержащего элементы случайности

г)вероятностно-с татистическая модель

5)Какие переменные существуют в эконометрике:

б)предопределенн ые, эндогенные

в)экзогенные, эндогенные, предопределенные

6)Основные типы эконометрических моделей:

а)модели тренда, модель сезонности

б) модель временных рядов, регрессионные модели, система одновременных уровней

в)регрессионная, модель тренда и сезонности

г) модель сезонности, регрессионная

7)Этапы построения эконометрической модели:

а)постановочный, априорный, параметризация

б)постановочный, информационный, априорный

в)постановочный, априорный, параметризация, информационный, идентификация модели, верификация модели

г) параметризация, информационный, идентификация модели

8)Какие три типа данных существуют в эконометрике:

а)пространственн о временные, регрессионные, временные

в) экзогенные, эндогенные, предопределенные

9)Простая (парная) регрессия-это

а)зависимость среднего значения какой-либо величины

б) модель вида Yx = a + bx

в)модель, где среднее значение зависимой переменной У рассматривается как функция одной независимой Х

г) модель, где среднее значение зависимой переменной У рассматривается как функция нескольких независимых переменных

а) модель, где среднее значение зависимой переменной У рассматривается как функция нескольких независимых переменных Х1, Х2, Х3

б) зависимость среднего значения какой-либо величины

в) модель, где среднее значение зависимой переменной У рассматривается как функция одной независимой Х

г)модель вида Y = a + bx

11)Способы оценивания параметров линейной регрессии:

а)мат. ожидание, дисперсия

б)дисперсия, среднеквадратичн ое отклонение

в)мат. ожидание, дисперсия, несмещенная выборочная дисперсия, среднеквадратичн ое отклонение, ковариация

г) выборочная дисперсия, среднеквадратичн ое отклонение, ковариация

12) Под эконометрикой в узком смысле слова понимается:

а)совокупность различного рода экономических исследований

б)самостоятельна я научная дисциплина

в)совокупность теоретических результатов

г)применение статистических методов в экономических исследованиях

13)Название «эконометрика» было введено в 1926 таким ученым как:

14)Экзогенные переменные- это

а)внешние переменные, которые задаются из вне моделей, являются автономными и управляемыми

в)формируются в результате функционирования соц. экономической системы

15)Эндогенные переменные- это:

а) лаговые переменные

б) внешние переменные

г)внутренние переменные, которые формируются в результате функционирования соц. экономической системы

16)предопределен ные переменные- это:

б) автономные переменные

в) которые задаются из вне моделей

г)лаговые эндогенные переменные

17)Как выражается модель сезонности:

18)Как выражается модель тренда:

19) Как выражается модель тренда и сезонности:

а)периодическая (сезонная) компонента

21)Априорный этап построения эконометрической модели –это:

а)определение конечных целей моделирования

в)предмодельный анализ экономической сущности изучаемого явления,формиров ание и формализация априорной информации

г)сбор необходимой статистической информации

22)Информационны й этап построения эконометрической модели –это:

а) само моделирование

б)сопоставление реальных и модельных данных

в)сбор необходимой статистической информации, т.е. регистрация значений участвующих моделей факторов и показателей

г)статистический анализ модели

23)Верификация модели –это:

а) статистический анализ модели

б) определение конечных целей моделирования

в) сбор необходимой статистической информации

г) сопоставление реальных и модельных данных, проверка адекватности модели

а) статистический анализ модели, и в первую очередь статистическое оценивание независимых параметров модели

б) сбор необходимой статистической информации, т.е. регистрация значений участвующих моделей факторов и показателей

в) определение конечных целей моделирования

г) сопоставление реальных и модельных данных, проверка адекватности модели

25)Постановочный этап построения эконометрической модели –это:

а) сбор необходимой статистической информации, т.е. регистрация значений участвующих моделей факторов и показателей

б)определение конечных целей моделирования, набора участвующих в модели факторов и показателей, их роли

в) статистический анализ модели

г) сопоставление реальных и модельных данных

Источник

Тест: Ответы на тест по эконометрике

Тема: Ответы на тест по эконометрике

Тип: Тест | Размер: 16.37K | Скачано: 346 | Добавлен 26.01.10 в 15:48 | Рейтинг: +30 | Еще Тесты

Аддитивная модель содержит компоненты в виде …

комбинации слагаемых и сомножителей

слагаемых

В линейной регрессии Y=b0+b1X+e параметрами уравнения регрессии являются: (неск)

В правой части приведенной формы системы одновременных уравнений, построенной по перекрестным данным (cross-section data) без учета временных факторов, могут стоять _______ переменные.

экзогенные

В стационарном временном ряде трендовая компонента …

имеет линейную зависимость от времени

отсутствует

имеет нелинейную зависимость от времени

Величина коэффициента детерминации … (неск)

характеризует долю дисперсии зависимой переменной y, объясненную уравнением, в ее общей дисперсии

рассчитывается для оценки качества подбора уравнения регрессии

характеризует долю дисперсии остаточной величины в общей дисперсии зависимой переменной у

оценивает значимость каждого из факторов, включенных в уравнение регрессии

Величина коэффициента регрессии показывает …

среднее изменение фактора при изменении результата на одну единицу измерения

на сколько процентов изменится результат при изменении фактора на 1 %

значение тесноты связи между фактором и результатом

среднее изменение результата при изменении фактора на одну единицу измерения

Величина коэффициента эластичности показывает …

на сколько процентов изменится в среднем результат при изменении фактора на 1%

во сколько раз изменится в среднем результат при изменении фактора в два раза

предельно допустимое изменение варьируемого признака

предельно возможное значение результата

Временным рядом является совокупность значений …

экономического показателя за несколько последовательных моментов (периодов) времени

последовательных моментов (периодов) времени и соответствующих им значений экономического показателя

экономических однотипных объектов по состоянию на определенный момент времени

экономического показателя для однотипных объектов на определенный момент времени

Выберите верные утверждения по поводу структурной формы системы эконометрических уравнений:

каждое уравнение системы может рассматриваться в качестве отдельного уравнения регрессии зависимости одной переменной от группы факторов

система регрессионных уравнений, матрица коэффициентов которых симметрична

эндогенные переменные в одних уравнениях могут выступать в роли независимых переменных в других уравнениях системы

система одновременных уравнений описывает реальное экономическое явление или процесс

Гомоскедастичность остатков подразумевает …

рост дисперсии остатков с увеличением значения фактора

максимальную дисперсию остатков при средних значениях фактора

уменьшение дисперсии остаток с уменьшением значения фактора

одинаковую дисперсию остатков при каждом значении фактора

Диаграмма рассеяния указывает на нелинейную зависимость. В этом случае следует осуществить … (неск)

расчет линейного коэффициента корреляции и использование линейной модели

включение в модель дополнительных факторных признаков

визуальный подбор функциональной зависимости нелинейного характера, соответствующего структуре точечного графика

подбор преобразования переменных, дающего наибольшее по абсолютной величине значение коэффициента парной корреляции

Для линейного уравнения регрессии у = а + bx + e метод наименьших квадратов используется при оценивании параметров…(неск)

Для расчета критического значения распределения Стьюдента служат следующие параметры:

количество зависимых переменных

объем выборки и количество объясняющих переменных

уровень значимости

К классам эконометрических моделей относятся: (неск)

системы нормальных уравнений

корреляционно – регрессионные модели

модели временных рядов

Компонентами временного ряда являются: (неск)

циклическая (сезонная) компонента

тренд

Корреляция подразумевает наличие связи между …

результатом и случайными факторами

переменными

Косвенный метод наименьших квадратов применим для …

неидентифицируемой системы уравнений

неидентифицируемой системы рекурсивных уравнений

любой системы одновременных уравнений

идентифицируемой системы одновременных уравнений

Коэффициент детерминации рассчитывается для оценки качества…

подбора уравнения регрессии

параметров уравнения регрессии

факторов, не включенных в уравнение регрессии

Коэффициент парной корреляции характеризует тесноту ____ связи между _____ переменными.

линейной … двумя

Критические значения критерия Стьюдента определяются по…

двум степеням свободы

трем и более степеням свободы

уровню значимости и одной степени свободы

Метод наименьших квадратов используется для оценивания …

величины коэффициента детерминации

параметров линейной регрессии

величины коэффициента корреляции

средней ошибки аппроксимации

Нелинейным является уравнение регрессии нелинейное относительно входящих в него …

факторов

Несмещенность оценки характеризует …

равенство нулю математического ожидания остатков

наименьшую дисперсию остатков

ее зависимость от объема выборки

увеличение точности ее вычисления с увеличением объема выборки

Обобщенный метод наименьших квадратов применяется в случае…

автокорреляции остатков

Под автокорреляцией уровней временного ряда подразумевается _____ зависимость между последовательными уровнями ряда.

корреляционная

При выполнении предпосылок МНК оценки параметров регрессии обладают свойствами: (неск)

несмещенность

эффективность

Предпосылками МНК являются … (неск)

случайные отклонения коррелируют друг с другом

гетероскедастичность случайных отклонений

случайные отклонения являются независимыми друг от друга

дисперсия случайных отклонений постоянна для всех наблюдений

Примерами фиктивных переменных могут служить: (неск)

образование

Примером нелинейной зависимости экономических показателей является …

зависимость объема продаж от недели реализации, выраженная линейным трендом

линейная зависимость затрат на производство от объема выпуска продукции

линейная зависимость выручки от величины оборотных средств

классическая гиперболическая зависимость спроса от цены

Принципиальные сложности применения систем эконометрических уравнений связаны с ошибками…

однородности выборочной совокупности

спецификации модели

определения случайных воздействий

Система эконометрических уравнений включает в себя следующие переменные:

эндогенные

экзогенные

Способами определения структуры временного ряда являются: (неск)

анализ автокорреляционной функции

расчет коэффициентов корреляции между объясняющими переменными

построение коррелограммы

агрегирование данных за определенный промежуток времени

Среди нелинейных эконометрических моделей рассматривают следующие классы нелинейных уравнений: …

внутренне нелинейные

внутреннее линейные

Структурной формой модели называется система ____ уравнений.

взаимосвязанных

Тенденция временного ряда характеризует совокупность факторов, …

оказывающих сезонное воздействие

оказывающих единовременное влияние

оказывающих долговременное влияние и формирующих общую динамику изучаемого показателя

не оказывающих влияние на уровень ряда

Укажите верные характеристики коэффициента эластичности:

коэффициент эластичности показывает на сколько процентов изменится значение результирующего фактора при изменении на один процент объясняющего фактора

коэффициент эластичности является постоянной величиной для всех видов моделей

коэффициент эластичности показывает на сколько изменится значение результирующего фактора при изменении объясняющего фактора на одну единицу

по значению коэффициента эластичности можно судить о силе связи объясняющего фактора с результирующим

Укажите последовательность этапов оценки параметров нелинейной регрессии Y = a + b*X + c*X².

3 оцениваются параметры регрессии b0, b1, b2

1 выполняется замена переменной X2 на Z

2 задается спецификация модели в виде Y = b₀ + b₁*X +b₂*Z, где b₀ = a; b₁ = b; b₂ =c

4 определяются исходные параметры из тождеств: a = b₀; b = b₁; c = b₂

Укажите последовательность этапов проведения теста Голдфелда-Квандта для парной линейной регрессии.

4 вычисление статистики Фишера

1 упорядочение наблюдений по возрастанию значений объясняющей переменной

3 оценка сумм квадратов отклонений для регрессий по k-первым и k-последним наблюдений

2 оценка регрессий для k-первых и k-последних наблюдений

Укажите справедливые утверждения по поводу критерия Дарбина-Уотсона: (неск)

позволяет проверить гипотезу о наличии автокорреляции первого порядка

изменяется в пределах от 0 до 4

равен 0 в случае отсутствия автокорреляции

применяется для проверки гипотезы о наличии гетероскедастичности остатков

Укажите существующие классы эконометрических систем: (неск)

система нормальных уравнений

система стандартных уравнений

система одновременных уравнений

система независимых уравнений

Укажите требования к факторам, включаемым в модель множественной линейной регрессии: (неск)

между факторами не должна существовать высокая корреляция

факторы должны быть количественно измеримы

факторы должны иметь одинаковую размерность

факторы должны представлять временные ряды

Установите соответствие между названием модели и видом ее уравнения:

3 y = ab x *e;

Установите соответствие между наименованиями элементов уравнения Y=b0+b1X+e и их буквенными обозначениями:

1. параметры регрессии

2. объясняющая переменная

3. объясняемая переменная

4. случайные отклонения

3 Y

4 e

1 b0, b1

2 X

Установите соответствие между эконометрическими терминами и их определениями.

1. автокорреляция уровней временного ряда

2. коэффициент автокорреляции уровней временного ряда

3. автокорреляционная функция

3 последовательность коэффициентов автокорреляции первого, второго и т.д. порядков

4 график зависимости значений автокорреляционной функции от величины лага

1 корреляционная зависимость между последовательными уровнями ряда

2 коэффициент линейной корреляции между последовательными уровнями

Фиктивными переменными в уравнении множественной регрессии являются …

качественные переменные, преобразованные в количественные

комбинации из включенных в уравнение регрессии факторов, повышающие адекватность модели

переменные, представляющие простейшие функции от уже включенных в модель переменных

дополнительные количественные переменные, улучшающие решение

Число степеней свободы общей, факторной и остаточной дисперсий связано …

только с числом единиц совокупности

с числом единиц совокупности и видом уравнения регрессии

характером исследуемых переменных

только с видом уравнения регрессии

Число степеней свободы связано с числом … (неск)

единиц совокупности (количеством наблюдений)

видом уравнения регрессии

раздел экономической теории, связанный с анализом статистической информации

специальный раздел математики, посвященный анализу экономической информации

наука, которая осуществляет качественный анализ взаимосвязей экономических явлений и процессов

наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы

Источник