уравнения с параметром в каком классе проходят

Линейные уравнения с параметрами в 7-м классе (методические рекомендации)

Разделы: Математика

а) свободное владение навыками решения уравнений;
б) знание специфических преобразований, которые используются в уравнениях;
в) умение построить логическую цепочку рассуждений.

а) отработку навыков решения уравнений;
б) повышают интеллектуальный уровень ученика и его логическое мышление;
в) формируют навыки исследовательской деятельности;
г) повышают интерес к математике.

Прежде чем ввести понятие «параметр», учащимся необходимо напомнить роль букв в алгебре. Обратить внимание ребят на то, что за буквой скрывается число.
Предложите учащимся задания, в которых надо выразить одну переменную через другую. К этим задачам надо возвращаться постоянно, особенно в 7-м классе, поскольку умение выражать одну переменную через другую очень пригодится при решении задач по физике, где требуется вначале составить буквенное выражение и только затем подставить числовые значения.

Пример №3.
Дано уравнение ах=5а-9.
Напишите уравнение, которое получится, если а=10; а=-2; а=0.

Пример №4.
Решить уравнение относительно х:
х+2=а+7.
Решение: х=а+5.
Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовем параметром.

Заметим, что в нашем примере параметр а может принимать любые значения.
Ответ запишем так: при любом значении параметра а

Как было сказано ранее, к уравнениям с параметрами надо возвращаться постоянно. Поэтому, на конец учебного года можно вынести уравнения:
1) (а-3)х=а2-9;
2) (3-2а)х=4а2-12а+9;
3) (а2-4)х=а2-5а+6;
4) (а2-1)х=а3+1
Решение.1) (а2-1)=0, а=±1.
При а=1 уравнение имеет вид 0х=2. Следовательно, решений нет.
При а=-1 уравнение имеет вид 0х=0. Следовательно, х- любое число.

Задачи для самостоятельного решения.

Для всех значений параметров а и в решите уравнения:

Используемая литература.

Источник

Параметры в школьном курсе математики

Разделы: Математика

Пояснительная записка

Основной задачей модернизации российского образования является обеспечение нового качества школьного образования, соответствующего требованиям изменившейся системы общественных отношений и ценностей. В свете профилизации и модернизации школьного образования возникла необходимость создания элективного курса «Параметры в школьном курсе математики» для развития целостной математической составляющей картины мира и для расширения возможностей учащихся по свободному выбору своего образовательного пути. Предлагаемый элективный курс предназначен для реализации в старших классах профильного обучения с физико-математическим направлением. Курс систематизирует и упорядочивает, закрепляет и углубляет математические знания, умения и навыки учащихся. В процессе изучения данного элективного курса учащиеся познакомится с различными методами решения задач с параметрами.

Элективный курс предусматривает не только овладение различными умениями, навыками, приемами для решения задач, но и создает условия для формирования мировоззрения ученика, логической и эвристической составляющих мышления. Задачи с параметрами, как правило, относятся к наиболее трудным задачам, носят исследовательский характер. В школьных учебниках по математике таких задач недостаточно. Практика итоговых экзаменов в школе и приемных экзаменов в высшие учебные заведения показывает, что задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане, и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена в любое высшее учебное заведение. Старшеклассники, изучившие данный материал, смогут более успешно реализовать полученные знания и умения на итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления. Приемы и методы, которые получат учащиеся в ходе изучения данного курса, применимы и в других предметных областях. В, частности, приемы обобщения, анализа, классификации, систематизации и другие надпредметные компетентности. Не секрет, что уровень развития надпредметных умений и навыков, в настоящее время, не высок. Поэтому возникла необходимость создания этого элективного курса, который не только напрямую углубляет и расширят математические способности детей, но и развивает их творческий и интеллектуальный потенциал.

Программа курса

Содержание курса

Предлагаемый элективный курс рассчитан на 34 часа и предлагается его организовать во втором полугодии 10 класса и в первом полугодии 11 класса следующим образом:

Краткое содержание курса

Определение параметра. Классификация уравнений и неравенств, содержащие параметр. Основные приемы решения задач с параметрам. Решение простейших уравнений с параметрами. Актуализация знаний учащихся по данной теме. Практическое применение приемов и методов решения параметрических заданий в других предметных областях. Прогнозирование исследовательской и проектной деятельности.

2. Решение уравнений различного типа

Систематизация различных типов уравнений, различных методов решения. Решение задач. Алгоритмы решения уравнений.

2.1. Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр. Различные приемы и методы решений уравнений, сводящиеся к линейным уравнениям. Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр. Решение линейно-кусочных уравнений. Геометрическая интерпретация. Решение системных уравнений.

2.2. Актуализация знаний по теме «Квадратные уравнения». Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета. Исследование квадратного трехчлена. Алгоритм решения уравнений. Аналитический метод решения.

Функционально-иллюстративный метод. Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования.

Тригонометрические уравнения. Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр. Исследование области значений функции методами оценивания значений.

3. Решение неравенств различного вида

3.1.Решение линейных неравенств, содержащих параметр.Определение линейного неравенства. Алгоритм решения линейных неравенств. Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами. Различные приемы и методы решений неравенств, сводящихся к линейным неравенствам. Исследование полученных ответов. Обработка результатов, полученных при решении.

3.2. Квадратные неравенства и неравенства, сводящиеся к квадратичным неравенствам. Определение квадратичного неравенства. Алгоритм решения квадратных неравенств. Решение стандартных квадратных неравенств и неравенств с параметрами. Различные приемы и методы решений неравенств, сводящихся к квадратным неравенствам. Исследование полученных ответов. Обработка результатов, полученных при решении. Область определения и область значений квадратичной функции. Монотонность квадратичной функции. Координаты вершины параболы. Исследование корней квадратного трехчлена.

3.3 Тригонометрические неравенства. Свойства тригонометрических функций. Приемы и методы решений тригонометрических неравенств, содержащих параметр.

Дальнейшее изучение способов решений заданий с параметрами. Прогнозирование исследовательской и проектной деятельности.

5. Логарифмические, показательные уравнения и неравенства.

Решение уравнений и неравенств с помощью методов: интервалов, неопределённых коэффициентов, оценок (по выбору).

5.1. Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств, содержащих параметры.Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений с параметрами. Исследование полученных ответов. Обработка результатов, полученных при решении.

5.2. Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных неравенств, содержащих параметры. Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических неравенств с параметрами. Исследование полученных ответов. Обработка результатов, полученных при решении.

6. Производная и ее применение

Касательная к функции. Критические точки. Монотонность. Наибольшие и наименьшие значения функции. Построение графиков функций.

7. Графическое решение уравнений и неравенств

Графические приемы. Координатная плоскость (х; у). Параллельный перенос. Поворот. Гомотетия. Координатная плоскость (х; а).

8. Задачи на составление уравнений

Решение задач с некоторыми условиями. Прикладная направленность применения методов решения параметрических задач.

8.1. Задачи с физическим содержанием.

8.2. Задачи на объемные доли в растворе и концентрацию вещества.

Итоговым занятием могут быть презентации защиты проектов.

Виды деятельности

Для организации занятий рекомендуются следующие организационные формы обучения: лекции, практикумы по решению задач, семинары. Основным видом деятельности учащихся на занятиях должна стать проектная и исследовательская деятельность учащихся, которая может быть реализована как на занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной работы, которая может быть представлена в виде исследовательских работ, презентаций, докладов, рефератов и т.д. Все занятия должны носить проблемный и поисковый характер и включать в себя самостоятельную работу. Успешность усвоения курса определяется преобладанием самостоятельной, творческой работы учащихся. Такая организация занятий способствует реализации развивающих целей курса.

Методические рекомендации

Для проведения занятий следует использовать различные организационные технологии. Первые занятия в десятом и одиннадцатом классах следует провести в виде обзорной лекции, на которой определяются цели и задачи курса, формы организации занятий, проектирование результатов деятельности и т.д. Содержание лекции можно представить в виде компьютерной презентации.

Занятия можно организовать в форме семинаров, практических занятий. Приоритетным направлением является групповая, парная и индивидуальная работа, в ходе которой реализуются исследовательская и проектная деятельность учащихся.

В группах можно рассматривать теоретический материал, парная работа дает возможность учащимся консультироваться друг у друга, выполнять совместные задания, проверять некоторый теоретический материал. В ходе индивидуальной работы учащиеся выполняют самостоятельные работы, готовят рефераты, доклады занимаются проектной и исследовательской деятельностью. Темы для рефератов и проектов учащиеся выбирают сами, защита которых и будет зачетом по данному курсу.

Данные формы организации занятий дают возможность учащимся проектировать свою образовательную траекторию. Каждый ребенок имеет возможность включить в процесс обучения свои собственные личные функции его субъектный опыт становится востребованным, а коллектив представляет возможность совместного развития, для восприятия себя как источника для развития других и других как источника своего развития. Другими словами, ученик становится подлинным центром образовательного процесса.

Для организации занятий следует подготовить дидактический материал, который соответствует уровню подготовленности учащихся. Теоретический материал можно оформить в виде опорных конспектов или предложить учебные пособия, либо указать ссылки на адреса в интернете. Проверить уровень усвоения учебного материала можно через самостоятельные, зачетные и тестовые задания, а также и подготовку проектов и исследовательских работ. На занятиях считаю необходимым применение информационно-коммуникационных технологий. Компьютер не только помогает в освоении учебного материала, но и формирует устойчивый позитивный интерес к обучению, в общем.

В конце каждого занятия целесообразно проводить рефлексию, которая поможет учащимся определить дальнейшие образовательные дефициты.

Ресурсное обеспечение

Соответственно необходимо наличие компьютеров, подключенных к интернет-каналу, проектор и экран для представления презентаций. Программное обеспечение должно быть следующее: Microsoft Word,Microsoft Excel, Microsoft PowerPoint.

Заключение

Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в вузы. Владение приемами решения задач с параметрам можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Источник

Класс: 7

Презентация к уроку

Тип урока: введение нового материала.

Учебник: «Алгебра-7» авт. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк и др. издательство «Мнемозина», 2008 год.

I. Проверка домашнего задания (работа выполнялась на двойных листах и сдаётся на проверку).

Готовые решения проецируются на доску и разбирается (проговаривается) алгоритм решения.

№ 624. Решите уравнение:

а) 0,3(2x – 1) – 0,4 (x + 8) = 1,2x – 1;
0,6x – 0,3 – 0,4x – 3,2 = 1,2x – 1;
0,6x – 0,4x –1,2x = 0,3 + 3,2– 1;
– x = 2,5;
x = –2,5. Ответ: – 2,5.

в) – 6(2 – 0,2x) + 11 = – 4(3 – 0,3x) – 1;
– 12 + 1,2x + 11 = – 12 + 1,2x – 1;
1,2x – 1,2x = 12 – 11 + 1;
0x = 2. Ответ: решений нет.

№ 625. Решите уравнение

а) (2x – 1)(3x + 7) – (1 + 6x)(x + 2) = 4;
6x 2 + 14x – 3x – 7 – (x + 2 + 6×2 + 12x) = 4;
6x 2 + 14x – 3x – 7 – x – 2 – 6×2 – 12x = 4;
6x 2 + 14x – 3x – x – 6x 2 – 12x = 4 + 7 + 2;
– 2x = 13;
x = – 6,5. Ответ: – 6,5.

№ 626. Решите уравнение

№ 622. При каких значениях a уравнение ax = 2a – 1:

а) имеет единственный корень; (при a 0)
б) имеет бесконечно много корней; (таких значений a нет)
в) не имеет корней? (при a = 0).

II. Устная работа (задания проецируются на доску)

1. Найдите корни уравнения:

а) 14 + 3x = 5 – x ; (– 2,25)
б) 105y – 28 = 105y + 7;
в) 34x + 2 = 34x + 2. (x – любое число)

2. При каких значениях a число 3 является корнем уравнения?

3. Укажите контрольные значения, при которых уравнение не имеет решений или решением является любое число?

а) (5 – a) x = 0; б) (b + 4) x = 5; в) ax = x.

III. Изучение нового материала

Учитель. Сегодня на уроке мы с вами будем учиться решать линейные уравнения с параметрами.

Задание 1

Рассмотрим уравнение mx + 3 = 4m – 2x. Оно содержит две переменные: m и x.

1. Вопрос. Чем же они отличаются? (одна из переменных, например m, принимает любые значения, тогда переменная x принимает не все значения, а только те, которые получаются при заданных значениях переменной m).

2. Задание. Решите данное уравнение при m = 2, – 1, 0.

если m = 2, то уравнение примет вид 2x + 3 = 8 – 2x. Ответ: ;
если m = – 1, то уравнение примет вид – x + 3 = – 4 – 2x. Ответ: – 7;
если m = 0, то уравнение примет вид 3 = – 2x. Ответ: – 1,5 )

3. Задание. Решите данное уравнение, задав свое значение для переменной m.
Переменную m, значения которой мы задаём, называют параметром (фиксированным числом).
Определение: решить уравнение с параметром – значит, для любых допустимых значений параметра найти значения неизвестной переменной.

4. Вопрос. Можем ли мы перебрать все значения параметра m, чтобы найти значения x? (нет)

5. Возникла проблемная ситуация. Как же решить данное уравнение mx + 3 = 4m – 2x?
Нет ли другого подхода к решению уравнения?
Оказывается существует. Для решения линейного уравнения с параметром применяется тот же
алгоритм решения, как и для линейного уравнения без параметра, т.е.перенос слагаемых и
приведение подобных слагаемых. Всегда ли эти операции выполняются? (да).
Выполним указанные операции:

6. Вопрос. Всегда ли можно выполнить деление? (нет).

7. Задание. Найдите контрольные значения, при которых уравнение не имеет решений.

Запишем решение уравнения далее так:

Задание 2 (разобрать так же подробно на доске)

Решите уравнение n 2 x + 3nx = 5n + 15;

n 2 x + 3nx = 5n + 15;
n (n + 3) x = 5 (n + 3);
n = – 3; 0 – контрольные значения параметра

1) при n = – 3 уравнение примет вид 0x = 0, x – любое число;
2) при n = 0 уравнение примет вид 0x = 15, решений нет;

Задание 3.

Самостоятельное решение уравнений с последующей проверкой на доске.

1. 2кx – 5(2 + x) = 7.

2кx – 5(2 + x) = 7;
2кx – 5x – 10 = 7;
2кx –5x = 7 + 10;
(2к –5) x = 17;
2к –5 = 0, к = 2,5 – контрольное значение параметра

1) при к = 2,5 уравнение примет вид 0x = 17, решений нет;

2. a 2 x – 2a = a 2 + ax

a 2 x – 2a = a 2 + ax;
a 2 x – ax = a 2 + 2a;
a(a – 1)x = a (a + 2);
a(a – 1) = 0, a = 0; 1 – контрольные значения параметра

1) при a = 0 уравнение примет вид 0x = 0, x – любое число;
2) при a = 1 уравнение примет вид 0x = 3, решений нет;

IV. Подведение итогов

1. Что мы сегодня рассматривали на уроке? (решение линейных уравнений с параметрами.)
2. В чем заключался алгоритм решения таких уравнений? Какие равносильные преобразования применяли?

а) освобождение от знаменателя, умножив обе части равенства на одно и тоже отличное от нуля число;
б) раскрытие скобок;
в) перенос слагаемых из одной части равенства в другую с противоположным знаком;
г) приведение подобных слагаемых.

V. Выставление оценок

VI. Домашнее задание

1) № 631; № 632; № 633.
2) Дополнительное задание

Источник