что такое графическая модель числа

Одним из разделов аддитивной теории чисел является исследование суммирования последовательностей. Важной является ситуация, когда в результате суммирования ограниченного числа последовательностей, получаются все достаточно большие числа или другой вариант — все натуральные числа, что в сущности эквивалентно моделированию НРЧ.
В теории вводится понятие базиса k-го порядка, под которым понимают многократную (k-кратную) сумму последовательности П с собой k раз и при этом формируются все натуральные числа. Дальнейшее суммирование последовательности П к предыдущему результату k = k + 1-й раз не меняет полученный базис.

Так, например, известна теорема Лагранжа о том, что любое натуральное число есть сумма четырех квадратов. Таким образом, последовательность квадратов Q есть базис 4-го порядка [1]. Известно [2, 3], что последовательность кубов образует базис 9-го порядка. Последний результат доказывается более сложным путем.

Усеченные модели НРЧ (не все натуральные числа присутствуют в модели), в которых обязательно присутствие лишь достаточно больших чисел, получаются при меньшем числе слагаемых последовательностей. Так из теоремы И.М. Виноградова [1] следует, что достаточно трижды просуммировать последовательность Р + Р + Р, где Р — последовательность простых чисел и эта сумма будет содержать все достаточно большие нечетные числа. Таким образом, последовательность Р образует базис 4-го порядка для достаточно больших чисел. Последовательность кубов в этой ситуации образует базис базис 7-го порядка для достаточно больших чисел. Таковы в общем результаты строгой теории чисел.

Мы при изложении материала не будем прибегать к строгим доказательствам, в части положений они пока отсутствуют, а где имеются занимают много места

Как было упомянуто выше, предлагается дополнить модель нечётного числа плоскостной моделью натурального ряда чисел. Данная модель удобна тем, что содержит все нечетные числа, а потенциальное знание их позиции (координат клетки с числом) приводит практически к мгновенной факторизации. Остается найти способ локализации заданного числа (указания на его клетку). Числовые примеры приведённые ниже по тексту иллюстрируют возможности предлагаемой модели и я надеюсь, простимулируют читателя к поиску решения названной задачи.

Ранее было показано, что использование геометрической (плоскостной) модели натурального ряда чисел в форме–плоскости позволяет формулировать задачу факторизации больших чисел (ЗФБЧ) в терминах и понятиях этой модели и сводить ее по существу к определению координат целой точки гиперболы, характеризуемой модулем сравнения N шифра RSA, который доступен всем абонентам сети. Использование другого доступного ключевого параметра (показателя шифрующей экспоненты е), найденных факторов и модуля обеспечивает простое вычисление закрытого ключа шифра d и доступ к исходному виду сообщения.

Наиболее сложной частью проведения криптоаналитической атаки представляется поиск целой точки гиперболы при известном модуле N. При огромной разрядности RSA-чисел отрезок ветви гиперболы, лежащей в выделенной области ненадежных ключевых параметров (НКП) содержит единственную целую точку среди бесконечного множества других точек. Поиск такой точки переборными алгоритмами – длительный и трудоемкий процесс, сводящийся к проверке принадлежности вычисляемой точки множеству натуральных чисел. Процедура в сущности проста: задается натуральное значение одной координаты клетки и определяется целочисленность второй координаты, либо задается и вычисляется.

Сформулируем ряд положений для обоснования выбора рассматриваемой модели:

Конструктивное описание Г 2∓ модели

_{Визуальное представление модели}

Равнобочная гипербола N = x1 2 – x0 2	Г и К – полуплоскости и гипербола

Элементами модели являются клетки (аналог точки плоскости), прямые линии (совокупности клеток-точек, примыкающих одной из сторон или вершиной, одна к другой) горизонтальные (Н_i), вертикальные (V_i), наклонные (совокупности примыкающих вершинами клеток-точек или клетками без контакта, формирующих направление линий с разрывами — лучей): длинные (Д_i) и короткие (К_i) диагонали, которые содержат либо только четные значения и при этом называются четными, либо нечетными диагоналями, образованными нечетными клетками. Короткие диагонали заканчиваются и начинаются в точках координатных осей с совпадающими координатами (номерами диагоналей). Длинные диагонали (Д_i) проходят параллельно главной (с номером (Д₀)) имеют только начальные точки на координатных осях и продолжаются вниз до ∞. Их положение выше и ниже (Д₀) характеризуется совпадающими номерами и для их различения диагонали верхней полуплоскости снабжаются дополнительным (+) значком (Д_i + ). Нечетная диагональ (Д₁ + ) начинается на оси х₀ клеткой с 1 и содержит в своих клетках нечетные числа. Нечетная диагональ Д₁ начинается на оси х₁ клеткой с N=1 и содержит все без исключения нечетные числа, упорядоченные по возрастанию. Тем самым обеспечивается требование к модели НРЧ содержать все нечетные числа.

В рамках такой модели появляется удобная возможность исследовать гипотетические числовые закономерности и решать, например, задачи определения и локализации пифагоровых троек чисел, разложения числа на множители (факторизация), определять кратные клетки, содержащие одинаковые значения, и их местоположение и другие теоретико-числовые задачи. Помимо этого появляются хорошие возможности визуального отображения результатов.

Зависимости чисел в организованных клетках

Под организацией клеток будем понимать принадлежность некоторых (семантически выделенных) клеток некоторому изображению, задаваемому математической зависимостью либо координат, либо значений в клетках, либо того и другого. Свойства получаемых изображений будем использовать для решения теоретико-числовых задач, в частности для ЗФБЧ. Начнем рассмотрение с очень простых изображений прямых линий, лучей. Г 2- — модель обеспечивает их визуализацию.

Пример 1. Рассмотрим нижнюю полуплоскость Г 2- и значения чисел в клетках с координатами (х₁, х₀), где координата х₁ пропорциональна другой х₀ координате х₁ = kх₀, коэффициент пропорциональности изменяется монотонно k = 2,3,4. ∞, что кратко записывается так k=2(1)∞. С изменением координаты х₀ = 0(1)∞, т. е. от нуля до бесконечности с шагом 1 и при фиксированном значении k будут вычисляться клетки и натуральные значения в них, принадлежащие линиям (лучам) с разрывами. Так при k = 2, получаемые клетки располагаются посередине отрезков горизонталей нижней полуплоскости, а линия получает вид луча-биссектрисы (обозначена Б3) нижней полуплоскости. При k = 3 получаемые клетки располагаются посередине отрезков коротких диагоналей нижней полуплоскости, а линия получает вид другого луча-биссектрисы (обозначена Б8) нижней полуплоскости.

Основное свойство таких лучей для ЗФБЧ состоит в том, что числа в клетках лучей определяются одной координатой x₀, т.е. значение N(x₁, x₀) = N(kx₀, x₀) = (kx₀) 2 — x₀ 2 = x₀ 2 (k 2 — 1) в клетке, принадлежащей одному из лучей, становится функцией только одной координаты x₀. Наличие числа N, факта принадлежности его клетке конкретного луча, обеспечивают определение второй координаты и получение решения ЗФБЧ за время долей секунды, которое практически не зависит от разрядности числа. Значение второй координаты находится из соотношения модели луча полуплоскости х₁ = kx₀. Из наличия обеих координат клетки вытекает, что все числа линии в таких клетках факторизуются элементарными действиями и практически мгновенно. Приводимые простые наглядные примеры убеждают нас в этом.

Пример 2. Подтверждение работоспособности модели вычислительным экспериментом. Пусть заданы для факторизации числа N = 968 и N = 507 ∊ Г 2- — модели, и каждое лежит в одной из клеток наклонной прямой, формируемой соотношением при некотором k, например, k = 2 получаем N(x₁, x₀) = x₁ 2 — x₀ 2 = (kx₀) 2 — x₀ 2 = x₀ 2 (k 2 — 1) = 3x₀ 2 = 968.

Для второго числа N = 507 выполняем такие же действия.

Источник

Конспект урока по математике на тему «Сложение и вычитание трехзначных чисел». 2-й класс

Класс: 2

Тип урока: изучение нового материала.

I. Организационный момент

Начинается урок.
Он пойти вам должен впрок.

II. Актуализация знаний (деятельностный метод обучения)

Все учащиеся работают в тетрадях, а 2 ученика на закрытых от всех «крыльях» доски. После окончания работы коллективная проверка выполнения задания.

2. Работа с графическими моделями чисел

На доске представлены 3 графические модели чисел.

Задание 1: Найти модель числа 425, доказать свой выбор. (В числе 425 4 сотни – они изображены большими треугольниками, 2 десятка – 2 маленьких треугольника, 5 единиц – 5 точек).

Вопрос: Что вы знаете о числе 425? (Трехзначное, последующее число 426, предыдущее 424, сумма цифр числа равна 11.) Выразите число 425 в различных счетных единицах.

(Задание выполняется на доске 3-мя учениками и в тетрадях всеми остальными.)

425 = 4с + 2д + 5е
425 = 42д + 5е
425 = 4с + 25е

Задание 2: на листах формата А3 зарисовать фломастером графическую модель любого трёхзначного числа, рядом записать это число.

Вопрос после игры: что общего у всех чисел, которые вы написали? (Они трехзначные.)

4. Разбиение чисел на группы

На доске 4 столбика чисел

Задание 1: Прочитать числа каждой пары, сказать, чем похожи и чем различаются. (Похожи: в записи есть одинаковые цифры, различия: двузначные и трёхзначные; цифры в записи числа обозначают разные единицы.)

Задание 2: Разделить на 2 группы («Круглые» и «некруглые» числа; двузначные и трёхзначные числа; числа, в записи которых есть цифра «0» и те в которых её нет; сумма цифр равна трем и сумма цифр равна 17).

ТРИЗ компонент «Расселение»

Задание 3: назвать предыдущее числа 300, последующее числа 809.
Во время этого этапа урока учитель стимулирует учащихся, раздавая карточки с двузначными и трёхзначными числами, в записи которых использованы одинаковые цифры.(99, 999, 22, 222, 444, 55, и т. д.) Карточки кладутся на стол в перевёрнутом виде. Правило: не переворачивать карточки до тех пор, пока учитель не попросит. При невыполнении правила карточка изымается. После 3-го задания учитель просит встать всех, кто получил поощрение в виде карточек и прочитать записанные числа. Сильным ученикам предлагается найти сумму чисел.

5. Самостоятельное решение примеров

Во время выполнения задания дети фиксируют затруднение при решении последнего примера.
Обсуждение ситуации. (Трудно потому, что ещё не складывали трёхзначные числа.)
Вопрос: Как вы думаете, чему мы сегодня будем учиться на уроке?
Формулирование детьми темы урока.

Физкультминутка

Выполняется под расслабляющую музыку. Учитель, или один из учеников, говорит такие слова: «сотни», «десятки», «единицы». Учащиеся стоят и при помощи рук показывают: сотни – руки сомкнуты над головой в виде большого треугольника, десятки – соединены попарно большие и указательные пальцы рук, образуя маленький треугольник, единицы – имитируется работа рук на клавиатуре компьютера по столу.

III. Постановка учебной задачи. Работа по теме

– Мы с вами уже умеем складывать и вычитать двузначные числа столбиком. Как вы думаете, при складывании и вычитании трёхзначных чисел столбиком будут те же правила, или мы будем это делать совсем по-другому? (Все также, только добавляется ещё один разряд – сотни.)
– Какое правило мы должны вспомнить, чтобы записать столбиком сумму чисел 261 и 124? (Единицы записываем под единицами, десятки под десятками). А сотни? (Сотни записать под сотнями).

Запись примера в тетрадях и на доске.

– С чего начинается сложение? (Сложение начнем с единиц. 1 единица плюс 4 единицы будет 5 единиц. Записываем под единицами цифру 5.) Что будем делать дальше? (Складываем десятки, записываем под десятками, а затем считаем сотни и записываем под сотнями. Читаем ответ: 385)
– Сделайте вывод о том, как сложить два трёхзначных числа столбиком.

Вывод фиксируется при помощи схемы-помощника:

Задание: записать столбиком разность чисел 372 и 162. Как произвести вычисления? Какой получился ответ? (210)
– Сделайте вывод о том, как найти разность двух трёхзначных чисел столбиком.

Дети самостоятельно делают выводы.
Вывод фиксируется при помощи схемы-помощника:

Вопрос для самых наблюдательных учеников: встречалось ли нам сегодня на уроке число 210? Какую роль играло это число? (Оно было слагаемым и разностью.) Какую еще роль может выполнять число? (Может быть суммой, уменьшаемым, вычитаемым.)

IV. Первичное закрепление

Дети решают примеры №2 со страницы 50 учебника.
Вопросы: Что заметили? Сделайте вывод. (Чем меньше второе слагаемое, тем меньше значение суммы, если первое слагаемое одинаково. Чем меньше уменьшаемое, тем меньше разность, если вычитаемое одинаково.)

V. Включение нового материала в систему знаний

Задание: Выполните действия в столбик и скажите, что интересного в этих примерах.

530 + 327 857 – 530 416 + 102 518 – 416

1) В 1 и 2 примерах одинаковые части (327 и 530) и целое (857), также и в 3 и 4 примерах (части 416 и 102, целое 518.
2) Выполняются взаимообратные действия.

Вопрос: Какие выражения вы бы дописали к этим парам? (327 + 530, 857 – 327, 102 + 416, 518 – 102)

– Какой закон математики увидели? (Переместительный.)

VI. Продолжение работы по теме урока

1. Решение задачи

В палатку привезли яблоки и апельсины. Яблок было 395 кг, а апельсинов на 145 кг меньше. Сколько фруктов привезли в палатку?

– Разбейте условие на смысловые части.
– Повторите вопрос.
– Можно ли сразу ответить на вопрос задачи?
– В задаче одно действие? Два? Три? Почему? Докажите. (Два данных, неизвестных тоже 2.)
– Начертите схему задачи;
– Решение запишите столбиком.

2. Преобразование задачи (применение технологии УДЕ)

3. Решение нестандартных задач:

1) Петя нашел один гриб, Коля – два, а Паша – три. Мама дала им 18 орехов и велела разделить их по заслугам. Сколько орехов получил каждый?

Ответ: Паша собрал половину всех грибов, поэтому ему полагается половина всех орехов – 9. Из остальных девяти орехов Коля должен получить в два раза больше Пети, так как он собрал в два раза больше грибов. Значит, Петя должен получить три ореха, а Коля шесть.

Ответ: каждое число, начиная со второго, равно предыдущему числу, деленному на 2, потом на 3, потом на 4. Два следующих числа 6 и 1.

4. Самостоятельная работа

Формирование умения решать задачи по действиям с пояснением и выражением.

Решение задачи №7 со страницы 51 учебника.

В гараже было 305 «Жигулей» и 142 «Москвича». Утром уехало 237 машин. Сколько машин осталось в гараже?

Вопросы после решения:

– Поднимитесь те, кто решил задачу по действиям с пояснением?
– Встаньте те, кто решил задачу выражением?

(Запись вариантов решения на доске.) Обратить внимание детей на то, что решения записаны по-разному, а количество действий одинаково.

– Какое решение рациональнее? Почему? (Требует меньше времени на запись.)
– Какими числами мы пользовались при решении этой задачи? (Трехзначными.)

Повтор сложения и вычитания трёхзначных чисел при помощи схемы-помощника.

VII. Итог урока

– Что полезного вы узнали на этом уроке?

VIII. Рефлексия

– Оцените свою работу. Нарисуйте на полях тетради зелёный «кружок», если вы довольны своей работой. Если вы довольны, но можете ещё лучше – жёлтый «кружок». А уж если что-то не поняли или немного ленились, то нарисуйте красный «кружок».

IX. Домашнее задание

– Cоставить 5 примеров на сложение трёхзначных чисел без перехода через разряд, чтобы одно число играло разную роль: слагаемое, сумма, уменьшаемое, вычитаемое, разность.

Источник

Урок математики «Графическая модель трёхзначного числа».(3 класс) обновлёнка

Раздел долгосрочного планирования:

1А Числа в пределах 1000. Сложение и вычитание/ «Живая и неживая природа», «Что такое хорошо и что такое плохо».

ФИО учителя: Лисицына Светлана Михайловна

Цели обучения, достигаемые на этом уроке

3.5.2.1 строить графические модели многозначных чисел, использовать таблицу разрядов и классов 3.1.1.2 читать, записывать и сравнивать трехзначные числа

Все смогут строить графические модели многозначных чисел, используя таблицу разрядов и классов читать, записывать и сравнивать трехзначные числа.

Большинство смогут находить ошибки в графических моделях многозначных чисел.

строит графические модели многозначных чисел (оценивание через формативное задание)

читает, записывает и сравнивает трехзначные числа.(оценивание через наблюдение за парами, группами)

С отрудничество, социальная ответствпенност, творчество, бережное отношение к природе

Учащиеся знают разрядный состав и графические модели двузначных чисел и числа 100 из программы 2 класса.

Карточки с цифрами от 0 до10, модели двузначных чисел, модели трёхзначных чисел для каждого, постеры для групп, маркеры, карточки желтого, красного, зеленого цвета для каждого на рефлексию «Светофор», фишки, компьютер.

Каким образом я достигну целей обучения?

(метод/ прием/ техника/ стратегия)

-Кто готов к уроку- хлопните в ладоши.

-У кого хорошее настроение –топните ногами.

-Кто готов добиваться цели- погладьте себя по голове.

-Вижу, что все готовы добиваться цели, садитесь.

2. Стартер: подготовить к выходу на тему и цель урока.

Что вы знаете о трёхзначных числах?

-Из каких разрядов состоят трёхзначные числа?

-Каким образом отсчитываются разряды?

1. В первом разряде этого числа столько единиц, сколько колес у легковой машины.

Во втором разряде этого числа единиц столько, сколько ног у муравья.

3.Это число является произведением 5и 6.

4.Это число является результатьм деления32 и 8

-Сделайте вывод, как составлять графическую модель двузначного числа?

— Как построить модель трёхзначного числа?

— Сформулируйте цель урока.

— Проговорите хором цель урока.

(Ф)-Это место цифры в записи числа: единицы, десятки, сотни.

-Трёхзначные числа состоят из трёх разрядов.

-Разряды отсчитываются с конца числа, с разряда единиц.

(Г) Приклеивают на постер№1

Строят модель числа 46.

Строят модель числа 52.

Строят модель числа 30

Строят модель числа 4

-Для единиц берем отдельные клеточки, для десятков столбики из 10 клеточек.

— Она строится так же, как и двузначного числа, но нужно добавить единицы разряда сотен, пластину из 100 кубиков. Это 10 столбиков, скрепленных между собой, показывающих десятки.

Научимся читать и записывать трёхзначные числа по её графической модели, строить графические модели трёхзначных чисел.

Остальные учащиеся оценивают и подают сигнал с помощью «хлопка» в случае согласия с выступающим.

Способ поддержки групп с помощью диалога учителя и обучающихся для постановки цели урока.

— Сколько в числе 46 дес. и единиц?

— Какое из этих чисел самое большое?

— Какое самое маленькое? Почему?

— С какого разряда нужно начинать сравнивать числа?

-Достигли ее? (не полностью)

— Рассмотрите задание №1 учебника стр.8

-Достигли мы цели урока?

-Мы должны научиться строить модель трёхзначного числа. Но возникнет затруднение построение моделей сотен, так как рисование 100 кубиков или клеток является трудоемким процессом и занимает много места в тетрадях.

-Рассмотрите задание 2 (А) учебника стр. 9.Что вы заметили?

3. Пронаблюдайте за изменением модели числа:

наблюдать за изменением модели числа.

4. № 2 (Б) учебника. Нарисуй модели чисел в тетради 305,600,990,1000. По графической модели числа определи, сколько в нём сотен, десятков и единиц: тренироваться в составлении моделей .

5. Игра «Найди верную модель »

Задание 3 Один ребенок уходит в коридор, три других составляют модели (одна правильная): выбрать правильную модель числа.

— Прочитайте следующее задание .

— Кто из детей правильно составил графическую модель числа 543. Почему?

— Вернёмся к цели урока. Для чего мы выполняли это задание.

4. Составьте числа и используя знаки чисел: закрепление навыков записи чисел по их графической модели.

Числа Древнего Египта.

Древние египтяне сотню обозначали знаком- ₪,

Десяток – знаком ∩, единицу – знаком I.

5.Придумай и запиши числа древнеегипетскими знаками.

6.***Игра «Покажи число»(резервное задание) : закрепление темы.

1.Первый игрок выходит к доске, показывает модель заданного числа

2.Остальные игроки используя карточки с цифрами составляют увиденное число и показывают его.

3. За правильный ответ игрок получает фишку.

4. Игра повторяется 3 раза.

Игроки меняются ролями.

5. Выигрывает тот, кто набрал больше фишек.

— Какая была тема урока?

— Какую цель ставили?

— Достигли ли мы цели, выполняя это задание.

-Тогда давайте проверим.

(Г) Составляют и приклеивают на постер №2 графические модели чисел.

Выходят к доске спикеры и рассказывают о разрядах этого числа.

Составляли модели чисел, читали и сравнивали их.

Определяют числа по модели

Заменили 10 квадратиков на один красный треугольник-это 1 десяток.

Заменили сто квадратиков на 1большой квадрат.

(И)- Рисуют модели чисел.

(Г) Выбирают правильную модель, объясняют почему.

-Чтобы не путать разряды числа, учились выбирать правильную модель.

(П) Составляют и записывают числа.

-Придумывают и записывают числа.

Играют в игру. Собирают фишки.

Передают постеры по часовой стрелке, отмечают «звёздочкой» правильные модели.

— графическая модель сотен соответствует количеству сотен в числе;

— графическая модель десятков соответствует количеству десятков в числе;

— графическая модель единиц соответствует количеству единиц в числе.

Осознают свои ошибки.

Метод взаимооценки в парах по эталону на экране.

Осознают что получилось, что не получилось.

Метод взаимооценки в парах :

меняются тетрадями, исправляют ошибки и ставят «+» за правильную модель по эталону на экране.

Самооценка по эталону на экране.

Способ поддержки групп с помощью диалога учителя и обучающихся для достижения цели задания.

-Как обозначаются сотни, дес., ед.?

Способ поддержки через диалог учителя с помощью вопросов.

-Как обозначены сотни?

-Сколько таких значков?

-Какой цифрой обозначим?

1. Итог урока: подвести итоги учебной деятельности на уроке.

-Какая была тема урока?

-Какие цели ставили?

-Кто достиг цели урока, поднимите руку.

2. Задание для формативного оценивания: определить уровень достижения урока.

1. Составить графическую модель чисел.Заполни таблицу.

2. Составь два верных неравенства, используя числа в таблице.

строит графические модели многозначных чисел, читает, записывает и сравнивает трехзначные числа

3. Обсуждение домашнего задания: закрепить тему самостоятельно.

Составить 3 модели трёхзначного числа.

Раб. тет. стр. 5-6 По графической модели числа определить, сколько в нем сотен, десятков и единиц.

Рефлексия учащихся: выяснить, что получилось, что необходимо улучшить в своём обучении.

Красная карточка – вам было всё понятно, вы помогали друзьям.

Жёлтая карточка : «Урок для вас был интересным, вы отвечали на вопросы учителя, урок был в полезен для вас, все задания выполнили.

Зелёная карточка : у вас остались вопросы, было не всё понятно.

(И) Показывают карточку.

Задание для оценивания.

1.-строит модель первого числа и записывает его ;-2б.

— строит модель второго числа и записывает его;2

— строит модель 3 числа и записывает его;-2 б.

-строит модель 4 числа и записывает его-2 б.

2. Составляет первое неравенство-1б.

Рефлексия учителя по проведенному уроку

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Скоростное чтение

Курс повышения квалификации

Специфика преподавания предмета «Родной (русский) язык» с учетом реализации ФГОС НОО

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Урок по обновлённому содержанию образования, защищён на курсах ПК

Все смогут строить графические модели многозначных чисел, используя таблицу разрядов и классов читать, записывать и сравнивать трехзначные числа.

Большинство смогут находить ошибки в графических моделях многозначных чисел.

Номер материала: ДБ-422006

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

На новом «Уроке цифры» школьникам расскажут о разработке игр

Время чтения: 1 минута

Российские школьники установили рекорд на олимпиаде по астрономии

Время чтения: 2 минуты

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

В России зарегистрировали вакцину от коронавируса для подростков

Время чтения: 1 минута

В России создадут единый центр по работе с трудными подростками

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник