проектно баллистические параметры ракеты
Проектно баллистические параметры ракеты
С.П. Королёв
Основы проектирования
баллистических ракет дальнего действия
(курс лекций)
МВТУ ИМ. БАУМАНА 1949
ЛЕКЦИЯ ПЕРВАЯ 
Вторая, основная, часть курса лекций, прочитанного С. П. Королевым в 1949 г. на Высших инженерных курсах, организованных при Московском высшем техническом училище им. Н. Э. Баумана для переподготовки инженеров различных специальностей для работы в ракетостроительной промышленности. Этот курс, в котором был использован и обобщен опыт работы ОКБ по созданию ракет, сразу же изданный в МВТУ в качестве учебного пособия, явился первым в мире систематизированным, достаточно подробным и завершенным курсом основ проектирования жидкостных БРДД, и поэтому он лег в основу преподавания этой дисциплины в институтах, готовящих специалистов по ракетостроению. В настоящем сборнике* работа печатается по изданию МВТУ, 1949 г.
[* Имеется ввиду сборник «Творческое наследие академика Сергея Павловича Королева. Избранные труды и документы» / Под общей редакцией академика М. В. Келдыша — Издательство «Наука», 1980 г.]
1. Баллистический анализ
Обычно основной задачей, которая ставится перед проектантом ракеты дальнего действия, является переброска требуемого боевого груза на заданное расстояние.
В зависимости от метода конструктивного решения поставленной задачи можно указать три основных класса таких ракетных аппаратов:
1-й класс — ракеты так называемой нормальной баллистической схемы, например по типу ракеты с двумя подвесными баками (ракета 2ПБ).
2-й класс — составные ракеты. В этом случае система состоит из ракеты несущей и ракеты несомой, которая отделяется от первой на некоторой высоте. Число ступеней отделения, вообще говоря, может быть сколь угодно велико.
Схемы таких ракет были разработаны К. Э. Циолковским.
3-й класс — крылатые ракеты, использующие подъемную силу крыльев для увеличения дальности полета за счет планирования на пассивном участке полета. В некоторых случаях полет с крыльями может происходить и с работающим двигателем.
В дальнейшем изложении в основном будут рассматриваться главнейшие вопросы проектирования ракет 1-го класса Нормальной баллистической схемы.
В первую очередь рассмотрим инженерную методику расчета траектории и определения основных летных характеристик ракеты.
Вывод уравнений движения ракеты в самом общем виде, с учетом всех факторов, достаточно сложен. Практика работы наших конструкторских бюро показала, что принятая упрощенная инженерная методика расчета траектории вполне оправдывает себя с допустимой степенью точности. Произведенные сравнительные расчеты, а также обработка результатов пусков ракет показывают, что сумма неточностей лежит в пределах порядка 2—3%. Необходимо учитывать также, что в процессе проектирования ряд величин и параметров выбирается с возможными отклонениями в значительно более широких пределах, чем приведенные выше цифры.
1.1. Расчет активного участка
Уравнения движения центра тяжести ракеты в декартовых осях, неподвижно связанных с Землей, мы пишем при следующих основных допущениях.
1. Предполагается, что ось ракеты совпадает с касательной к траектории центра тяжести, т. е. векторы скорости полета ракеты V и реактивной силы P совпадают. Это допущение означает, что мы будем полагать угол атаки а ракеты равным нулю, а следовательно, пренебрегать влиянием на траекторию аэродинамической подъемной силы.
Сравнение приближенных расчетов при указанном допущении с расчетами по точной методике, а также с результатами экспериментов показывает, что ошибка в значении скорости в приближенном расчете не выше 1—1,5%. Ошибка в величине координат, хотя и несколько больше (вследствие изменения формы траектории), однако ею также вполне можно пренебречь при практическом проектировании.
2. Далее, коэффициент силы лобового сопротивления ракеты Сх принимается постоянным, не зависящим от угла атаки.
3. Пренебрегаем изменением силы сопротивления газовых рулей при их отклонении. Ошибки, получающиеся из-за указанного допущения, невелики и при подсчете скорости не превосходят
Следует отметить, что абсолютное значение сопротивления рулей необходимо брать с учетом обгорания их.
4. Пренебрегаем влиянием вращения Земли, что вызывает ошибки, меньшие 1% для рассматриваемой нами ракеты.
5. Полагаем секундный расход топлива неизменным в течение всего времени работы двигателя.
m — масса ракеты ( кг • сек 2 / м ),
g — ускорение силы тяжести ( м / сек 2 ),
v — скорость полета ( м / сек ),
X — сила лобового сопротивления ( кг ),
 | (1) |
К уравнению (1) мы добавляем два уравнения:
 | (2) |
Уравнения (1) и (2) необходимо дополнить уравнением программы, обеспечивающей заданную форму траектории и нужный угол θ в конце активного участка.
Зависимость θ = θ пр( t ) задается графически или в виде таблицы.
 Рис. 1. К выводу уравнений движения |
Расчеты по упрощенной схеме, представленной уравнениями (1) и (2), достаточны для проверки основных проектных характеристик.
Тяга Р при полете ракеты может определяться по формуле
 | (3) |
где Р 0 — тяга, замеренная на стенде Р ст, с учетом силы сопротивления неотклоненных газовых рулей Х газ:
В случае отклонения газовых рулей их сопротивление может резко увеличиваться. Однако при этом необходимо иметь в виду также и то обстоятельство, что геометрия газовых рулей по мере работы двигателя сильно изменяется вследствие их постепенного обгорания.
Поэтому вопрос о величине дополнительного сопротивления пока не может быть решен достаточно точно, и во всех расчетах можно ориентироваться на приведенные цифры.
Sa означает площадь выходного сечения сопла, р 0 — атмосферное давление у поверхности Земли, р — давление в атмосфере на данной высоте.
Масса ракеты может определяться по формуле
 | (4) |
Сила лобового сопротивления ракеты определяется по формуле
 | (5) |
где С х — коэффициент силы лобового сопротивления, ρ — плотность воздуха на высоте полета (( кг / м 4 )• сек 2 ), v — скорость полета ( м / сек ), S — площадь миделя ракеты ( м 2 ).
Все численные значения основных величин, а также интегрирование системы уравнений (1) и (2) нами здесь не рассматриваются, так как вопросу численного интегрирования указанных уравнений будет посвящено специальное практическое занятие.
1.2. Пассивный участок полета
Пассивный, или свободный, участок полета ракеты, т. е. движение ее после окончания работы двигателя, является движением по инерции. Живая сила, приобретенная ракетой на активном участке, расходуется на преодоление сопротивления воздуха и силы тяготения.
Мы разбиваем расчет свободного участка на две части. В первой части учитываем действие сопротивления воздуха и поля тяготения, а во второй — ограничиваемся учетом лишь поля тяготения. Система координат и обозначения, принимаемые нами при расчете первого участка свободного полета, поясняются на рис.
2. Если обозначить индексами х и у проекции соответствующих векторов на оси координат, то уравнения движения центра тяжести ракеты примут вид
 | (6) |
 Рис. 2. Система координат и основные обозначения для первого участка свободного полета |
Значения Х х и Х у получаются [в виде]
Разделив уравнения (6) на m и добавляя два кинематических уравнения, получим систему уравнений (7), достаточную для проведения численного интегрирования и определения параметров интересующего нас участка:
 | (7) |
 Рис. 8. Система координат и основные обозначения для второго участка свободного полета |
Высота h в случае необходимости может быть определена по формуле
 | (8) |
В результате численного интегрирования системы уравнений (7) мы получаем координаты центра тяжести ракеты, ее скорость, а также угол наклона касательной к траектории для момента времени, после которого силой сопротивления воздуха можно пренебречь.
Эти параметры будут начальными условиями для расчета второй части свободного участка, где учитываем только силы тяготения. К расчету этого участка мы и перейдем. Принятые обозначения поясняются рис. 3.
Для движущейся точки А могут быть написаны следующие соотношения:
 | (9) |
Дифференцируя еще один раз, имеем
Обозначим: j r — ускорение ракеты по направлению радиус-вектора; j n — ускорение ракеты по нормали к радиус-вектору. Очевидно, что
После подстановки в эти уравнения значений d 2 x / dt 2 и d 2 y / dt 2 и соответствующих преобразований, получим
 | (10) |
 | (11) |
где g — ускорение на высоте полета ракеты, и подставляя в уравнения (10) значения j r и j n из уравнений (10), получим
 | (12) |
Из последнего уравнения следует известный закон Кеплера
 | (13) |
Из уравнения (13) мы найдем dφ / dt и, подставляя его в первое уравнение системы (12), получим
Умножим обе части последнего уравнения на 2 ( dφ / dt ):
 | (14) |
Интегрируем уравнение (14):
 | (15) |
 | (16) |
Из уравнения (13) имеем
Подставляем сюда выражение для dt из (16):
 | (17) |
Для интегрирования уравнения (17) введем подстановку
 | (18) |
(18)
Теперь вместо дифференциального уравнения (17) мы можем написать следующее:
 | (19) |
Из выражения (18) находим значение радиуса r :
  | (20) |
 | (21) |
 | (22) |
 | (23) |
 | (24) |
Это уравнение представляет собой уравнение эллипса. Так как ось у проходит через вершину траектории, то введем в качестве координатного (полярного) угла угол β вместо угла φ :
 | (25) |
 | (25′) |
Определим постоянные величины, введенные в процессе интегрирования.
Если момент начала свободного участка ракеты в поле тяготения (без учета сил сопротивления воздуха) совместить с моментом конца сгорания топлива, то тогда параметры точки конца горения будут одновременно начальными условиями для свободного участка.
Пусть ракета в начале свободного участка находилась в точке А (см. рис. 3). Всем величинам, характеризующим положение и скорость ракеты в этот момент, мы присваиваем индекс «нуль». Тогда из рис. 3 легко устанавливаем, что
Сопоставляя с уравнением (13), получим
 | (26) |
Далее, из уравнения (15) имеем
 | (27) |
Величина ( dr / dt )0 определяется из рис. 3:
 | (28) |
Константа С 3 нами исключена из рассмотрения надлежащим выбором начала координат, что учитывается формулой (21).
Прежде чем выразить оставшиеся константы через известные величины, введем обозначение, чрезвычайно важное в дальнейших расчетах:
 | (29) |
Здесь, как и выше, g 0 означает ускорение на поверхности Земли, v 0 и r 0 — скорость ракеты и ее радиус-вектор в конце активного участка.
Согласно обозначению (22), находим
 | (30) |
В соответствии с (23) получим
 | (31) |
Далее, из выражения (25), решенного относительно β 0,
 | (32) |
Переходя от cos β 0 к tg β 0 по формуле
 | (33) |
и подставляя в формулу (33) выражение для cos β 0 из (32), получим
 | (34) |
Если равенством δ 0= θ 0+ β 0 ввести угол δ 0, то формулы можно значительно упростить:
 | (35) |
Полученные формулы позволяют сразу решить все интересующие нас вопросы, связанные с расчетом свободного участка.
По известным начальным условиям (конец активного участка) вычисляется параметр v по формуле B9)
находим угол δ 0 и вычисляем β 0:
По известному углу B 0 определяем «эллиптическую» дальность l эл. Параметры движения в конце эллиптического участка (точка В ) принимаются за исходные для расчета дальности нисходящего участка траектории l нисх. Обозначения поясняются рис. 4.
 Рис. 4. К расчету дальности полета |
«Эллиптическая» дальность вычисляется по следующей формуле:
 | (36) |
Полная дальность ракеты вычисляется по формуле
 | (37) |
Максимальная высота подъема, т. е. вершина траектории, определится выражением
 | (38) |
(на основании формулы (25′))
 | (39) |
На начальной стадии проектирования необходимость проведения серии подсчетов даже по таким сравнительно простым формулам все-таки связана с затратой значительного времени.
Поэтому для прикидочных расчетов может быть рекомендована простая номограмма, позволяющая с достаточным приближением и быстро производить такие расчеты.
Номограмма приведена на рис. 5.
При пользовании предложенной номограммой необходимо сделать следующее замечание.
Сравнение величин l акт+ l нисх с величиной l полн показывает, что до дальностей
 Рис. 5. Номограмма для расчета дальности Поэтому с достаточным приближением можем считать
Учитывая последнее обстоятельство, при определении основных проектных параметров мы можем пользоваться номограммой, построенной только для дальности эллиптического участка. Рассмотрим некоторые задачи, решаемые с помощью номограммы. 2. Пусть задано l полн. Требуется определить оптимальные параметры. Зная l полн, по формуле (40) находим l эл, а по формуле (36) определяем β 0 Далее используем номограмму: задаваясь найденным углом β 0 определяем v min и соответственно оптимальный угол θ 0. По величине v min находим минимально необходимую начальную скорость v 0. 3. Задано θ 0. Требуется определить v 0, при которой этот угол имеет оптимальное значение. Следует подчеркнуть, что ценность номограммы заключается в получении первого ориентировочного подсчета основных величин лишь в начальной стадии проектирования.
|
